Fórum: Segítség matematikai összefüggések megértéséhez

Én úgy oldottam meg, hogy eleve olyan számot emeltem ki, ami tartalmazta a 4-et, így azt kellett belátni, hogy a zárójelben egész szám áll.

3 esetén ez így néz ki: a 9-es előtt álló szám ugye 10x²+6x, amiből ha 4-et kiemelünk, akkor 4(2,5x²+1,5x) lesz, ami páros szám (x=2k) esetén 4(10k²+3k)-t ad, tehát a zárójelben egész szám van, a 4-es kiemelés miatt pedig a kifejezés osztható 4-gyel. Ki lehet emelni 4x-et is, ekkor 4x(2,5x+1,5)-öt kapunk. Ha x páratlan (x=2k+1), akkor a zárójelben a műveletet elvégezve 5k+4 áll, ami egész szám, és a 4-es kiemelés miatt az egész kifejezés osztható lesz 4-gyel.

7 esetén ez így néz ki: a 9-es előtt álló szám ugye 10x²+14x+4, amiből ha 4-et kiemelünk, akkor 4(2,5x²+3,5x+1) lesz, ami páros szám (x=2k) esetén 4(10k²+3k+1)-t ad, tehát a zárójelben egész szám van, a 4-es kiemelés miatt pedig a kifejezés osztható 4-gyel. Ki lehet emelni 4x-et is, ekkor 4x(2,5x+1,5)+4-et kapunk. Ha x páratlan (x=2k+1), akkor a zárójelben 5k+7 áll, ami egész szám, és a 4-es kiemelés miatt a kifejezés osztható lesz 4-gyel, ehhez 4-et hozzáadva továbbra is osztható lesz 4-gyel.

A pitagoraszi számhármasokra több is igaz:

- valamelyik befogó hossza osztható 3-mmal

- valamelyik befogó hossza osztható 4-gyel

- valamelyik oldalhossz osztható 5-tel

Ennél több pedig nyilván nem teljesülhet általánosan, mint azt a 3, 4, 5 számhármas is mutatja. Bizonyítást most nem írok, az előző bizonyításban leírtakból szinte össze is rakható.

Ezzel hülyeséget mondtam, bocsi. Nem olvastam elég figyelmesen, és a saját gondolatmenetemben írtam le a számokat... A második tényleg rövidebb egy picit! :)

Köszi, így minden világos. Egy lépést ki lehet hagyni, ha 20-at emelünk ki, ami osztható 4-gyel. :) Nagyon köszönöm a segítséget.

Igazából van egy elegánsabb és gyorsabb megoldás is:

3-ra vagy 7-re végződő szám négyzete 9-re végződik. Tehát egy ilyen (páratlan) négyzetszám az alábbi alakba írható:

x²=10A+9

itt A jelöli a 9-es előtti számot, ami tehát nem feltétlenül egy számjegy.

rendezzük ezt át:

x²-9=10A

Használjuk fel, hogy egy négyzetszám 8-cal osztva 0 v. 1 v. 4 maradékot ad (ebből következik, hogy mindenképpen 1 a maradék, ha a szám páratlan). Mivel most x páratlan, ezért a baloldalon egy 8-cal osztható szám áll (1 maradék - 1maradék = 0 maradék). Persze ekkor a jobboldal is osztható 8-cal. De a 10-ben csak egy db 2-es szorzótényező van, így A-ban kell lennie min. 2-nek, azaz A osztható 4-gyel.

ja, értem, akkor igaz :)

Egy 3-ra végződő szám 10a+3 alakba írható, ennek a négyzete ekkor (10a+3)²=100a²+60a+9. Mi áll a 9-es előtt?

100a²+60a+9=10(10a²+6a)+9, tehát a 9-es előtti szám a 10a²+6a. Erről kell tehát bebizonyítani, hogy 4-gyel osztható. Az, hogy páros, látszik. Osszunk le 2-vel, és lássuk be, hogy az is páros: 5a²+3a=a(5a+3). Ha a páros, akkor kész vagyunk, mert a-val osztható a szorzat; ha pedig a páratlan, akkor is kész vagyunk, mert ekkor meg 5a+3 lesz páros.

Ugyanígy lehet belátni 7-re végződő számra is: (10a+7)²=100a²+140a+49. A 9-es előtti szám ekkor: 10a²+14a+4. Ez lesz osztható 4-gyel: 10a²+14a+4=2a(5a+7)+4. A 4 osztható 4-gyel, illetve mint az előbb 2a(5a+7) is.

Ritka az ilyen ügyesen magyarázó ügyeletes.:)

Köszi. Először én is azt hittem, hogy az 1) állítás nem igaz, de 72 osztható 4-gyel, és így már újra fennállt a gondom. :) Itt a Wikipédia pontos megfogalmazása: "Ha a szám utolsó számjegye 3 vagy 7, akkor a négyzete 9-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztható számot alkotnak".

majdnem jó:

1,2144 lesz az eredmény. Gondolj arra, hogy nem érdekel minket a tizedesvessző: toljuk el néggyel jobbra, ezután olyan, mintha egy egész számot szoroznánk, majd a végén toljuk vissza 4-gyel.

