Fórum: Feladatok új megoldóknak

17. a) feladat: Szerkesszünk három olyan kört, melyek páronként érintik egymást és középpontjaik egy adott háromszög csúcsai!

17. b) feladat: Szerkesszünk három olyan kört, melyek páronként egy adott háromszög csúcsaiban érintik egymást!

Egy kicsit gondolkodtató, de nagyon szép feladat! Kifejezeten tetszik, öcsémnek feladom :)

16. feladat: Egy, már akár hetedikeseknek is szóló feladat:

Az ABCD trapéz magassága 8 cm, DA szára 10 cm, a BC szár felezőpontja E. Mekkora a trapéz területe, ha az AED szög derékszög?

Elnézést kérek.

A megoldás helyes, de mivel ez a "feladatok új megoldóknak" téma, én a 15. feladat elemibb ismereteket felhasználó megoldására gondoltam.

Hasonlóan úgy vélem, a grupoidokról szóló levélváltás érdekes, de nem ebbe a témába való.

Húhaj, már írtam neked, akkor megy mégegyszer...

Szívesen. Az email elvileg működik (gubbubu kukac frímél ...). csak arra figyelj, hogy ha mailt írsz, akkor írj valami releváns magyar szöveget a "tárgy" mezőbe (mondjuk "komal fórum", "yrcsi a komalfórumról" vagy hasonló), mert az idegen hangzású nevű, és általam ismeretlennek tekintett feladóktól származó, vélhetően idegen nyelvű maileket olvasás nélkül törlöm (nem tudom, nyertél már zimbabwei banktól 8 millió USD-t, potom száz dollár befizetése fejében, én minden hónapban szoktam ... sz'al érted, miről beszélek :-)

Szia, nagyon szépen köszönöm a segítséged. Ugye jó az emilkéd?

métr= már, szép példája a dupla elütésnek (ha valaki ránéz a billentyűzetre, rájöhet, hogy jön ki az ilyesmi).

"Anyi" = annyi, elütés.

Az biztos, hogy mindkét struktúra grupoid. A grupoid az anyi, hogy megadsz egy halmazt és egy rajta értelmezett műveletet, ami nem vezet ki a halmazból. Két n×n-es mátrix szorzata is ilyen mátrix, két egész szám szorzata mínusz nyolc is egész szám. A két struktúra mindegyike grupoid. Ellenpélda: az (R,*), ahol *=a(1/b), például nem lenne grupoid.

A félcsoport olyan grupoid, amelynek a művelete asszociatív. A mátrixok szorzása asszociatív, a mátrixos példád tehát félcsoport. A második példa nem. Vegyünk három x,y,z egész számot, a * művelet asszociativitása azt jelenti, ezek tetszőleges megválasztása esetén (x*y)*z = (xy-8)*z = (xy-8)z-8=xyz-8z-8 egyenlő x*(y*z)=x*(yz-8)=x(yz-8)-8=xyz-8x-8. Tehát a * művelet akkor és csak akkor asszociatív, ha bármely x,y,z egészekre xyz-8z-8=xyz-8x-8, azaz z=x. Ez nem feltétlenül igaz, hiszen a z-t megválaszthatjuk úgy, hogy ne legyen egyenlő az x-szel. Pl. legyen a három szám x=1, y=2, z=3, és ez esetben (1*2)*3=6-24-8=-26, míg 1*(2*3)=6-8-8=6, tehát szemlátomást nem egyenlőek.

A monoid egységelemes félcsoportot jelent. Az n×n-es mátrixok szorzására nézve az n×n-es egységmátrix egységelem, azaz ezzel bármely A mátrixot szorozva akár balról akár jobbról, az A-t kapjuk. A 3×3-as mátrixok a szorzással monoidot alkotnak tehát. A második, egészszámos struktúra nem volt félcsoport, tehát monoid sem lehet.

Viszont egyik struktúra sem csoport. A csoport olyan E egységelemű monoidot jelent, amelynek minden X eleméhez található olyan X' elem, amelyre XX'=X'X=E. Könnyen ellenőrizheted, hogy a 3×3-as nullmátrixhoz nincs ilyen mátrix, amellyel megszorozva az egységmátrix adódna, hiszen a nullmátrixszal bármit is szorzol a struktúrából, a nullmátrixot kapod. A másik, egészszámos példa métr félcsoport és monoid sem volt, tehát csoport sem lehet.

"Ez most már egy négy elemi t.d.n.f." helyesbítve: "ez most már egy négy darab elemi konjunkciót tartalmazó t.d.n.f."

Ha értéktáblázatos (szemantikus) megoldást akarsz, azt nem írom le (a magyar Wikipédián van egy "Diszjunktív normálforma" c. cikk, ld. itt és egy példát itt.

Szintaktikus megoldás a következő. Tudjuk, hogy XY-XY (ha erről nem tudtál volna, a bizonyítása jó kis háef számodra: legegyszerűbb értéktáblázattal).

Ezt az azonosságot alkalmazva akkor (CA)B(-CA)B(-CB)(AB), hiszen csak be kell szorozni B-vel (megtehetjük, mert a konjunkció/metszet és a diszjunkció/unió egymásra nézve ide-oda-mindenfele disztributív műveletek). És már szinte készen is vagyunk, hiszen ez már egy diszjunktív normálform(ul)a, mert logikai atomok vagy negált logikai atomok (összefoglalva: literálok) konjunkcióinak diszjunkciója.

