Fórum: Matematikai fogalomtár

Sziasztok! Valaki tud arról valamit, hogy a gyerekkoromban :) menő thesaurus.maths.org mikor, miért szűnt meg?

Köszi.

Hát én azért jobban örülnék egy olyan fizika szótárnak, amiben az erőkar, nyomaték - sőt forgatónyomaték - meg perdület is szerepel.

Pl. "rationalize the numerator", "rationalize the denominator" .

Emberek! Hogy mondják angolul, hogy "gyöktelenítés"? Köszönöm, ha megosztjátok velem.

Talán nem lesz egészen off, és nem is elcsépelt: mai fogalomtárnak persze nem igazán jó, de érdekességnek mindenképp:

A magyar matematikai műnyelv története

Bocsánat, ha mindenki ismerte :-)

Egy kis ízelítő:

azonság (identitás),

ellenette való (opositus),

készántag (alternus),

megmáslódás (alteratio),

külön közepü (excentrikus),

vágaték (segmentum).

Kutakodtam a Kempelen Farkas tananyagai között és ekkor leltem ezekre. Idő híján nem mélyedtem el benne, csak megosztottam veletek, hátha hasznos lesz ez is valakinek.

Sajnos amikor legutóbb néztem, még volt benne több képletcsere: egyszerűen felcserélődtek a képlet-képek sok helyen. (Csak a fordítók nevében mondom ezt, erről nem mi tehetünk, már szóltunk érte. De minél többen nyaggatjuk őket, annál nagyobb az esélye, hogy kijavítják a linkeket...)

Hú, de jók ezek! Köszi (gondolom, sokak nevében)!

OXFORD - Fizika - szótár

OXFORD - Matematika - szótár

Tényleg, miért?

Még annyit, hogy a rendezetlen párok egyenlő valószínűségének feltételezése mellett, ugyanolyan joggal lehetne bármi egyéb eloszlást feltételezni. Miért pont egyenlő?

Szerintem semmiféle nézeteltérés nincs köztünk. Az a priori feltételezést a val. szám szempontjából értem, ami ahhoz szükséges, hogy a feladattal matematikai szempontból lehessen foglalkozni. Abban persze teljesen igazad van, hogy ez a tapasztalatból adódik. Neked persze, mint matematikusnak nem kell, hogy a tapasztalathoz közöd legyen (sőt. sok példát ismerünk, amikor a tapasztalattól való elvonatkozás hozott a matematikában csodálatos eredményeket), de akik az eredményeidet gyakorlatilag is szeretnék hasznosítani, azoknak már nem mindegy a tapasztalattal való egyezés. A feladatnak pedig igenis (nagyon helyesen) lehetett az a didaktikai célja is, hogy ezen való gondolkodásra serkentse a feladatmegoldót. Valóban meg kell indokolni a rendezett páros modell jogosságát is, de szerintem a függetlenség hangsúlyozásával ez elég meggyőző (amiből következik a modell helyessége), szemben a rendezetlen páros modellel, amikor el kéne magyarázni, hogy ha az egyik kockával 1-est dobtunk, akkor a másikkal miért dobunk 6/21 val.-gel 1-est, 3/21 val.-gel pedig bármi mást. Mi az, amiből a másik kocka "értesül" az első eredményéről, arra késztetve őt, hogy kétszer akkora valószínűséggel essen az 1-es oldalára? Egyáltalán mikor döntik el, hogy melyik hat melyikre, vagy mindkettő hat a másikra, melyik az első, stb...? Szóval a józan eszünket is használva, ez azért elég macerásnak tűnik. Molnár Zoli hozzászólásában azt hiányolom, hogy a kétféle modellel kapcsolatban nem tér ki a dobások függetlenségének kérdésére, úgy feltüntetve a problémát, mintha a rendezett- rendezetlen páros modellből való kiindulás kérdése önkényes lenne.

Kösz a választ, bár nem az összes kérdésre válaszoltál.

Néhány megjegyzés:

"Ez egy a'priori feltételezés, ami ahogy megbeszéltük, szükséges a továbblépéshez."

