Fórum: Kürschák-verseny

A 2019-es Kürschák verseny feladatai:

1. Az $\displaystyle ABC$ hegyesszögű háromszögben $\displaystyle AB<AC<BC$, az $\displaystyle A,B,C$ csúcsokból induló magasságok talppontjai rendre $\displaystyle A_1$, $\displaystyle B_1$, illetve $\displaystyle C_1$. Legyen $\displaystyle P$ a $\displaystyle C_1$ pont tükörképe a $\displaystyle BB_1$ egyenesre, és legyen $\displaystyle Q$ a $\displaystyle B_1$ pont tükörképe a $\displaystyle CC_1$ egyenesre. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle A_1PQ$ háromszög köré írt kör átmegy a $\displaystyle BC$ oldal felezőpontján.

2. Legyen $\displaystyle n$ pozitív egész szám. Határozzuk meg az összes olyan $\displaystyle \mathcal{F}$ halmazrendszert, amely az $\displaystyle \{1,2,...,n\}$ halmaz bizonyos részhalmazaiból áll, és amelyre minden rögzített, nemüres $\displaystyle X\subseteq \{1,2,...,n\}$ mellett ugyanannyi $\displaystyle A\in \mathcal{F}$ esetén lesz $\displaystyle A\cap X$ elemszáma páros, mint páratlan.

3. Igaz-e, hogy ha $\displaystyle H$ és $\displaystyle A$ a számegyenes korlátos részhalmazai, akkor $\displaystyle H$ legfeljebb egyféleképpen bontható fel $\displaystyle A$ páronként diszjunkt eltolt példányaira? (Végtelen sok eltolt példányt is megengedünk.)

A 2018-as Kürschák verseny feladatai:

1. Az $\displaystyle ABC$ háromszög beírt köre a $\displaystyle BC$, a $\displaystyle CA$, illetve az $\displaystyle AB$ oldalt rendre az $\displaystyle A_1$, a $\displaystyle B_1$, illetve a $\displaystyle C_1$ pontban érinti, $\displaystyle A$-ból induló súlyvonala pedig az $\displaystyle M$ pontban metszi a $\displaystyle B_1C_1$ szakaszt. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle A_1M$ szakasz merőleges a $\displaystyle BC$ oldalra.

2. Legyenek $\displaystyle \underline{v}_1$, $\displaystyle \underline{v}_2$, ..., $\displaystyle \underline{v}_n$ a térbeli derékszögű koordinátarendszer egész koordinátájú, páronként különböző, $\displaystyle p$ hosszúságú vektorai, ahol $\displaystyle p$ prímszám. Tegyük fel, hogy tetszőleges $\displaystyle 1\le j<k\le n$ esetén van olyan $\displaystyle 0<\ell<p$ egész szám, melyre a $\displaystyle \underline{v}_j-\ell\cdot\underline{v}_k$ vektor mindhárom koordinátája $\displaystyle p$-vel osztható. Igazoljuk, hogy $\displaystyle n\le 6$.

3. A $\displaystyle k$ utcából álló Aprajafalván $\displaystyle k(n-1)+1$ klub működik, mindegyik tagsága $\displaystyle n$ törpöt számlál. Egy törp több klubnak is tagja lehet, és két törp bizonyosan ismeri egymást, ha klubtársak vagy ha ugyanabban az utcában laknak. Igazoljuk, hogy kiválasztható $\displaystyle n$ különböző klub és ezeknek egy-egy tagja úgy, hogy ez az $\displaystyle n$ tag páronként különböző legyen és közülük bármely kettő ismerje egymást.

A válasz: nincsenek ilyen $\displaystyle f$ és $\displaystyle g$ polinomok.

Tegyük fel, hogy

$\displaystyle f(x)^3-g^2(x) = \ell(x) \tag{1}$

valamilyen $\displaystyle \ell(x)=ax+b$ lineáris polinommal, amelyben $\displaystyle a\ne0$.