Igen ám, de te teljes diszjunktív normálformát kértél. Ha jól emlékszem - de mondd, ha nem - a t.d.n.f. az egy olyan d.n.f., amelynek minden elemi (két diszjunkciójel közti) konjunkciójában minden atom előfordul, ami az eredeti formulában is. Na jó. Az első elemi konjunkcióból az A atom hiányzik, a másodikból a C. Bővítem az elemi konjunkciókat úgy, hogy előforduljon bennük a kívánt, hiányzó atom, de az elemi konjunkció értéke ne változzon. Ezt elérhetem, ha a konjunkcióhoz még hozzákonjugálok egy azonosan igaz, és a hiányzó X atomokat tartalmazó formulát, nevezetesen X-X -et.

Kitérő: Itt tehát két két logikai azonosságot használunk: 1). azt, amit röviden, bár nem túl precízen úgy írhatunk le, hogy Z1Z, ez biztosítja, hogy az elemi konjunkcióhoz (Z) azonosan igaz formulát (1) konjugálva, annak értéke ne változzon, maradjon Z értékével egyenlő (a halmazelmélet nyelvén 1 helyett -Ø, az üres halmaz komplementere (univerzum) írandó). 2). felhasználjuk továbbá, hogy tetszőleges W atomra W-W1. - Kitérő vége.

Az első elemi konjunkciót (-CB) tehát A-A-val, a másodikat (AB) pedig C-C-vel bővítem ki, és a fentiek szerint ekvivalens formulát kapok,ami a következő:

[(-CB)(A-A)][(AB)(C-C)]

A francba. A formula ekvivalens az eredeti dnf-fel, de maga már nem dnf. Nosza alkalmazzuk a disztributivitást, a szögletes zárójelek első kerek zárójeleiben lévő formulákat bonthatatlan egésznek gondolva, szorozzuk be velük a második kerek zárójelek diszjunkcióit. Ilyesmi jön ki:

[(-CBA)(-CB-A)][(ABC)(AB-C)]

Ez most már egy négy elemi t.d.n.f. Hurrá! Ha kicsit jobban megvizsgálod, látni fogod, hogy az első és a negyedik elemi konjunkció ugyanaz, hiszen ugyanazokat a literálokat tartalmazzák más sorrendben. Hivatkozva a konjunkció kommutativitására, illetve idempotenciájára, az első vagy a negyedik elemi konjunkció mint többszörös, nyugodtan elhagyható. És így adódik a végeredmény.

Ha valami nem lett volna érthető, kérdezz rá bátran. Kicsit hosszadalmasan magyaráztam, de a lényege egyszerű: nehány egyszerű azonosságot és egyetlen egyszerű kis ötletecskét használunk.

Volna még egy másik fontos feladat, ebben kérnék segítséget.

Vizsgálja meg az alábbi struktúrákat és mindegyikről döntse el, hogy grupoid, félcsoport, monoid illetve csoport lesz-e? a./ A 3X3-as mátrixok szorzásra nézve, b/ (Z,*), ahol a*b=ab-8 , A "Z" az egész számok halmaza lenne

Jó lenne, ha ezt elmagyárázná valaki nekem. Köszönöm.

Leírnád a megoldás menetét is? Köszi.

Így már érthető.

Sebtiben a következő megoldást kaptam:

(CA)B=

=(ABC)(AB-C)(-AB-C)

--szal a negációt jelöltem. Ellenőrizd, hogy jó-e. Ha kívánod, a megoldás menetét is leírom (már ha jó a megoldás jó).

Mondasz valamit a névelőről ... a mondatvéget jelző pont hiánya igencsak megkavart engem. :-)).

Közfelkiáltással megszavazva :-))

Szóval így lenne, (C implikáció jel A ) metszet jele B

így jól írtam le?

Igen, a vee és wedge helyett sincs elterjedt magyar elnevezés, én "völgy"-et és "hegy"-et javaslok.

A "metszet"-et egy "t"-vel akartam írni, ha már így rámentünk a jelekre.

"(C - A)cupB A C és az A között pedig egy nyíl az A felé. "

Szerintem a B betű utáni A betű a magyar névelő az új mondatban.

Nem értem, miért "cup"-ot írt (TeX-kódja: "\cup", vagyis ), ha a "cap" (TeX-kódja: "\cap", vagyis ) lenne a logikusabb, ha már lefelé nyitott félkörről beszél.

Amúgy nemrég tudtam meg, és nagyon tetszett, hogy régebben magyarul az unió helyett gyakran "kupát", míg a metszett helyett "kaput" olvastak a matematikusok. :)

És a B és az A közt nincs véletlenül valami? Mert én eddig jutottam:

(C-A)B?AC

de szerintem a kérdőjel helyén is kell valami legyen (ha más nem, zárójel).

Azt viszont nem értem, mit jelölsz kivonással? A logikában nemigen szokás ilyen jelet használni, gondolom, ez az "A és nem B" művelet(?). Mert ezt nem szokás bevezetni. Persze ha azt mondod, vezessük be, akkor máris ugrom neki, de előbb tisztázni kellene, tényleg ezt jelenti-e.

Legyen AB ideális pontja I és AC ideális pontja J. Ekkor P a DR és BQ, S az RI és QJ, C pedig a DI és BJ egyenesek metszéspontja. Így a (BRI) és (DQJ) kollineáris ponthármasokra alkalmazva a Papposz-tételt éppen a feladat állítását kapjuk.

15. feladat

Az ABCD paralelogrammában legyen P az ABD háromszög belső pontja. BP és AD metszéspontja Q, DP és AB metszéspontja R. A Q-n keresztül AB-vel párhuzamosan húzott és az R-en keresztül AD-vel párhuzamosan húzott egyenes metszéspontja S. Bizonyítsuk be, hogy C, P és S egy egyenesen van.