Fórum: Arany Dániel Matematika Verseny

Köszönöm a segitségedet W- urnak!

Közben is sikerült nekem rajönni egy aranyos megoldásra.

A jelölések legyenek mint a tiédben és ( A.B = A metszet B) akkor

A + B – A.B <= x => A .B >= (40/60 + 45/60 -1).x= 25x/60

Hasonloan C.D >= (48/60 + 50/60 – 1).x = 38x/60

tovabba x >= A .B + C. D - A.B.C.D >= 63/60.x - A.B.C.D

Ebbol A.B.C.D >= 3x/60 ebbol 5>=3x/60 ami azt jelenti, hogy x<= 100 => x=60.

Legyen $\displaystyle X$ darab matróz. Tudjuk, hogy $\displaystyle \frac23X$, $\displaystyle \frac34X$, $\displaystyle \frac45X$, $\displaystyle \frac56X$ egész szám, amiből következik, hogy $\displaystyle X$ osztható $\displaystyle 60$-nak, $\displaystyle X=60x$ alakú. Vagyis $\displaystyle 40x$ félszemű, $\displaystyle 45x$ falábú, $\displaystyle 48x$ kampókezű és $\displaystyle 50x$ kopasz matróz van.

Jelölje rendre $\displaystyle A,B,C,D$ a félszemű, falábú, kampókezű, kopasz matrózok halmazát, és legyen $\displaystyle U$ az összes matróz halmaza.

Valamikor olvastam a hivatalos megoldást, abban készítettek egy táblázatot, aminek a celláiba az oszlopnak és sornak megfelelő halmaz metszetének elemszámát írták bele:

Innentől pedig felírjuk a megfelelő mennyiségeket és alkalmas becsülgetéseket végzünk, amiből kijön, hogy $\displaystyle x=1$ kell legyen, vagyis $\displaystyle 60$ matróz van. Aztán pedig még alkalmasan ki kell tölteni a táblázatot, hogy belássuk, hogy a feltételek tényleg lehetségesek $\displaystyle 60$ matrózzal.

$\displaystyle$

A becsülgetések mögött tulajdonképpen egy általánosabb becslés áll. Legyen $\displaystyle A_1,A_2,\dots,A_n$ véges halmazok rendszere, ekkor fennáll a következő egyenlőtlenség:

$\displaystyle \sum_{i=1}^n |A_i|\le (n-1)\cdot |A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n|\quad +\quad |A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_n|.$

Bizonyítás. Bármely $\displaystyle I\subset \{1,2,\dots,n\}$ esetén legyen

$\displaystyle H_I=\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\setminus\left(\bigcup_{i\in\{1,2,\dots,n\}\setminus I}A_i\right).$

Ekkor ugye összesen $\displaystyle 2^n$ halmazt kaptunk, amelyek mind megfelelnek $\displaystyle \{1,2,\dots,n\}$ valamely részhalmazának. Továbbá ezeknek a halmazoknak nyilván nem lehet közös elemük, páronként diszjunktak, továbbá mind a $\displaystyle 2^n$ halmaz uniója éppen $\displaystyle A_1\cup \dots\cup A_n$.

Az egyenlőtlenség két oldalán szereplő halmazok nyilván felbonthatók néhány $\displaystyle H_I$ uniójára. Például $\displaystyle A_n$ azon $\displaystyle H_I$ halmazok uniója, melyekre $\displaystyle n\in I$.

A felbontás után hasonlítsuk össze, hogy egy adott $\displaystyle H_I$ halmaz hányszor fog szerepelni a két oldalon! Tegyük fel, hogy $\displaystyle |I|=r$. Ekkor a bal oldalon $\displaystyle H_I$ összesen $\displaystyle r$-szer szerepel, hisz $\displaystyle r$ darab $\displaystyle A_i$-nek részhalmaza. A jobb oldalon pedig $\displaystyle H_I$ $\displaystyle r\le n-1$ esetén $\displaystyle (n-1)$-szer szerepel, míg $\displaystyle r=n$ esetén, vagyis $\displaystyle I=\{1,2,\dots,n\}$-re éppen $\displaystyle n$-szer. Mindenesetre a bal oldalon nem fordulhat elő $\displaystyle |H_I|$ többször, mint a jobb oldalon, és ez bizonyítja az állítást.

$\displaystyle$

A feladathoz visszatérve, az egyenlőtlenséget $\displaystyle A,B,C,D$ halmazokra alkalmazva a következőt kapjuk:

$\displaystyle 40x+45x+48x+50x\le 3\cdot 60x+5,$

vagyis $\displaystyle 183x\le 180x+5$, $\displaystyle 3x\le 5$. Ez pedig csak $\displaystyle x=1$-re lehetséges, vagyis csak $\displaystyle 60$ matróz lehet.