Először is néhány észrevétel.

1. Sem $\displaystyle f$, sem $\displaystyle g$ nem lehet konstans: ha $\displaystyle f$ konstans, akkor $\displaystyle f^3-\ell=g^2$ egyrészt pontosan elsőfokú, másrészt teljes négyzet, ami nem lehet. Hasonlóan, ha $\displaystyle g$ konstans, akkor $\displaystyle \ell-g^2=f^3$ egyszerre lineáris és teljes köb is, szintén lehetetlen.

2. $\displaystyle \deg f=2k$ és $\displaystyle \deg g=3k$ valamilyen $\displaystyle k$ pozitív egésszel, ugyanis

$\displaystyle 3\deg f = \deg f^3 = \deg(g^2+\ell) = \deg(g^2+\ell) = \deg g^2 = 2\deg g.$

3. $\displaystyle f$ és $\displaystyle g$ relatív prímek: ha $\displaystyle d=\mathrm{lnko}(f,g)$, akkor $\displaystyle d^2 \,\big|\, f^3-g^2=\ell$, így $\displaystyle 2\deg d = \deg d^2 \le \deg \ell = 1$. Ebből következik, hogy $\displaystyle \deg d<1$, vagyis $\displaystyle d$ konstans.

Ezek után a megoldás: deriváljuk (1) mindkét oldalát:

$\displaystyle 3f^2\cdot f' - 2g\cdot g' = \ell' = a. \tag2$

Az (1) $\displaystyle \ell'$-szereséből vonjuk ki (2) $\displaystyle \ell$-szeresét, hogy a jobboldalt elimináljuk:

$\displaystyle (f^3-g^2)\ell' - (3f^2\cdot f' - 2g\cdot g')\ell = \ell\cdot \ell' - \ell'\cdot \ell = 0$

$\displaystyle f^2\cdot (f\cdot\ell'-3f'\cdot\ell) = g\cdot (g\cdot\ell'-2g'\cdot\ell).$

Mivel $\displaystyle f$ és $\displaystyle g$ relatív prímek, ez csak úgy lehet, ha

$\displaystyle f^2 \big|g\cdot\ell'-2g'\cdot\ell \quad\text{és}\quad g\big|f\cdot\ell'-3f'\cdot\ell. \tag{3}$

Ha $\displaystyle g$ főegyütthajója $\displaystyle c$, akkor a $\displaystyle g\cdot\ell'-2g'\cdot\ell$ polinomban a $\displaystyle 3k$-adfokú tag együtthatója

$\displaystyle c\cdot a - 2\cdot 3kc\cdot a = (1-6k)ac\ne0,$

így a $\displaystyle g\cdot\ell'-2g'\cdot\ell$ polinom nem a $\displaystyle 0$ polinom; a foka pontosan $\displaystyle 3k$. De (3)-ban ez a polinom osztható a $\displaystyle 4k$-adfokú $\displaystyle f^2$ polinommal, ami lehetetlen.

Deriváld...

Valaki tudna segíteni az idei verseny 2. feladatában(pl. ad hintet vagy megmutatja a megoldást. A segítséget előre is köszönöm.

A 2017-es Kürschák verseny feladatai:

1. Legyen $\displaystyle ABC$ tetszőleges háromszög, és válasszuk az $\displaystyle A'$, $\displaystyle B'$ és $\displaystyle C'$ pontokat egymástól függetlenül, egyenletes eloszlással rendre a $\displaystyle BC$, $\displaystyle CA$ és $\displaystyle AB$ oldalakról. A sík $\displaystyle Z$ pontja esetén jelölje $\displaystyle p(Z)$ annak a valószínűségét, hogy az $\displaystyle AA'$, $\displaystyle BB'$ és $\displaystyle CC'$ egyenesek által határolt háromszög tartalmazza $\displaystyle Z$-t. Határozzuk meg az $\displaystyle ABC$ háromszögnek azt a $\displaystyle Z$ belső pontját, amelyre $\displaystyle p(Z)$ a lehető legnagyobb.