Nem hinném, hogy a priori feltételezés lene. Inkább nagyon is a posteriori, empirikus tapasztalatok alapján levont hipotézis (ahogy lejjebb is írod). Ha úgy érted, hogy a feltevés szükséges a "jó" megoldáshoz, akkor igazad van. De a feladatban nincs ilyen feltevés. Ergo, a feltevés - didaktikai szempontból - rejtett. Abban egyetértek Zolival, hogy a feladat kitűzése előtt vagy szólni kell a kockák "függetlenségének" problémájáról, vagy pedig a feladatban pontosan ki kell jelölni az eseményteret és ennek eloszlását (hacsak nem az a didaktikai cél, hogy az eltérő megoldások elemzése rávezessen a kísérletezés szükségességére bizonyos esetekben).

"Természetesen más feltételezés is lehetne, azonban kérdés hogy ez milyen összhangban áll a gyakorlati tapasztalattal. Egyáltalán nem valószínűség számítási probléma tehát, hogy a két kocka feldobásakor bekövetkező események valóban függetlenek-e."

Ismét megkérdezem (provokatíve, és nem valóban elutasító jelleggel), nekem, mint matametikusnak mi közöm a gyakorlati tapasztalathoz?

"A Kolmogorov axiómákra visszatérve: azokat úgy alkották meg,"

Lehet, hogy úgy, lehet, hogy nem úgy, de a kockák függetlenségének feltételét nem tartalmazzák, és ez a lényeg. :-)).

"A rendezetlen párokból adódó 21 elemi esemény egyenlő valószínűségének feltételezése jóval nagyobb erőfeszítést kíván, hiszen meg kéne indokolni, miért hat az egyik kocka feldobása a másik eredményére pont úgy, hogy ezen elemi események egyenlő valószínűsgűek."

Szerintem a rendezett párként való felfogás is magyarázatot igényel. Nevezetesen, hogy ha egyszerre dobod fel a kockákat, az a gyakoriság szempontjából ugyanaz, mintha előbb az egyiket és aztán a másikat dobnád fel. És szvsz nem úgy születik az ember, hogy ezt már tudja is. Érdemes lenne egy kísérletet csinálni erről: átlagos matematikai műveltségű általános iskolában megtippeltetni a gyerekeket, a kockák a rendezett vagy rendezett páros modell szerint viselkednek-e.

"Mint ahogy fent említettem, egyáltalán nem rejtett feltételezésről van szó, hanem ezt a két kockával való dobás függetlenségének feltételezése vonja maga után."

Ami egy rejtett feltevés, minthogy a feladatban egy szó sem esik róla.

A Kolmogorov axiómákban valóban nincs benne, hogy a két kocka feldobása független esemény. Ez egy a'priori feltételezés, ami ahogy megbeszéltük, szükséges a továbblépéshez. Ha ezt feltételezzük, akkor viszont a rendezett párok egyenlő valószínűségével kell számolnunk. Természetesen más feltételezés is lehetne, azonban kérdés hogy ez milyen összhangban áll a gyakorlati tapasztalattal. Egyáltalán nem valószínűség számítási probléma tehát, hogy a két kocka feldobásakor bekövetkező események valóban függetlenek-e. Könnyen meglehet, hogy nem azok, hiszen az egyik kocka feldobásakor keltett levegő turbolencia befolyásolhatja a másikkal dobott eredményt. A modell tehát nem pontos, de gyakorlati szempontból kielégítő, és a tapasztalattal is jó egyezést mutat. Sokkal inkább az, mintha a rendezetlen párok egyenlő valószínűségét feltételeznéd. Gyakorlatilag nehéz lenne megindokolni, hogy ha az egyik kockával 1-est dobunk, akkor a másikkal is sokkal esélyesebb 1-est dobnunk, mint bármi mást. Sőt a rendezetlen páros modell (feltételezve azok egyenlő val.-ét) még pontosan meg is adja, hogy mennyivel valószínűbb (hadd ne számoljam ki). Érezhető tehát, hogy ez a rendezett páros modellel szemben teljesen önkényes, és egyáltalán nem annak "hibáit" hivatott kiküszöbölni. A Kolmogorov axiómákra visszatérve: azokat úgy alkották meg, hogy a valószínűség fogalma szoros kapcsolatot mutat a relatív gyakoriság fogalmával, amennyiben mindkettőnek hasonlók a tulajdonságai. Pont ez a párhuzam adja a val. szám gyakorlati alkalmazhatóságát, a gyakorlatban bekövetkező relatív gyakoriságok jó becsléséhez. Hasonló ez ahhoz, mint ahogy a geometriában a papírra rajzolt egyenes és pont tulajdonságait az axiómákban idealizálták, és megtisztították a nem figyelembe vehető, a tárgy szempontjából lényegtelen pontatlanságoktól. Ilyen alapon azt is mondhatnád, hogy az euklideszi geometriában a háromszög szögeinek összege nem 180 fok, hiszen még sohasem sikerült ilyen háromszöget rajzolnod.