úgy látom ma én vagyok az ügyeletes :)

1,

ez nem igaz: 27²=729

2, Te a pitagoraszi számhármasokra gondolsz, azaz olyan egész számokra, melyekre a²+b²=c². És igaz az állítás:

Amit fel kell használni az az, hogy négyzetszámok 3-mal osztva 0 v. 1 maradákot adnak illetve ez igaz a 4-es maradékra is: négyzetszámok 4-gyel osztva 0 v. 1 maradákot adnak.

Ebből már következik mindkét tulajdonság, hiszen ha pl. egyik befogó (a v. b) sem páros, akkor a 4-es maradék a baloldalon 1+1=2, de a jobboldalon meg csak 0 v. 1 lehet, és ez ellentmondás. A másik pedig: ha egyik sem osztható 3-mal, akkor megint a 3-as maradék a baloldalon 2, míg a jobboldalon nem lehet 2.

Még egy valami: Kipróbáltam, hogy mennyi jön ki, ha a 0,1A4C-t ezúttal B-vel szorzom.

Nekem 0,12144 jött ki.

Ugye jól számoltam?

Sziasztok! Két kérdésem lenne. 1) Interneten (egészen pontosan a Wikipédián) olvastam, hogy a 3 és a 7 végződésű számok négyzete 9-re végződik. Eddig rendben is van, de azt is írták, hogy a kilences előtti számnak oszthatónak kell lennie néggyel. Erre van valamiféle bizonyítás? 2) Adott a Pitagorasz-tétel. Azt olvastam róla még régebben, csak már nem tudom hol, hogy a befogók közül legalább az egyik osztható kettővel és legalább az egyik osztható hárommal. Erre is található valami bizonyítás?

A válaszokat előre is köszönöm! Próbáltam egyedül nekilátni, de nem jutottam semmire.

Már értem.:)

Hálás köszönet!

és 24₁₆+6=2A₁₆

minden 16-os számrendszerben van. 4*9=36=2*16+4=24₁₆

"4*9 = 24 hozzáadom a 6-ot : 2A, leírom az A-t, megy tovább a 2 "

Ezt nem értem. A 24 és a 6 összege 30, ami hexadecimális számrendszerben 1E.

Hogy jön ki a 2A?

mi sem egyszerűbb :)

hátulról kell, és nem kell megijedni a 108-tól, mert 108₁₀=6C₁₆

Szóval megy minden úgy, mint tízes számrendszerben, csak vinni kell tovább a 6-ot eggyel magasabb helyiértékre:

tehát az eredeti szám: 0,1A4C, ezt szorozzuk 9-cel:

C*9 = 6C. leírom a C-t, a 6-ot viszem tovább:

4*9 = 24 hozzáadom a 6-ot : 2A, leírom az A-t, megy tovább a 2

A*9 = 5A hozzáadom a 2-t: 5C, leírom a C-t, megy tovább az 5

1*9 = 9 hozzáadom az 5-öt: E.

és kész

Viszont van egy dolog, amivel továbbra sem boldogulok.

Ha a hexadecimális 0,1A4C-t megszorzom 9-el, miért ez jön ki - 0,ECAC? Próbáltam úgy, hogy háturól kezdve megszorzom 9-el az egyes értékeket, de ez a módszer azonnal zátonyra futott, mivel a C . 9 108-al egyenlő, ezt meg nem nagyon találom összeegyeztethetőnek egy C értékkel.

Majd a továbbiakban: 0,1A4C · 9 = 0,ECAC

0,ECAC · 9 = 8,520C

0,520C · 9 = 2,E26C

0,E26C · 9 = 7,F5CC

0,F5CC · 9 = 8,A42C

0,A42C · 9 = 5,C58C

http://hu.wikipedia.org/wiki/Sz

Van esetleg valakinek valamilyen ötlete?

Időközben rájöttem a dolog nyitjára.

A 0,5 decimális szám hexadecimálisra így számítandó át: 0,5 . 16 = 8

Tehát 0,8.

A 0,166 esete pedig: 0,166 . 16 = 2,656 0,656 . 16 = 10,496 de ennyi elég is

Felülről lefelé haladva leírjuk az eredmények egész részeit, a decimális 2 a hexadecimálisban is 2, a decimális 10 a hexadecimálisban A, így az eredmény 0,2A.

Én is a számrendszerekkel kapcsolatban szeretném a segítségetek kérni.

Valaki meg tudná mondani, hogy hogyan kell eljárni, ha egy decimális törtalak hexadecimális alakját akarom megkapni? Egész decimális számokat át tudok alakítani hexadecimálissá, de ezzel nem boldogulok.

Egy egyszerűbb eset: Hogy van ez 0,5-nél? És egy kissé bonyolultabb: Hogy van ez egyhatodnál, azaz 0,1666. - nál?

:-)

Következő szám amin elakadsz gondolom a lesz, esetleg .

Nem az érvényes. Ahogy stibi is írta, 1-nél kisebb számoknál ellenkezőleg járunk el, mint pozitív egész számoknál. Azaz osztás helyett szorzunk, "alulról felfelé" helyett "felülről lefelé" megyünk.:-)

Köszönöm mindkettőtöknek!

Már csak ezt szeretném megkérdezni: A szám nem egész részének átírásánál már nem érvényes az, hogy a "maradék-értékeket" alulról felfelé haladó sorrendben kell leírni az eredmény megadásánál?

Látható,hogy a 3-22 sor ismétlődni fog (0.36 kétszerese 0.72 ami a 3. sor),ezért