2. Vannak-e olyan $\displaystyle f(x)$ és $\displaystyle g(x)$ valós együtthatós polinomok, amelyekre az $\displaystyle f^3(x)-g^2(x)$ polinom elsőfokú?

3. Egy $\displaystyle n\times n$-es $\displaystyle T$ táblázat mezőibe egy-egy számot írtunk úgy, hogy egyik sorban sem szerepel kétszer ugyanaz a szám. Bizonyítsuk be, hogy át lehet rendezni a $\displaystyle T$-ben szereplő számokat úgy, hogy az átrendezés utáni $\displaystyle T^*$ táblázat minden sorában pontosan ugyanazok a számok álljanak, mint amelyek $\displaystyle T$ megfelelő sorában álltak, de $\displaystyle T^*$ semelyik oszlopában se szerepeljen kétszer ugyanaz a szám.

Tegnap volt a Kürschák-verseny. A feladatok:

1. Vívásban az nyer egy asszót, aki hamarabb ér el $\displaystyle 15$ találatot. Tegyük fel, hogy $\displaystyle A$ és $\displaystyle B$ küzdelmében (az asszón belül bármikor) $\displaystyle p$ valószínűséggel $\displaystyle A$, $\displaystyle q=1-p$ valószínűséggel pedig $\displaystyle B$ szerzi meg a következő találatot. (Ketten egyszerre sosem érnek el találatot.)

Tegyük fel, hogy egy asszóban $\displaystyle A$ már $\displaystyle 14-k$, $\displaystyle B$ pedig $\displaystyle 14-l$ találatot szerzett (ahol $\displaystyle k$ és $\displaystyle l$ nemnegatív, $\displaystyle 15$-nél kisebb egészek), és $\displaystyle A$ újabb találatot ér el. Mennyivel növekedett ezáltal annak a valószínűsége, hogy $\displaystyle A$ nyeri végül az asszót?

2. A $\displaystyle D$ pont az $\displaystyle ABC$ háromszög AB oldalán, az $\displaystyle I$ pont pedig az $\displaystyle ACB$ szög felezőjének a háromszög belsejébe eső szakaszán helyezkedik el. Az $\displaystyle AI$ és a $\displaystyle CI$ egyenesek az $\displaystyle ACD$ kört másodszor rendre a $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ pontokban metszik. Hasonlóan, a $\displaystyle BI$ és a $\displaystyle CI$ egyenesek a $\displaystyle BCD$ kört másodszor rendre az $\displaystyle R$ és $\displaystyle S$ pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy ha $\displaystyle P\ne Q$ és $\displaystyle R\ne S$, akkor az $\displaystyle AB$, $\displaystyle PQ$ és $\displaystyle RS$ egyenesek vagy egy ponton mennek át, vagy párhuzamosak egymással.

3. Legyen $\displaystyle Q$ az olyan $\displaystyle n$ tagú sorozatok halmaza, amelyeknek minden tagja $\displaystyle 0$ vagy $\displaystyle 1$. Legyen $\displaystyle A$ a $\displaystyle Q$-nak egy $\displaystyle 2^{n-1}$ elemű részhalmaza. Mutassuk meg, hogy legalább $\displaystyle 2^{n-1}$ olyan $\displaystyle (a, b)$ pár van, amelyre $\displaystyle a\in A$, $\displaystyle b\in Q \setminus A$, továbbá az $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ sorozatok csak egyetlen tagban térnek el egymástól.

