Fórum: Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról

Bemásolod a megoldásod?

Az előző hozzászólásom végét javítom:

⁦\(\displaystyle r^2‒d_A^2=4x*(y(z‒x)+z(y‒x))/(9a)\)

\(\displaystyle r^2‒d_B^2=4y*(z(x‒y)+x(z‒y))/(9b)\)

\(\displaystyle r^2‒d_C^2=4z*(x(y‒z)+y(x‒z))/(9c)\)

A feltevés miatt: \(\displaystyle 0<a≤b≤c\) azaz \(\displaystyle x≥y≥z>0\).

Ezért \(\displaystyle z‒x≤0\) és \(\displaystyle y‒x≤0\), így \(\displaystyle 4x*(y(z‒x)+z(y‒x))/(9a)≤0\), így \(\displaystyle r≤d_A\), azaz az \(\displaystyle A\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körön kívül, vagy annak határán helyezkedik el.

Ezért \(\displaystyle y‒z≥0\) és \(\displaystyle x‒z≥0\), így \(\displaystyle 4z*(x(y‒z)+y(x‒z))/(9c)≥0\), így \(\displaystyle r≥d_C\), azaz az \(\displaystyle C\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körön belül, vagy annak határán helyezkedik el.

B.5435

Én a következőképpen számoltam:

Az áttekinthetőség érdekében a következőképpen fogalmazom át a feladatot:

B.5435. Az ABC háromszög beírt köre a BC=a, AC=b, AB=c oldalakat rendre az \(\displaystyle E_A\), \(\displaystyle E_B\), \(\displaystyle E_C\) pontokban érinti. Legyen továbbá \(\displaystyle H_A\), \(\displaystyle H_B\), \(\displaystyle H_C\) pontok rendre az \(\displaystyle AE_A\), \(\displaystyle BE_B\) és \(\displaystyle CE_C\) szakaszok A-hoz, B-hez, illetve C-hez közelebbi harmadolópontja. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle H_A\), \(\displaystyle H_B,\) \(\displaystyle H_C\) pontok közül legalább egy a beírt kör belsejében vagy határán van.

A megoldáshoz felhasználom, hogy az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív számok pontosan akkor lehetnek egy háromszög oldalai, ha vannak olyan \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) pozitív számok, melyekre teljesül, hogy \(\displaystyle a=y+z\), \(\displaystyle b=x+z\), \(\displaystyle c=x+y\). Ez az állítás a háromszög-egyenlőtlenség felhasználásával könnyen igazolható. Továbbá ekkor ha \(\displaystyle s\) a háromszög kerületének fele, akkor \(\displaystyle x=s-a\), \(\displaystyle y=s-b\), \(\displaystyle z=s-c\) és ekkor \(\displaystyle s=x+y+z\). Továbbá ekkor \(\displaystyle a≤b≤c\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x≥y≥z\). A továbbiakban így használom az \(\displaystyle a=y+z\), \(\displaystyle b=x+z\), \(\displaystyle c=x+y\) helyettesítéseket, és felteszem, hogy \(\displaystyle 0<a≤b≤c\), azaz \(\displaystyle x≥y≥z>0\). Ekkor bebizonyítom, hogy \(\displaystyle H_C\) biztosan az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körön belül vagy annak határán helyezkedik el, \(\displaystyle H_A\) biztosan az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körön kívül vagy annak határán helyezkedik el. Az könnyen látható, hogy szabályos háromszög esetén a \(\displaystyle H_A\), \(\displaystyle H_B\), \(\displaystyle H_C\) pontok mindegyike az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt kör kerületén van.

Legyenek α, β, γ az ABC háromszög \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalaival szemközti szögei. Legyen \(\displaystyle t\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe.

Legyenek \(\displaystyle T_A\), \(\displaystyle T_B\), \(\displaystyle T_C\) pontok az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) csúcsainak az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalaira eső merőleges vetületei.

Legyenek \(\displaystyle m_A=AT_A\), \(\displaystyle m_B=BT_B\), \(\displaystyle m_C=CT_C\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalaihoz tartozó magasságai.

Legyenek \(\displaystyle G_A\), \(\displaystyle G_B\), \(\displaystyle G_C\) pontok a \(\displaystyle H_A\), \(\displaystyle H_B\), \(\displaystyle H_C\) pontoknak az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalaira eső merőleges vetületei.