Molnár Zoli idézetével kapcsolatban: "A feladatban rejtett feltevésként van rögzítve, hogy az elemi események tere a rendezett párok, ezekre kell egyenletes eloszlást feltételezi és ezalapján számolni a rendezetlen eseteket. Ugyanennyi erővel, gondolatainkra hagyatkozva feltételezhetjük azt is, hogy a 21 elemi eseményre alkalmazzuk az egyenletes eloszlást."

Mint ahogy fent említettem, egyáltalán nem rejtett feltételezésről van szó, hanem ezt a két kockával való dobás függetlenségének feltételezése vonja maga után. A rendezetlen párokból adódó 21 elemi esemény egyenlő valószínűségének feltételezése jóval nagyobb erőfeszítést kíván, hiszen meg kéne indokolni, miért hat az egyik kocka feldobása a másik eredményére pont úgy, hogy ezen elemi események egyenlő valószínűsgűek.

"A valószínűségszámítás nem foglalkozik azzal, hogy mik az elemi események és mik a valószínűségeik. Azokat te adod meg. Ezután kérdezheted, hogy egy (elemi eseményekből képezhető) eseménynek mi a val.-e." [...]

A linkben is ilyesmiről van szó. A matematikusoknak édesmindegy, a rendezett/rendezetlen párokból álló eseménytér elemeinek valószínűsége azonos-e vagy sem.

"Ezzel csak azt akarom mondani, hogy részben tényleg nézőpont kérdése mit tekintesz elemi események terének, de az elemi események val.-ét pontosan meg kell adnod."

Hát ez az. De hol van a Kolmogorov-axiómák között az, hogy amikor két kockával dobsz, akkor a kockákon kijött számok független eseménynek számítanak? Miért ne vehetném azonos valószínűségűnek az összes rendezetlen párt? Csak mert egyszer, kétszer, háromszor véletlenül az jött ki a kísérletek során? Honnan tudom, hogy mindig ez fog kijönni? Honnan tudom, hogy minden kockára ez fog kijönni? Egyáltalán mi közöm nekem a kísérletekhez? Nem vagyok fizikus. Ha egyetemista (de nem fizikus) szemmel nézed az egészet, akkor megláthatod, hogy a dolog közel sem olyan egyértelmű, mint "józan ésszel" hisszük.

Idézek Molnár Zolitól:

"Szerintem a matematikusok közül dani értette meg, hogy mi a problémám (és mondott nemet rá, mert így döntött). A feladatban rejtett feltevésként van rögzítve, hogy az elemi események tere a rendezett párok, ezekre kell egyenletes eloszlást feltételezi és ezalapján számolni a rendezetlen eseteket. Ugyanennyi erővel, gondolatainkra hagyatkozva feltételezhetjük azt is, hogy a 21 elemi eseményre alkalmazzuk az egyenletes eloszlást. A diák ... azt megszokta, hogy a matematikai modellekben a súrlódást meg mindenféle ilyet nem veszünk számításba. Nem is lehet, ahogy az élére álló kockával sem tudna számolni, mert nincs rá vonatkozó szám, adat. És mivel, akinek csak kalapácsa van, annak minden probléma szögnek látszik, kényszerű kelletlen a kedvező/összes képlettel kell számolnia. A modellel jól számol, csak nem kap fizikailag helyes adatot (de azért közelítően jó eredményt kap). Akkor Ptolemaioszt hülyézzük le, mert nem gondolta, hogy ellipszispályákkal kell számolni? Volt a gondolatmenetében hiba? (nem, csak a modellje nem volt alkalmas) Követett el matematikai hibát? (feltehetően nem.) "