A 2013-as feladatok:

1. feladat. Legyen a és b két olyan pozitív valós szám, amelyekre 2ab=a-b teljesül. Tetszőleges pozitív egész k esetén jelöljük x_k-val, illetve y_k-val az ak-hoz, illetve bk-hoz legközelebbi egész számot; ha egy számhoz két legközelebbi egész szám is van, akkor válasszuk ezek közül a nagyobbikat. Igazoljuk, hogy bármely n pozitív egész szám akkor és csak akkor szerepel az x₁,x₂,... sorozatban, ha n legalább háromszor szerepel az y₁,y₂,... sorozatban.

2. feladat. Tegyük fel, hogy P₁, P₂ és P₃ zárt, konvex sokszöglemezek rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy bárhogyan is választjuk az AP₁, BP₂, CP₃ pontokat, az ABC háromszög területe legfeljebb egységnyi.

(a) Bizonyítsuk be, hogy a P₁, P₂ és P₃ sokszöglemezek valamelyikének a területe 4-nél kisebb.

(b) Mutassuk meg, hogy megadhatók P₁, P₂ és P₃ sokszöglemezek a fenti tulajdonsággal úgy, hogy P₁-nek is és P₂-nek is 4-nél nagyobb legyen a területe.

3. feladat. Igaz-e, hogy ha n2 egész, és minden 1i<jn párra adott egy _ij nemnegatív valós szám, akkor léteznek olyan a₁,a₂,...,a_n nemnegatív valós számok, amelyek összege nem haladja meg az _ij számok összegét, és |a_i-a_j|_ij teljesül minden 1i<jn párra?

Ahogy a téma elején is megtették, tudna valaki ide megoldásokat írni? Az is jó, ha behivatkoztok egy weboldalt, ahol megtaláljuk. (VersenyVizsgán megvan 2008-ig.)

Valaki el tudná küldeni bármelyik feladatnak a megoldását? Nagyon hálás lennék érte! Előre is köszönöm! bkovacs0130@gmail.com

Köszönöm!

1.Az ABC háromszög A-val, illetve B-vel szemközti hozzáírt körének középpontjait jelölje J(A), illetve J(B). Húzzuk meg a körülírt kör egy olyan PQ húrját, amely párhuzamos az AB oldallal, továbbá metszi az AC és BC oldalszakaszokat.Az AB és CP egyenesek metszéspontja legyen R.Bizonyítsuk be, hogy J(A)Q J(B)szög+J(A)RJ(B) szög=180 fok.

2.Jelölje E(n) az n pozitív egész szám 2-es számrendszerbeli felírásában az 1-esek számát. Nevezzünk egy n pozitív egész számot érdekesnek, ha n osztható E(n)-nel.Bizonyítsuk be, hogy a)nem lehet 5 egymás utáni pozitív egész szám mindegyike érdekes, továbbá, hogy b)végtelen sok olyan n pozitív egész szám van,amelyre az n, n+1 és n+2 számok mindegyike érdekes.

3.Tekintsünk n eseményt, amelyek mindegyikének valószínűsége 1/2, továbbá bármelyik kettő együttes bekövetkezésének valószínűsége 1/4. a) Igazoljuk,hogy annak a valószínűsége, hogy egyik sem következik be, legfeljebb 1/(n+1). b)Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan n természetes szám létezik, amelyre megadhatók az események oly módon, hogy pontosan 1/(n+1) legyen annak a valószínűsége, hogy egyik sem következik be.

Az idei feladatokat fel tudná tenni valaki? Köszönöm előre is!

Köszi :)

2010:

1. Adott n lezárt bőrönd és n kulcs úgy, hogy a bőröndök mindegyikét pontosan egy kulcs nyitja és mindegyik kulcs pontosan egy bőröndöt nyit. Célunk az, hogy az összes bőröndről megállapítsuk, melyik kulcs nyitja. Egy próbálkozás abból áll, hogy valamelyik kulccsal megpróbálunk kinyitni egy bőröndöt. Határozzuk meg azt a legkisebb p(n) számot, melyhez létezik olyan eljárás, hogy azt végrehajtva legfeljebb p(n) próbálkozás után bizonyosan ismerni fogjuk az n összetartozó bőrönd-kulcs párt.

