Fórum: Differenciálszámítás

[1] [2] [3]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[60] lorantfy	2010-12-25 23:46:34
Egy fgv. differenciálható egy adott helyen, ha a differencia hányadosnak létezik határértéke az adott helyen és az véges. A határérték meg akkor létezik (röviden) ha van véges bal- és jobb oldali határértéke és azok egyenlők. Szóval jóra gondoltál: A fgv. az x=1 helyen nem differenciálható, hiszen a differenciálhányados bal és jobb oldali határértéke ebben a pontban nem egyenlő, tehát ebben a pontban nem létezik a differenciálhányados. De gondolom, azóta már régen megírtad ebből a ZH-t, amiben egy szakaszonként változó, paraméteresen megadott függvényt kellett differenciálhatóvá tenni a paraméterek megadásával. Legalább is ilyet szoktak adni. (Legközelebb, ha szünetet tartasz, kérlek, velünk ne közöld, hogy az milyen szünet volt! Köszönöm!)

Előzmény: [59] ga.bakonyi, 2010-10-16 22:39:42

[59] ga.bakonyi

2010-10-16 22:39:42

Még egyszer Üdv mindenkinek!

Tartottam egy rövid cigiszünetet, és közben rájöttem, hogy az előbb az első esetben alaposan összekevertem a feladatmegoldást egy lehetséges ellenőrzéssel. Amit először gyárottam, az az f(x)derivált függvénye, aminek a helyettesítéai értéke 4 ill. 3 a megfelelő heyen. Tehát ezeknek kell lenni a határértékeknek, amiket a tulajdonképpeni feladatmegoldásnál kaptam. Tudtam, hogy nem stimmel valami, de azt nem gondoltam, hogy így össze tudok keverni fontos fogalmakat. Szégyellem magam:) Elnézést a zavarásért. Ha egyéb hiba is van, szépen kérem jellezzék. Még egyszer köszönöm.

[58] ga.bakonyi

2010-10-16 22:05:25

Üdv! Kicsit belekeverdtem a következő példába:

"Írja fel az f(x) függvány a=1 helyhez tartozó d(x) differenciahányados függvényét és számítsa ki d(x)féloldali határértékeit az az a=1 helyen! Differenciálható-e a függvény az a=1 pontban?"

2x*x+3, ha x<=1 ; f(x)=

3x+2, ha x>1

Mo:

A problémám az a=1 hely kitétellel van. Enélkül azt mondanám, hogy

d(x)= 4x, ha x<=1 ;

3, ha x>1

Ebben az esetben d(x) bal oldali határátéke 4, a jobb pedig 3, mivel nem egyenlőek, a függvény nem dif-ható a=1 ben.

De mivel tőlem az 1 helyhez tartozó differenciahányadost kérték, megfordult a fejemben, hogy nem-e a definíció szerinti felírást akarták itt rajtam számon kérni. Kérdés: Van értelme a következőnek:

d(x)= (2x*x-2)/x-1 = 2x+2, ha x<=1 ;

(3x-3)/x-1= 3, ha x >1

Ezeket az f(x)-f(a)/x-a alakból szültem egy kis átalakítással, meg egyszerűsítéssel, de itt nem volt türelmem részletezni.

A határértékek: balról:4 jobbról 3, tehát ugyanaz a válasz, hogy nem dif.-ható a függvény, mert a két határérték nem egyezik meg.

Egyébként a grafikonokból is látszik, az f(x)-nek töréspontja van a=1 ben, tehát nem "sima", d(x)-nek pedig akkora a szakadása, mint egy nagy ház. (Eredetileg az ábrázolás is kérdés volt, de azt még úgy sem tudom ide tenni, mint a szép matematikai jelöléseket.)