A döntö forduló 3. feladat megoldását tudja valaki segiteni

3. Kullancs kapitány kalózhajóján a matrózoknak pontosan

- kétharmadafé lszemű;

- háromnegyede falábú;

- négyötöde kampókezű, és

- öthatoda kopasz.

A hajón a matrózok kÖzül pontosan azok a tisztek, akik egyszene félszeműek, falábúak, kampókezűek, és kopaszok is egyben. A tisztek száma 5, valamint a tisztek matrózoknak is számítanak!

Hány fős a kalozhajó legénysége?

Á, nagyszerű, köszönöm szépen.

De ide igen.

Sziasztok!

Valakinek megvannak az idei versenyről a Haladók III. kategória feladatai, vagy elérhetőek ezek elektronikus formában valahol? Ha jól láttam a verseny weboldalára még nem kerültek fel.

Segítséget szeretnék kérni, nem tud valaki esetleg olyan honlapot vagy könyvet ahol az Arany Dániel matematika verseny történetéről szerezhetnék információt?

http://versenyvizsga.hu/external/vvszuro/vvszuro.php# lehet hogy ez a legegyszerűbb ha megadom hol találtam :) érdekelne engem : 1967,1971,1977,1983,1988,1990,1996 2. kategória 10.osztály ha valaki tudna esetleg segíteni azt megköszönném :)

2 feladatnál a bebizonyítandó állítás:

a1+a2+…+ak nagyobb egyenlő k/n, ahol 1 kisebb egyenlő k kisebb egyenlő n (Bocsánat de másképpen nem tudtam bele írni :( )

1977-ből: 1. feladat (1 pont)

Igazoljuk, hogy az a>0, b>0, c>0 hosszúságú szakaszokból akkor és csak akkor szerkeszthető háromszög, ha tetszőleges p, q valós számokra, amelyekre p+q=1, teljesül, hogy

pa2 +qb2>pqc2.

2. feladat (1 pont)

Egy körbe írt konvex hétszögnek van három 120o-os szöge. Mutassuk meg, hogy ekkor a hétszögnek van két egyenlő oldala!

3. feladat (1 pont)

Egy szabályos n-szög csúcsaiba beírjuk az 1, 2, ..., n számokat valamilyen sorrendben. Ezek után minden élre ráírjuk a végpontjaiba írt számok különbségének abszolút értékét. Mennyi az élekre írt számok összegének lehetséges minimális értéke? Hány olyan elrendezése van az 1, 2, ..., n számoknak, amelyek mellett ez a minimum fellép, ha az elforgatással egymásba átvihető elrendezéseket nem tekintjük különbözőknek?

1988: 1. feladat (1 pont)

Egy trapéz két szomszédos szögének összege 90o, párhuzamos oldalainak hossza a és b. Bizonyítsuk be, hogy a párhuzamos oldalak felezőpontját összekötő szakasz hossza 1/2 I a-b I.

2. feladat (1 pont)

Egy szám négy prímszám szorzata. Melyik ez a szám, ha tudjuk, hogy a négy prímszám négyzetösszege 476?

3. feladat (1 pont)

Az origó középpontú R sugarú kör kerületén pontosan 100 olyan pont van, melynek mindkét koordinátája egész szám. Bizonyítsuk be, hogy R vagy egész szám.

Sziasztok! Találtam jó ár régebbi feladatott. ha valaki tudna segíteni a megoldásokban azt megköszönném :) 1971-ből: 1. feladat (1 pont)

Az

x3+px+q=0

harmadfokú egyenlet együtthatói, p és q egész számok, és az egyenlet egyik gyöke: . - Bizonyítsuk be, hogy az egyenlet egy másik gyöke x2=-4. Határozzuk meg az egyenlet harmadik gyökét.

2. feladat (1 pont)

Legyen adva n szám, amelyek összege

a1+a2+...+an=1,

és ezenkívül

a1a2...an.

Bizonyítsuk be, hogy

3. feladat (1 pont)

Adott egy egységnyi oldalú szabályos hatszöglemez. Vágjuk be a lemezt minden oldal felezőpontján átmenő egy-egy h hosszúságú egyenes szakasszal, úgy, hogy a lemez e hat bevágás után ne essék szét. Bizonyítandó, hogy ez a követelmény h<1 esetén kielégíthető, míg h1 esetén a feladatnak nincs megoldása.

Szia! Itt egy link.

"http://lmgtfy.com/?q=Arany+D %C3%A1niel+Matematika+verseny+feladatsorok

Sziasztok vki meg tudná mondani honnan tudok letölteni Arany Dániel Matematikai Verseny-es feladatokat?

Valaki meg tudná esetleg mondani, hogy az eredményhirdetésre behívottak rajta vannak (lesznek) valahol az interneten? Vagy csak az iskoláknak küldik el a listát? Ha jól emlékszem, május 17-re ígérték.