2. Az ABC háromszög AB oldalának belsejében adottak a C₁ és C₂ pontok, a BC oldal belsejében az A₁ és A₂ pontok, végül a CA oldal belsejében a B₁ és B₂ pontok úgy, hogy AC₁<AC₂, BA₁<BA₂, és CB₁<CB₂ teljesül. Az AB₁C₁ és AB₂C₂ körök A-tól különböző metszéspontját jelölje A*, a BC₁A₁ és BC₂A₂ körök B-től különböző metszéspontja legyen B*, végül a CA₁B₁ és CA₂B₂ körök C-től különböző metszéspontját nevezzük C*-nak. Mutassuk meg, hogy az AA*, BB* és CC* egyenesek egy ponton mennek át.

3. Mely n és k pozitív egész számokra léteznek a₁, a₂,..., a_n, b₁, b₂,..., b_k egész számok úgy, hogy az a_ib_j szorzatok (1in, 1jk) páronként különböző maradékot adnak nk-val osztva?

Valaki fel tudná tenni az idei példákat?

2009:

1. Egy n×k-as táblázatba úgy írunk be egész számokat, hogy mind az n sorban szerepeljen 1-től k-ig minden egész szám. Jelöljük S-sel a kapott k oszlopösszeg legnagyobbikát. Minden n-re és k-ra adjuk meg S lehetséges legkisebb értékét!

2. Határozzuk meg azokat a pozitív egészekből álló (a,b) számpárokat, amelyekre igaz az alábbi állítás: a pozitív egészek halmaza felbontható két diszjunkt halmaz, H₁ és H₂ uniójára úgy, hogy sem a, sem b nem írható fel sem két H₁-beli, sem két H₂-beli szám különbségeként.

3. Határozzuk meg azokat az f függvényeket, amelyekre

(i) f az egész számok halmazán van értelmezve;

(ii) f(z) racionális szám minden z egész szám esetén;

(iii) ha f(x)<c<f(y) és c racionális, akkor f felveszi a c értéket; és

(iv) ha x,y,z egészek és összegük nulla, akkor f(x)+f(y)+f(z)=f(x)f(y)f(z) teljesül.

1.feladat. Jelölje az n pozitív egész szám pozitív osztóinak számát d(n). Melyik az a legkisebb valós c érték, amellyel teljesül minden pozitív egész számra?

2.feladat. Legyenek n1 és a₁<a₂<...<a_n egészek. Biz. be, hogy azoknak az 1i<jn pároknak a száma, amelyekre a_j-a_i kettőhatvány, legfeljebb akkora, mint azoknak az 1i<jn pároknak a száma, amelyekre j-i kettőhatvány.

3.feladat. Egy országban a városok közötti közlekedés vonaton és busszal lehetséges. A vasúttársaság és a buszvállalat is bizonyos várospárok között közlekedtet járatokat, ám két város között nem feltétlenül jár mindkét irányba járat. Tudjuk, hogy bárhogyan is választunk ki két várost, el lehet jutni egy fajta közlekedési eszközön (esetleges átszállásokkal) az egyikből a másikba(de a másikból az egyikbe már nem feltétlenül). Biz. be, hogy van olyan város, amelyből bármely másik város elérhető egyféle közlekedési eszközzel úgy, hogy a különböző városokba jutás eszköze más-más lehet.

I.díj: Lovász László Miklós, II.díj: Nagy János.

Oké :) kik a díjazottak :)?

Sajnos nincsen olyanom, amúgy tudom. :)

A Kömal 2009/2 számában.

Sziasztok!

A 2008. évi verseny feladatai, illetve eredményei elérhetőek valahol?

Mikor lesz meg, hogy kit hívnak meg az eredményhirdetésre?

Azt tudom, de kíváncsi voltam, hogy ez jó-e, sajnos nem :-(

Na mindegy