Szóval, elvileg ugyanazt kaptam, bárhogy próbálkoztam, de ez az intervallummal való megadás nekem gyanús. Akárhogy is, nem tetszik a megoldásom, nem tudom megfogalmazni, de szerintem valami hatalmas koncepcionális hibát vétettem. Szeretném kérni, hogy aki ráér,ellenőrizzen és legyen szíves írja meg, hol vétettem. Rossz előérzetem van a példával kapcsolatban, és ha a zh-ban derül ki, lehet, hogy késő lesz...

Köszönöm

[57] SmallPotato	2010-01-19 15:12:23
Lassú voltam :-)
Előzmény: [55] nadorp, 2010-01-19 15:06:27

[56] SmallPotato

2010-01-19 15:11:37

Hát azért ez nem "rögtön az eleje". Legalábbis nem a differenciálszámításnak.

Ha jól látom, az egyenletedben érdemes lenne egy új változót bevezetni.

$\frac {dy} {dx} = \frac{x+y}{y-x} = \frac{1+\frac y x}{\frac y x -1},$

ahonnan pl

$t = \frac y x$

helyettesítéssel egyrészt

y=tx,

másrészt

$\frac {dy} {dx} = \frac{1+t}{t -1}.$

Ez utóbbiba ( $\frac {dy} {dx}$ helyébe) az y=tx függvény differenciálhányadosát beírva az eredmény (t-re) elemi módon adódik.

Előzmény: [54] vaszil1, 2010-01-19 11:14:20

[55] nadorp

2010-01-19 15:06:27

Egy lehetséges megoldás kezdet:

$\frac{dy}{dx}=\frac{y+x}{y-x}=\frac{\frac yx+1}{\frac yx-1}$

Legyen $\frac yx=z$ , azaz y=zx. Ekkor

$\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}x+z=\frac{z+1}{z-1}$

Innen már nem nehéz folytatni

Előzmény: [54] vaszil1, 2010-01-19 11:14:20

[54] vaszil1	2010-01-19 11:14:20
Sziasztok. új vagyok itt de látom, hogy vágjátok a differenciálszámítást. Én is megpróbálkoztam vele, de rögtön az elején elakadtam. Az egyenletem a dy/dx=(x+y)/(y-x) volt. Már többféleképpen is megpróbáltam megoldani, de sehogy sem tudom. Kérlek segítsetek.

[53] Lóczi Lajos	2010-01-10 00:25:17
(1)-re pl. egy képlet: $\frac{1}{x}\sin(x^2)$ .
Előzmény: [52] Cogito, 2010-01-09 22:59:24

[52] Cogito

2010-01-09 22:59:24

Az (1)-re adott válaszhoz:

Az ötlet jó. Esetleg képlettel is meg tudna adni valaki egy ilyen függvényt?

A (2)-re adott válaszhoz:

Hát igen. Ezt a feladatot azért tettem fel, mert rokonságot mutat az Érdekes matekfeladatok [3129]-es feladatával. Így nem véletlen, hogy az ott talált megoldások némelyike itt is felbukkanhat. (Van ott még valami, ami szintén ül itt is ... .) Ha már ennyi bőrt lehúztunk, húzzunk le még egyet: (2)-re adható ugyanis egy további, az Érdekes matekfeladatok/[3136]-tól különböző megoldás is ... .

Előzmény: [49] jonas, 2010-01-09 16:40:56

[51] lgdt	2010-01-09 19:51:31
Meg ennek.
Előzmény: [50] lgdt, 2010-01-09 19:45:23

[50] lgdt	2010-01-09 19:45:23
Azt hiszem, ennek is van köze a kérdésedhez.
Előzmény: [41] Kovacs Bela, 2009-02-12 12:54:02

[49] jonas

2010-01-09 16:40:56

A (2)-re igen a válasz. Ugyanaz az indoklás, mint az Érdekes matekfeladatok [3136] hozzászólásban: ha a deriváltnak van a végtelenben határértéke, és az nem nulla, akkor az eredeti függvény határértéke végtelen.