Legyen \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt \(\displaystyle k\) kör középpontja, és legyen \(\displaystyle r=\sqrt{x*y*z/s}\) ennek a körnek a sugara.

Legyenek \(\displaystyle N_A\), \(\displaystyle N_B\), \(\displaystyle N_C\) pontok rendre a \(\displaystyle H_A\), \(\displaystyle H_B\), \(\displaystyle H_C\) pontoknak az \(\displaystyle E_AO\), \(\displaystyle E_BO\), \(\displaystyle E_CO\) egyenesekre eső merőleges vetületei.

Ekkor a következő számolásokat lehet elvégezni (kevésbé részletezve):

\(\displaystyle T_AE_A=x*|z‒y|/(z+y)\), innen: \(\displaystyle N_AH_A=G_AE_A=2*T_AE_A/3=(2x|z‒y|)/(3(z+y))\).

\(\displaystyle T_BE_B=y*|x‒z|/(x+z)\), innen: \(\displaystyle N_BH_B=G_BE_B=2*T_BE_B/3=(2y|x‒z|)/(3(x+z))\).

\(\displaystyle T_CE_C=z*|y‒x|/(y+x)\), innen: \(\displaystyle N_CH_C=G_CE_C=2*T_CE_C/3=(2x|y‒x|)/(3(y+x))\).

\(\displaystyle m_A=2t/a=2*\sqrt{s*x*y*z}/a\), innen: \(\displaystyle H_AG_A=2/3*m_A=4/3*\sqrt{s*x*y*z}/a\). \(\displaystyle m_B=2t/b=2*\sqrt{s*x*y*z}/b\), innen: \(\displaystyle H_BG_B=2/3*m_B=4/3*\sqrt{s*x*y*z}/b\). \(\displaystyle m_C=2t/c=2*\sqrt{s*x*y*z}/c\), innen: \(\displaystyle H_CG_C=2/3*m_C=4/3*\sqrt{s*x*y*z}/c\).

\(\displaystyle ON_A=|N_AE_A‒OE_A|=|N_AE_A‒r|=|H_AG_A‒r|=((3*x+s)*t)/(3*s*a)\). \(\displaystyle ON_B=|N_BE_B‒OE_B|=|N_BE_B‒r|=|H_BG_B‒r|=((3*y+s)*t)/(3*s*b)\). \(\displaystyle ON_C=|N_CE_C‒OE_C|=|N_CE_C‒r|=|H_CG_C‒r|=((3*z+s)*t)/(3*s*c)\).

A \(\displaystyle H_A\) pont \(\displaystyle d_A=OH_A\) távolsága az \(\displaystyle O\) ponttól a \(\displaystyle H_AN_AO\) derékszögű háromszögből (\(\displaystyle ON_A\), \(\displaystyle N_AH_A\) befogók, \(\displaystyle d_A=OH_A\) átfogók): \(\displaystyle d_A=\sqrt{ON_A^2+H_AO^2}\)

A \(\displaystyle H_B\) pont \(\displaystyle d_B=OH_B\) távolsága az \(\displaystyle O\) ponttól a \(\displaystyle H_BN_BO\) derékszögű háromszögből (\(\displaystyle ON_B\), \(\displaystyle N_BH_B\) befogók, \(\displaystyle d_B=OH_B\) átfogók): \(\displaystyle dB=\sqrt{ON_B^2+H_BO^2}\)

A \(\displaystyle H_C\) pont \(\displaystyle d_C=OH_C\) távolsága az \(\displaystyle O\) ponttól a \(\displaystyle H_CN_CO\) derékszögű háromszögből (\(\displaystyle ON_C\), \(\displaystyle N_CH_C\) befogók, \(\displaystyle d_C=OH_C\) átfogók): \(\displaystyle d_C=\sqrt{ON_C^2+H_CO^2}\)

Elvégezve a számolásokat:

\(\displaystyle d_A=\sqrt{x(+1ayz+4xbz+4xyc)/(9sa)}\)

\(\displaystyle d_B=\sqrt{y(+4ayz+1xbz+4xyc)/(9sb)}\)

\(\displaystyle d_C=\sqrt{z(+4ayz+4xbz+1xyc)/(9sc)}\)

\(\displaystyle r^2‒d_A^2=4x*(y(z‒x)+z(y‒x))/(9a)\)

\(\displaystyle r^2‒d_B^2=4y*(z(x‒y)+x(z‒y))/(9b)\)

\(\displaystyle r^2‒d_C^2=4z*(x(y‒z)+y(x‒z))/(9c)\)

A feltevés miatt: \(\displaystyle 0<a≤b≤c\) azaz \(\displaystyle x≥y≥z>0\).