Kezdők: I. kategória 13 pont, II. kategória 17 pont, III. kategória 23 pont.

Haladók: I. kategória 13 pont, II. kategória 17 pont, III. kategória 15 pont.

Esetleg, ha nem túl nagy kérés fel tudnád tenni, hogy az egyes kategóriákban hány pont volt a bejutási határ. (A 9 és 10. évfolyamosoknál egyaránt.) Előre is köszönöm.

Az iskolák tegnap megkapták a továbbjutók listáját. 10. évf. II. kategóriában 17 pont a határ.

Helló! Úgy emlékszem 28-ból 19 v. 20 ponttal már tovább lehetett jutni. (Javítsatok ki ha nem így lenne)

Kimaradt: 10. évfolyamosoknak.

Hi!

Nem tudja valaki, hogy tavaly ezen a versenyen a II. kategóriában mennyi volt a végleges továbbjutási ponthatár?

Nem tudja valaki, hogy mikor lehet megismerni az eredményeket?

Haladó/III.kat:

1.Biz. be, hogy a pitagoraszi számhármasnak mindig van két olyan eleme, amelyek négyzetének különbsége osztható 7-tel.

(Pitagoraszi számhármason három olyan a,b,c természtes számot értünk, amelyekre teljesül az a²+b²=c² összefüggés.)

2.Melyek azok a pozitív egész számok, amelyek 2010-zel nagyobbak számjegyeinek négyzetösszegénél?

3.Az a,b,x,y valós számokra teljesülnek a kövezkező összefüggések: ax+by=3, ax²+by²=7, ax³+by³=16 és ax⁴+by⁴=42.

Határozzuk meg ax⁵+by⁵ értékét!

4.ABCD trapézban AB párhuzamos CD-vel. Jelölje E az AD egyenes és a BCD háromszög köré írt kör D-től különböző metszéspontját, F pedig az AD egyenes és a C-ből BE-hez húzott párhuzamos egyenes metszéspontját.(D az A és az E pont közt van.)

Biz.be, hogy BC szakasz az AD és EF szakaszok mértani közepe!

5.Legyen e_n a következő módon definiált egyenes?

, ahol n pozitív egész szám.

Legyen H_n az e_n egyenes, az x-tengely és az y-tengely által meghatározott háromszög, és legyen U_n a H₁, H₂,...,H_n háromszögek egyesítésével kapott sokszög.

Mekkora U₂010 területe?

Ha már adott e téma: Kérhetem a csütörtöki (február 18-i) feladatokat?

Előre köszönöm!

Prímszámoshoz még egy kis segítség:

Mivel p,q,r>3 prím így p,r,q közül min. 2-nek megegyezik a 3-mal való osztási maradéka, ezt használd fel és egy kicsit alakíts az eredeti kifejezésen, így megkapod az eredeti kifejezés osztható 3-mal. Érdekesebb, hogy a páratlan számok négyzetének 16-tal való osztási maradéka 1 vagy 9. Hasonlóan az elsőhöz itt is használd, ki hogy min. 2-nek ( az r négyzet, q négyzet, p négyzetnek) megegyezik a 16-tal való osztási maradéka, majd számolj a maradékokkal és kijön a 16-tal való oszthatóság is. Bizonyára van ennél szebb megoldása a feladatnak, de nekem így jött ki.

A másik(eleje vázlatosan):

Def: Nevezzük komplementer számpároknak azon számokat melyeknek egy adott helyi értéken álló számjegyeinek összege 10.

1. A komplementer számpárok összege egyenlő (1111111110)(Ez könnyen belátható, hisz a hozzárendelés egyértelmű)

2. Az i. legkisebb szám komplementere az i. legnagyobb (Ha ez meg van akkor gyakorlatilag a feladat is kész)

i=1-re igaz

Tegyük fel, hogy i<=k-ig teljesül és bizonyítsuk be k+1-re, hogy teljesül. Ha a k+1. legkisebb szám(q) párja nem a k+1. legnagyobb(p) lenne, akkor csak egy p-nél kisebb számmal alkothatna párt(p-x-szel), mivel k-ig teljesül a 2. pont szerinti párosítás. Ekkor azonban p-nek is egy q-nál nagyobb párja lenne (q+y) és az 1. pontbeli egyenlőség, miszerint: q+p-x=p+q+y nem teljesülne, tehát ellentmondásra jutnánk. Így a 2. megállapítás is igaz. Innentől már rád bízom.

A 4szöges feladat ment, köszi a segítséget, de a prímszámos és a másik számos feladat nem megy. Próbáltam párosítani a számokat, de nem jutottam sokra. Apu is próbált segíteni de neki sem ment...