Az (1) nyilván nem igaz, a függvény tarthat a végtelenben A-hoz olyan hullámos módon, hogy a deriváltja nem konvergens. Mondjuk a függvény legyen cikcakkos, felváltva 1 és -1 meredekségű egyenesekből áll, beszorítva két nullához tartó függvény közé, csak a sarkok legyenek lesimítva egy kicsit.

Előzmény: [46] Cogito, 2010-01-09 15:07:09

[48] Maga Péter	2010-01-09 16:25:44
Valószínűleg úgy érti (1)-et, hogy 'Következik-e (...)?'. És ha ott a válasz nemleges, akkor (2) 'és ha még azt is feltesszük, hogy (...), akkor következik-e (...)?'
Előzmény: [47] SmallPotato, 2010-01-09 15:38:04

[47] SmallPotato

2010-01-09 15:38:04

Ha B = 0, akkor (1)-re nem lehetett nemleges a válasz.

Biztosan így akartad feltenni a kérdéseket?

Előzmény: [46] Cogito, 2010-01-09 15:07:09

[46] Cogito

2010-01-09 15:07:09

Legyen f az (a, $\infty$ ) intervallumon értelmezett differenciálható függvény és tegyük fel, hogy az

$A:=\lim_{x\to\infty}f(x)$

határérték létezik és véges.

(1) Igaz-e, hogy $\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$ ?

(2) Ha (1)-re nemleges a válasz és feltesszük, hogy a

$B:=\lim_{x\to\infty}f'(x)$

határérték létezik és véges, igaz-e, hogy B = 0?

[45] jonas	2009-02-13 17:38:24
Az egész a láncszabály miatt van. Képzeld azt, hogy a differenciálegyenletedben, ami legyen például dy=y^.dx, az y függő változó és az y régi független változó valójában mindketten egy t paramétertől függenek. Jelentse dy az y deriváltját t függvényében, és dx az x deriváltját a t függvényében. Mármost úgy kell képzelni, hogy ez a paraméterezés lényegtelen, tehát tetszőlegesen meg lehet változtatni. Ha egy másik paraméterezésre térnél át, akkor a t szerinti deriváltak megváltoznának ugyan, de az arányuk (bármilyen rögzített pontban) nem változna. Ezért aztán a differenciálegyenletben nem szerepelhet olyan, hogy mondjuk dy=5, mert nem invariáns a paraméterezésre. Mármost ha így képzeled el az egyenletet, akkor végigoszthatsz dx-szel, és a láncszabály miatt dy/dx épp annak a függvénynek a deriváljta, ami y-t adja meg x függvényében. Azt is megtehetnéd viszont, hogy dy-nal osztassz le, és az y-t tekinted független változónak: az így kapott differenciálegyenletnek ugyanaz az (x,y) pontokból álló görbe a megoldása, csak ha most a megoldást úgy írod fel, hogy az x-et adod meg az y függvényében, akkor épp az inverzét kapod annak a megoldásnak, amit az előbb kaptál. (Lehet persze gond abból, ha dx vagy dy valahol nulla.)
Előzmény: [41] Kovacs Bela, 2009-02-12 12:54:02

[44] Lóczi Lajos

2009-02-12 21:33:40

Általában egy fizikai modellből származtatod a differenciálegyenletet, lásd pl. a

http://banach.millersville.edu/~bob/math161/Modeling/main.pdf

első pár sorát, vagy a

http://mintaka.sdsu.edu/GF/explain/atmos_refr/diff_eq.html

oldal ábráját. Itt van szükséged a "kicsi" változásokra, amelyekkel aztán 0-hoz tartunk.