Ezért \(\displaystyle z‒x≤0\) és \(\displaystyle y‒x≤0\), így \(\displaystyle 4x*(y(z‒x)+z(y‒x))/(9a)≤0\), így \(\displaystyle r≤d_A\), azaz az \(\displaystyle A\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körön kívül, vagy annak határán helyezkedik el.

Ezért \(\displaystyle y‒z≥0\) és \(\displaystyle x‒z≥0\), így \(\displaystyle z*(x(y‒z)+y(x‒z))/(9c)≥0\), így \(\displaystyle r≥d_C\), azaz az \(\displaystyle C\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszögbe írt körön belül, vagy annak határán helyezkedik el.

Még mindig a B.5429 feladattal vagyok:

Segédtétel: Ha az \(\displaystyle M\), \(\displaystyle M_1\), \(\displaystyle M_2\), \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\) pontok közül az \(\displaystyle M\) pont rajta van az \(\displaystyle M_1\) és \(\displaystyle M_2\) pontok által meghatározott egyenesen, akkor a következő összefüggés teljesül: \(\displaystyle [MM_1K][MM_2L]=[MM_1L][MM_2K]\)

Segédtétel bizonyítása: Legyen \(\displaystyle m_1=MM_1\), \(\displaystyle m_2=MM_2\), ,legyen \(\displaystyle k\) a \(\displaystyle K\) pont távolságsa az \(\displaystyle M_1M_2\) egyenestől, legyen \(\displaystyle l\) az \(\displaystyle L\) pont távolsága az \(\displaystyle M_1M_2\) egyenestől.

Ekkor \(\displaystyle [MM_1K]=\frac{m_1k}{2}\), \(\displaystyle [MM_2L]=\frac{m_2l}{2}\), \(\displaystyle [MM_1L]=\frac{m_1l}{2}\), \(\displaystyle [MM_2K]=\frac{m_2k}{2}\) teljesülnek.

Ezeket az összefüggéseket beírva a bizonyítandó \(\displaystyle [MM_1K][MM_2L]=[MM_1L][MM_2K]\) összefüggésbe, egyenlőség adódik.

Segédtétel (Pascal-tétel): Az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontok pontosan akkor vannak egy kúpszeleten, ha az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) egyenesek \(\displaystyle U\) metszéspontja, \(\displaystyle AF\) és \(\displaystyle ED\) egyenesek \(\displaystyle V\) metszéspontja, \(\displaystyle BF\) és \(\displaystyle EC\) egyenesek \(\displaystyle W\) metszéspontja egy egyenesen vannak.

A feladat állításának bizonyítása:

Az \(\displaystyle C\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle U\), \(\displaystyle W\), \(\displaystyle B\) pontok között az \(\displaystyle C\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle U\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [CAW][CUB]=[CAB][CUW]\).

Az \(\displaystyle F\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle E\) pontok között az \(\displaystyle F\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle V\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [FAB][FVE]=[FAE][FVB]\).

Az \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle U\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle W\) pontok között az \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle U\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [BDC][BUW]=[BDW][BUC]\).

Az \(\displaystyle B\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle W\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle D\) pontok között az \(\displaystyle B\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle W\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [BFV][BWD]=[BFD][BWV]\).

Az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle C\) pontok között az \(\displaystyle E\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle V\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [EDF][EVC]=[EDC][EVF]\).

Az \(\displaystyle C\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle W\), \(\displaystyle A\), \(\displaystyle V\) pontok között az \(\displaystyle C\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle W\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [CEA][CWV]=[CEV][CWA]\)

Az \(\displaystyle W\), \(\displaystyle U\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle B\) pontok között az \(\displaystyle W\), \(\displaystyle U\), \(\displaystyle V\) pontok egy egyenesen vannak, ezért \(\displaystyle [WUC][WVB]=[WUB][WVC]\) (Pascal-tétel: \(\displaystyle U\), \(\displaystyle V\), \(\displaystyle W\) pontok egy egyenesen vannak.)

