 A feladat állítását átfogalmazva: Ha két parabolának van közös pontja, akkor ebben a pontban érintik egymást és a harmadik nem megy át ezen a ponton. Ezt bizonyítjuk.
Legyenek az ABC háromszöghöz rendelt A, B, C fókuszú parabolák PA,PB,PC és tegyük fel, hogy PA -nak és PB -nek van egy közös R pontja. Legyen az R -ből a BC egyenesre bocsátott merőleges talppontja A0 , az AC egyenesre bocsátott merőleges talppontja B0 . Az RAB0 és RBA0 derékszögű háromszögekből RA≥RB0 és RB≥RA0. A parabola definíciójából RA=RA0 és RB=RB0 . Ezekből
RB≥RA0=RA≥RB0=RB
ami csak úgy teljesülhet, ha a négy szakasz egyenlő hosszú. RA0=RB0 -ból R az ACB szög felezőjén van. RA=RB -ből az RCA és RCB derékszögű háromszögek egybevágóak, CA = CB, az ABC háromszög egyenlőszárú, R az AC szárra A -ban és a BC szárra B -ben emelt merőlegesek metszéspontja. R tehát egyértelműen meghatározott, PA -nak és PB -nek nincs több közös pontja. Az egyenlőszárú háromszög alapon fekvő szögei 90 foknál kisebbek, a fenti merőlegesek az RC egyenest az AB egyenes C-t nem tartalmazó oldalán metszik. PC teljes egészében az AB egyenes C-t tartalmazó oldalán halad, így nem mehet át R -en, a három parabolának nincs közös pontja. Az RC egyenes mindkét parabola esetében felezi az R pontból a fókuszba húzott szakasz és az R-ből a vezéregyenesre bocsátott merőleges által bezárt szöget. RC mindkét parabolának R-beli érintője. A két parabola R-ben érinti egymást. A feladat kérdésére tehát a válasz: Az érintkezés feltétele, hogy a háromszög egyenlőszárú. ( Egyenlő oldalú háromszög esetében a három parabola páronként érinti egymást .)
|