Előzmény: [41] Kovacs Bela, 2009-02-12 12:54:02

[43] SmallPotato	2009-02-12 20:47:06
(Az előbbiben a számláló $\Delta$ y természetesen lehet adott esetben nulla is; a lényeg a nevező $\Delta$ x nullához tartó jellege.)
Előzmény: [42] SmallPotato, 2009-02-12 20:43:12

[42] SmallPotato

2009-02-12 20:43:12

Biztosan találkoztál azzal az interpretációval, hogy pl. a határozott integrált, mint függvénygörbe alatti területet, téglalapterületek összegével közelítjük. A független változó (itt x) tengelye mentén a függvény vizsgált tartományát felosztjuk "kicsi" részekre, ezek szélessége mondjuk $\Delta$ x, és képezzük azon téglalapok területének összegét, amelyek szélessége ezen $\Delta$ x, magassága pedig a mindenkori f(x). Ha mármost a felosztás finomításával (azaz $\lim_{\Delta x\to 0}$ esetén) e területösszegnek létezik határértéke, akkor ez épp a keresett határozott integrál. Ekkor azonban nem beszélhetünk véges (nem-0) $\Delta$ x-ekről, hanem jelezni kívánjuk: ezek a szakaszok 0-hoz tartó határértékek. Ezért nem $\Delta$ x-szel, hanem dx-szel jelöljük őket. Az $\int f(x)dx$ jelölés tartalma (ahol az integráljel alakja nem véletlenül egy elnyújtott S betű, a szummát sugallva) gyakorlatilag egy téglalapterület-összeg: $\lim_{\Delta x\to 0} \sum \Big( f(x) * \Delta x \Big)$ .

Ha a differenciahányadosra, majd a differenciálhányadosra gondolsz, az értelmezés hasonló. A $\frac {\Delta y} {\Delta x}$ mint differenciahányados két véges (nem-0) szám hányadosa; a $\frac {dy} {dx}$ szimbólum mint differenciálhányados már nem valódi hányados, hanem az előbbinek határértéke, ha $\lim_{\Delta x\to 0}$ .

Előzmény: [41] Kovacs Bela, 2009-02-12 12:54:02

[41] Kovacs Bela

2009-02-12 12:54:02

Igen. Én is látom, hogy ezt csinálják vele.

(x²+1)dx

De azt még mindig nem értem, hogy mondjuk ennek a kifejezésnek mi a jelentése?

Előzmény: [40] Lóczi Lajos, 2009-02-11 23:55:39

[40] Lóczi Lajos

2009-02-11 23:55:39

Formálisan ossz le dx-szel, és ahol dy/dx-et látsz, cseréld ki y'(x)-re; vagyis

xy²(x)+y(x)+(x²y(x)-x)y'(x)=0.

(Ha pedig dy-nal osztottál volna le, akkor az y(x) megoldás x(y) inverzére kapnál egy differenciálegyenletet.)

Előzmény: [39] Kovacs Bela, 2009-02-11 20:34:26

[39] Kovacs Bela

2009-02-11 20:34:26

Még a suliban nem tanultunk differenciálszámítást. De utánaolvastam a dolgoknak, és tudom, hogy mi az a deriválás, meg az integrálás. Azonban azt nem tudom megérteni, hogy mit jelent amikor a differenciál egyenletben dx-et, vagy dy-t írunk egy sima kifejezés végére. Pl.:

(xy²+y)dx+(x²y-x)dy=0

[38] j.milan	2009-01-23 22:15:41
Köszönöm a segítséget, szépen kijött. A derivált még egyszeri nekifutásra nekem is az lett. De az addíciós tételekkel szép nagyon!
Előzmény: [37] Euler, 2009-01-22 23:33:56

[37] Euler	2009-01-22 23:33:56
Használd az addiciós összefüggést, sinx négyzete=( 1- cos2x)/2, ezt beirva már egyszerű, mert sin2x-cos2x értékkészlete kell valójában, ezt pedig megegyezik gyök2. sin(2x-45 .), innen már menni fog.
Előzmény: [35] j.milan, 2009-01-22 21:03:58

[36] Doom	2009-01-22 22:03:06
Te mit kaptál a deriváltra? (Én 6*Cos[2x]+12*Cos[x]*Sin[x] -et)
Előzmény: [35] j.milan, 2009-01-22 21:03:58

[1] [2] [3]

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?