Összeszorozva az egyenleteket:

\(\displaystyle [CAW][CUB]*[FAB][FVE]*[BDC][BUW]*[BFV][BWD]*[EDF][EVC]*[CEA][CWV]*[WUC][WVB]\)

\(\displaystyle = [CAB][CUW]*[FAE][FVB]*[BDW][BUC]*[BFD][BWV]*[EDC][EVF]*[CEV][CWA]*[WUB][WVC]\)

Mivel a kúpszelet nem elfajuló (parabola, ellipszis, hiperbola), ezért egyik háromszög területe sem 0. Így ha az egyenlet mindkét oldalán ugyanannak a háromszögnek a területe van, akkor ezzel a területtel lehet egyszerűsíteni. Elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket:

\(\displaystyle [ABC]*[CDE]*[EFA]*[BDF]=[BCD]*[DEF]*[FAB]*[ACE]\)

És ez éppen a bizonyítandó állítás. Ez a bizonyítás csak nem elfajuló kúpszeletek esetén jó.

B.5429. Megpróbálom homogén koordinátákkal ezt a megoldást.

Az \(\displaystyle A(x_A,y_A,z_A)\), \(\displaystyle B(x_B,y_B,z_B)\), \(\displaystyle C(x_C,y_C,z_C)\), \(\displaystyle D(x_D,y_D,z_D)\), \(\displaystyle E(x_E,y_E,z_E)\), \(\displaystyle F(x_F,y_F,z_F)\) pontok esetén a következő determinánst értelmezem:

\(\displaystyle [ABCDEF]=\det\begin{pmatrix} x_A^2&y_A^2&z_A^2&x_Ay_A&x_Az_A&y_Az_A\\ x_B^2&y_B^2&z_B^2&x_By_B&x_Bz_B&y_Bz_B\\ x_C^2&y_C^2&z_C^2&x_Cy_C&x_Cz_C&y_Cz_C\\ x_D^2&y_D^2&z_D^2&x_Dy_D&x_Dz_D&y_Dz_D\\ x_E^2&y_E^2&z_E^2&x_Ey_E&x_Ez_E&y_Ez_E\\ x_F^2&y_F^2&z_F^2&x_Fy_F&x_Fz_F&y_Fz_F\\\end{pmatrix}\)

Az \(\displaystyle A(x_A,y_A,z_A)\), \(\displaystyle B(x_B,y_B,z_B)\), \(\displaystyle C(x_C,y_C,z_C)\), \(\displaystyle D(x_D,y_D,z_D)\), \(\displaystyle E(x_E,y_E,z_E)\), \(\displaystyle F(x_F,y_F,z_F)\) pontok pontosan akkor vannak ugyanazon a kúpszeleten, ha a \(\displaystyle [ABCDEF]=0\) egyenlet teljesül:

Továbbá legyen \(\displaystyle P(x_P,y_P,z_P)\), \(\displaystyle Q(x_Q,y_Q,z_Q)\), \(\displaystyle R(x_R,y_R,z_R)\) pontok esetén \(\displaystyle [PQR]\) a következő kifejezés:

\(\displaystyle [PQR]=1/2*det\begin{pmatrix} x_P&y_P&z_P \\ x_Q&y_Q&z_Q \\ x_R&y_R&z_R\\ \end{pmatrix}\)

Derive programmal kiszámoltattam, hogy a következő egyenlőség teljesül:

\(\displaystyle [BCD]⋅[DEF]⋅[FAB]⋅[ACE]-[ABC]⋅[CDE]⋅[EFA]⋅[BDF]=\frac{[ABCDEF]}{16}\)

Ezen számolás szerint az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontosan akkor vannak egy kúpszeleten, ha a következő egyenlet teljesül:

\(\displaystyle [ABC]⋅[CDE]⋅[EFA]⋅[BDF]=[BCD]⋅[DEF]⋅[FAB]⋅[ACE]\)

Ezen bizonyítás szerint a kúpszelet lehet elfajuló is.

Annyi kérdésem van, hogy a "Derive"-s számolást "szépen" hogyan lehet elvégezni?

Amúgy a feladat nagyon tetszett, nagyon érdekes volt a feladat állítása, és nagyon tetszett a Kömal-ban közölt második megoldás.

