Fórum: A. 328.

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[4] Kós Géza

2003-12-10 10:54:03

Kedves Róbert,

A megoldást átírtam arra, amit írtál. (Láttam már máshol is ezt a megoldást, de mindenképpen köszönet jár érte.)

* * *

Az eredetit sem lenne nehéz kijavítani, de az tény, hogy mindenképpen sokkal hosszabb.

Azt láttuk, hogy 0<u,v<1 esetén

$f(uv) = f(u) + \frac{f(v)-1}u = f(v)+\frac{f(u)-1}v,$

átrendezve

$\frac{f(u)-1}{\frac1u-1}=\frac{f(v)-1}{\frac1v-1},$

vagyis 0<x<1 esetén $f(x)-1=C\left(\frac1x-1\right)$ , ahol C konstans. Ezt könnyedén ki lehet terjeszteni x $\ge$ 1-re is, utána az x $\to$ $\infty$ határátmenetből kapjuk, hogy C=1.

Előzmény: [3] Gerbicz Róbert, 2003-12-08 22:24:37

[3] Gerbicz Róbert

2003-12-08 22:24:37

Javítás az A.328. feladathoz: Egyszerűbb és elemi bizonyítás a feladatra: Használjuk, hogy f monoton csökken és f(1)=1 (ez volt az 1. és 2. állítás). Állítás: ha u>0, akkor f(u)=1/u a. rész: legyen először u>1. Tegyük fel, hogy f(u)>1/u, ekkor alkalmazzuk a függvényegyenletet x=u és y=1-1/u>0-ra, így: f(f(u)+1-1/u)=u*f(u), de f(u)+1-1/u>1, így f monoton csökkenése és f(1)=1 miatt f(f(u)+1-1/u)=<1 ugyanakkor u*f(u)>u*1/u=1 ami nem lehetséges. Hasonlóan ellentmondásra jutunk ha f(u)<1/u teljesül, így csak f(u)=1/u lehet, ha u>1. b. rész: legyen 0<u<1. A függvényegyenlet x=u és y=1-re: f(f(u)+1)=u*f(1+u) de itt f(u)+1 és u+1 is nagyobb 1-nél, így alkalmazható az a. rész állítása: 1/(f(u)+1)=u/(u+1), ahonnan f(u)=1/u. Az a. és b. részből, továbbá f(1)=1 miatt f(u)=1/u, ha u>0. Az f(x)=1/x függvény pedig valóban teljesíti az egyenletet ( ez volt a közölt 6. állítás ). A megoldás során így nem használtunk határértéket és folytonosságot, ahogy az eredeti 3., 4., 5. állítás bizonyításában tették azt. ( a felhasznált 1., 2., 6. állítás és bizonyítása is elemi volt ).

[2] Kós Géza

2003-12-08 20:08:47

Kedves Róbert,

Tökéletesen igazad van, ez a lépés valóban hibás. Rövidesen kijavítjuk.

Előzmény: [1] Gerbicz Róbert, 2003-12-06 10:56:17

[1] Gerbicz Róbert

2003-12-06 10:56:17

A Kömal által közölt megoldás az A.328. feladatra rossz. ( megtalálható: http://www.komal.hu/verseny/2003-10/A.h.shtml címen). Az 5. állítása: f(u)=1/u ha u>0.Egy átalakítása benne: f(v*f(1+v*(f(u)-1)/v))=f(f(f(v)+(f(u)-1)/v))rossz hiszen ha (feltételezem) a függvényegyenletet használta itt, akkor a szereposztás: x=v és y=(f(u)-1)/v, de az egyenletet csak x>0 és y>0-ra szabad használni!, tehát nem tetszőleges (u,v) párra, itt pedig 0<y=(f(u)-1)/v kell , azaz f(u)>1, tehát u<1 (mert f monoton csökken és f(1)=1). Jó, akkor csak u<1-re használja, de a bizonyításban (v-t rögzíti) és u tart végtelenbe! Így teljesen rossz az 5. állítás bizonyítása, így az egész feladat bizonyítása sem teljes.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?