Ez mit von kétségbe? Éppen azt támasztja alá, hogy az eseményteret rendezett párok halmazaként célszerű elképzelni. Tappancsa elég világosan kifejti, hogy mi a különbség a rendezett és rendezetlen pár felfogás között. A valószínűségszámítás nem foglalkozik azzal, hogy mik az elemi események és mik a valószínűségeik. Azokat te adod meg. Ezután kérdezheted, hogy egy (elemi eseményekből képezhető) eseménynek mi a val.-e. Ha rendezetlen párok alkotják az elemi eseményeket, akkor az x,x pár val.-e 1/36, az x,y (x nem =y) páré pedig 1/18. Egyébként egy kocka feldobásakor annak a valószínűsége, hogy pl. 1-et dobunk, 1/6. Másik kockára ugyanígy. Mivel a két esemény független, az (1,1) dobás val.-e 1/36. Ugyanígy az (1,2) és (2,1) dobásé is 1/36. Tehát annak a val.-e, hogy egy 1-es és egy 2-es jön ki (függetlenül attól hogy melyik kockán) a két val. összege, 1/18. Ezzel csak azt akarom mondani, hogy részben tényleg nézőpont kérdése mit tekintesz elemi események terének, de az elemi események val.-ét pontosan meg kell adnod. Szerintem természetesebb a rendezett párok szerinti felfogás, ha független események együttes bekövetkezéseként tekinted a két kocka feldobását. Ekkor a valszám szerint az események szorzatának (együttes bekövetkezésének) val.-e a val.-ek szorzata.

Bár nem tudom ... lehet, hogy mégse annyira egyíértelmű a dolog ? Lásd ezt

OK, kösz a beszólást, tényleg fontosabb aspektusát világítja meg a dolognak, mint az enyém.

Ebbe muszáj beleszólnom (még ha az eredeti kérdés jó régi is).

Szerintem abban igazad van, hogy fontos az eseményeket pontosan definiálni, de a jól definiált események valószínűsége nem függ attól, hogy megkülönböztethetőeknek tekinted-e a kockákat. Ha rendezetlen számpároknak tekinted a két kocka dobásának az eredményét, akkor a lehetséges kimenetelek nem egyforma valószínűségűek, s így nehezebb velük dolgozni, de ha ezt figyelembe veszed, akkor ugyanazt az eredményt kapod, mint amikor könnyebben kezelhető rendezett párokat képzelsz el.

A kavar ott szokott lenni, hogy a rendezetlen párokat egyforma valószínűségűnek tekintik. Erre a legjobb gyógymód a kisérletezés: fogjon a kételkedő illető két dobókockát, dobjon pár százszor, felírva az eredményeket, aztán vegye észre, hogy, mondjuk, két 1-es fele olyan gyakran fordul elő, mint egy 1-es és egy 2-es.

Anikó

Nos, szerintem attól függ, mit akarsz kiszámolni, vagyis mit tekintesz eseménytérnek, de megkockáztatom, hogy a komoly források többsége a kockák megkülönböztethetőségével számol. Sajnos a valószínűségszámítást egy nehezen tanítható tudománnmyá teszi, hogy a kérdések könnyen megfogalmazhatóak informális köntösben (azaz hétköznapi nyelven), de sokszor többféle matematikai modell található hozzájuk, és az ezek közti választás az informális köntös kritikai revízióját igényli.

Például, ha úgy teszed fel a kérdést:

"Két dobókockával dobunk, mi a valószínűsége annak, hogy a dobások közt lesz két hatos";

akkor egy tapasztalatlan, laikus, zöldfülű, ideológiailag képzetlen, ráadásul tapintatlan, intim szférákba tolakodó ember (mint én) először is meg fogja kérdezni, hogy "dobáson" mit értesz: egyszerű számpárokat vagy rendezett számpárokat. Ha egyszerűeket, akkor a két kockát nem fogom megkülönböztetni, és úgy számolom, de ha rendezetteket, akkor meg fogom a két kockát különböztetni.

Egy átlagos matematikus vagy tanár viszint szvsz azt fogja érteni, hogy rendezett számpárok az események.

Az ilyen kérdések a tanítási gyakorlatban viszont tényleg sokszor elsikkadnak.

Nos, nem túl bonyolult. Egyszerűen egy adott X halmaz feletti két topologikus tér rendezett párja. De hogy mire jó ...

Megnéztem a Mathworld lexikont, de ott nem találtam a címszót. Valószínűleg az angol Wikipédiában sincs benne. A magyarban biztos nincs.

Hát, kicsit megkésett a válasz, de itt találtam egy mondatot. Sajnos angol. Ha valami kedves fórumozó lefordítaná, miről van szó ... én most agyhalott vagyok ehhez