The theorem you are looking for is the Dedekind-Kummer theorem, also called Dedekind's criterion – I submitted a quite short solution to A. 892 using this theorem. It seems to be one of the most important theorems (both from mathematical and historical POV) taught in introductory Number Fields courses.

B. 5429. Egyik megoldásomban először arra jutottam, hogy elég 3 kúpszeletre belátni az állítást: origó középpontú 1 sugarú kör, y = x*x egyenletű parabola, illetve y = 1/x (x nem 0) hiperbola. Területaránytartó leképezésekkel bármelyik kúpszelet ezek egyikébe vihető. Kör. Én is a T=(abc)/(4R) képletet használtam. Háromszögterületet 3x3-as determinánsból számolok, ha adott a háromszög 3 csúcspontja. Ha A(a, a*a), B(b, b*b), C(c, c*c), akkor a háromszög területének (kétszerese) (c-b)*(a-b)*(a-c) (vagy az ellentettje). Könnyen kijött, mert a 3x3-as determináns Vandermonde determináns. A hiperbolánál majdnem ugyenez, csak le kell osztani (abc)-vel. Parabolánál, hiperbolánál mindkét oldalon ugyanazok vannak. (Körnél is.) Ezek után könnyen találtam 12 pontot, és 10-10 háromszöget, ahol hasonló állítást tudtam felírni. Úgy csináltam, hogy a 12 pont tisztességesen keveredjen, barátkozzon, tehát nem úgy, hogy 12=6+6.

A közös nevezőre hozás is kellemes út a héroni azonosság felhasználásával.

kieg: természetesen az átlagolandó számok mind pozitívak, mivel ABC hegyesszögű, a szögek koszinuszai pozitívak, így bármely két oldal négyzetösszege nagyobb a harmadik négyzeténél a koszinusz-tétel szerint.

B.5418. egy lehetséges másik megoldása vázlatosan:

Vegyük a bizonyítandó egyenlőtlenség mindkét oldalának reciprokát, szorozzunk 3-mal, majd a bal oldalra alkalmazzuk a harmonikus és számtani közepek között egyenlőtlenséget.

Ekkor a jól ismert összefüggéshez jutunk, miszerint a háromszög oldalainak négyzetösszege kisebb vagy egyenlő, mint a köré írható kör sugara négyzetének kilencszerese.

A.892. Legyen \(\displaystyle \omega=\sqrt[3]{2}\). Nevezzük Kömal-racionálisoknak a \(\displaystyle \bf{Q}(\omega)\) számokat, és nevezzük kömal-egészeknek a \(\displaystyle \bf{Z}(\omega)\) alakú számokat. Ekkor az \(\displaystyle a+b\omega+c\omega^2\) alakú számok normája éppen az \(\displaystyle a^3+2b^3+4c^3-6abc\). Ezek után arra gondoltam, hogy \(\displaystyle \bf{Z}(\omega)\)-ban mennyire lehet számelméletet összehozni, van-e ott is számelmélet alaptétele, hogyan lehet jellemezni a \(\displaystyle \bf{Z}(\omega)\)-beli prímeket vagy felbonthatatlanokat? És ezek után ezt a feladatot meg lehet-e oldani a \(\displaystyle \bf{Z}(\omega)\)-beli számelmélet alaptételével? Persze, lehet, hogy rossz az elképzelésem, de amikor megláttam ezt a feladatot, rögtön ezekre gondoltam.

Egyszeruen lathato, hogy barmilyen haromszogre letezik kivulrol erinto kor. Hasznald a hivatalos megoldasbeli inverziot egy altalanos haromszogben, azt hogy harom egymast erinto kort egy kor vagy csak belulrol vagy csak kivulrol erint es hogy egy inverzio kozeppontjat nem tartalmazo kor kepe inverzio kozeppontjat nem tartalmazo kor. Az, hogy mikor van csak 1 mindharmat erinto kor (es egy egyenes, ami mindharmat erinti) es mikor van 2 mindharmat kivulrol erinto, a Descartes (kissing circles) tetelbol olvashato le, es az elobbi a tipikus bevezeto sangaku-feladat kicsit mashogy elmondva.

Még mindig a B.5410-es feladaton pampogok. Tehát a tetszőleges \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) csúcsaiba megszerkesztjük az \(\displaystyle r_A=s-a\), \(\displaystyle r_B=s-b\), \(\displaystyle r_C=s-c\) sugarú \(\displaystyle k_A\), \(\displaystyle k_B\), \(\displaystyle k_C\) köröket, amelyek kívülről érintik egymást. Milyen egyszerű feltételt lehet adni arra, hogy létezzen olyan \(\displaystyle k_{kölső}\) kör, amely kívülről érinti a \(\displaystyle k_A\), \(\displaystyle k_B\), \(\displaystyle k_C\) köröket?

Hasznos ezeknel a feladatoknal, ha nevet is rendelunk hozza, Soddy-koroknek hivjak ezeket. Az ilyen sangaku-szeru feladatoknal a Descartes-tetelt is erdemes lehet ismerni (bar joval kisebb korben alkalmazhato, mint az inverzio, 4 egymást paronkent erinto kor nem szerepel annyira gyakran).

B.5410 feladatban Geogebra programot csináltam tetszőleges \(\displaystyle ABC\) háromszögre:

\(\displaystyle s=\frac{+a+b+c}{2}\)

\(\displaystyle r_A=s-a\), \(\displaystyle k_A\)=kör(\(\displaystyle A\), \(\displaystyle r_A\)),

\(\displaystyle r_B=s-b\), \(\displaystyle k_B\)=kör(\(\displaystyle B\), \(\displaystyle r_B\)),

\(\displaystyle r_C=s-c\), \(\displaystyle k_C\)=kör(\(\displaystyle C\), \(\displaystyle r_C\)),

\(\displaystyle rrrr=0+r_A^2*r_B^2+r_B^2*r_C^2+r_C^2*r_A^2-2r_Ar_Br_C(r_A+r_B+r_C)\)

\(\displaystyle r_{belső}=r_Ar_Br_C(0-2(r_Ar_Br_Cs)^{1/2}+(r_Br_C+r_Cr_A+r_Ar_B))/rrrr\)

\(\displaystyle r_{külső}=r_Ar_Br_C(0-2(r_Ar_Br_Cs)^{1/2}-(r_Br_C+r_Cr_A+r_Ar_B))/rrrr\)

\(\displaystyle x_A=A*(1,0)\), \(\displaystyle y_A=A*(0,1)\) az \(\displaystyle A\) csúcs \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) koordinátája.

\(\displaystyle x_B=B*(1,0)\), \(\displaystyle y_B=B*(0,1)\) a \(\displaystyle B\) csúcs \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) koordinátája.

\(\displaystyle x_C=C*(1,0)\), \(\displaystyle y_C=C*(0,1)\) a \(\displaystyle C\) csúcs \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) koordinátája.

\(\displaystyle t=2x_A(y_B-y_C)+2x_B(y_C-y_A)+2x_C(y_A-y_B)\), ez az \(\displaystyle ABC\) háromszög előjeles területének négyszerese.

\(\displaystyle ux=a*b*(x_A-x_B)+b*c(x_B-x_C)+c*a(x_C-x_A)\)

\(\displaystyle uy=a*b*(y_A-y_B)+b*c(y_B-y_C)+c*a(y_C-y_A)\)

\(\displaystyle vx=2a*(x_B-x_C)+2b*(x_C-x_A)+2c*(x_A-x_B)\)

\(\displaystyle vy=2a*(y_B-y_C)+2b*(y_C-y_A)+2c*(y_A-y_B)\)

\(\displaystyle wx=(x_A^2+y_A^2)*(x_B-x_C)+(x_B^2+y_B^2)*(x_C-x_A)+(x_C^2+y_C^2)*(x_A-x_B)\)

\(\displaystyle wy=(x_A^2+y_A^2)*(y_B-y_C)+(x_B^2+y_B^2)*(y_C-y_A)+(x_C^2+y_C^2)*(y_A-y_B)\)

\(\displaystyle x_{belső}=(+r_{belső}*vy-uy+wy)/t\),

\(\displaystyle y_{belső}=(-r_{belső}*vx+ux-wx)/t\),

\(\displaystyle P_{belső}=(x_{belső}, y_{belső})\),

\(\displaystyle k_{belső}\)=kör(\(\displaystyle P_{belső}, r_{belső})\),

\(\displaystyle x_{külső}=(-r_{külső}*vy-uy+wy)/t\),

\(\displaystyle y_{külső}=(+r_{külső}*vx+ux-wx)/t\),

\(\displaystyle P_{külső}=(x_{külső}, y_{külső})\),

\(\displaystyle k_{külső}\)=kör(\(\displaystyle P_{külső}, r_{külső})\),

A B.5409 feladatban először arra gondoltam, hogy mennyi az \(\displaystyle A*B\) események valószínűsége. Először arra gondoltam, hogy ha \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) események egymástól függetlenek lennének, akkor igazából elég csak az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) események valószínűségét kiszámolni. De kiderült, hogy az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) események nem lehetnek függetlenek. Legyen az \(\displaystyle A*B\) esemény valószínűsége \(\displaystyle k/32!\), ahol \(\displaystyle k\) az \(\displaystyle A*B\) esemény "kedvező eseteinek" száma, azaz \(\displaystyle k\) egész szám. Ha \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) események függetlenek lennének, akkor a \(\displaystyle p(A*B)=p(A)*p(B)\) egyenlőségből, továbbá a \(\displaystyle p(A)=\frac{(8!)^4(4!)^8}{32!}\), \(\displaystyle p(B)=\frac{(4!)^8(8!)^4}{32!}\), és a \(\displaystyle p(A*B)=\frac{k}{32!}\) egyenlőségekből \(\displaystyle k=\frac{(8!)^4(4!)^8*(4!)^8(8!)^4}{32!}\) összefüggés következne, ami nem lehet, mert a \(\displaystyle k\) egész szám, ugyanakkor a \(\displaystyle \frac{(8!)^4(4!)^8*(4!)^8(8!)^4}{32!}\) tört nem lehet egész szám, mert a nevezőben olyan szorzat van, amelyben van pl. 31-es prímtényező, és a számlálóban olyan szorzat van, amelyben nincs a 31-es prímtényező. Amit viszont nagyon szeretnék tudni, az az, hogy akkor mennyi a \(\displaystyle p(A*B)\) valószínűség, előre is köszönöm mindenki segítségét.

A B.5413 feladatot vaddisznó módjára, azaz mindenféle gondolkodás nélkül csak számolással csináltam. Az \(\displaystyle MS^2−IS^2−IM^2>0\).egyenlőtlenségben a háromszög \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalainak segítségével kiszámoltam az \(\displaystyle MS^2\), \(\displaystyle IS^2\), \(\displaystyle IM^2\) mennyiségeket. Bár ezek nem igazán egyszerűek voltak, az \(\displaystyle MS^2−IS^2−IM^2\) mennyiségre a következő kifejezés adódott, ahol \(\displaystyle s\) a háromszög félkerülete:

\(\displaystyle MS^2−IS^2−IM^2=\frac{+(s-a)(b-c)^2+(s-b)(c-a)^2+(s-c)(a-b)^2}{3s}\)

Ebből az összefüggésből az \(\displaystyle MS^2−IS^2−IM^2>0\) egyenlőtlenség nyilvánvalóan adódik. Geogebrával ellenőriztem ezt az eredményt.

A megoldásban közölt megjegyzés szerint: így végül \(\displaystyle MO^2\), \(\displaystyle IO^2\), \(\displaystyle IM^2\) mindegyikére elegáns formula adható \(\displaystyle R\), \(\displaystyle r\), \(\displaystyle ϱ\) segítségével, ahol \(\displaystyle R\) a háromszög köré írt kör sugara, \(\displaystyle r\) a háromszögbe írt kör sugara, \(\displaystyle ϱ\) a talpponti háromszögbe írt kör sugara. Ha lesz szabadidőm, megpróbálom megtalálni ezeket az összefüggéseket.

A C.1825. feladat honlapon olvasható megoldása talán kiegészíthető néhány diszkussziós mondattal arra az esetre, ha a kisebbik kör belülről érinti a nagyobbikat.

Fizikában is gyakran hasznos ha valós számokkal számolsz. Ha eddig direkt elkerülted a tanárod tanácsára, érdemes lehet visszarakni a repertoárodba. A valós számoknak van egy csomó jó tulajdonságuk, amiket ki tudsz használni időről időre. Például téridő geometriában, amit említettél, össze lehet adni az időt a távolsággal, anélkül hogy a dimenziókat és a mértékegység váltó jeleket végig cipelned kéne minden egyes képletben. Legyen S egy inerciarendszer, jelölje t,x,y,z a pozíciókhoz tartozó valós számokat, stb.

Amúgy igen, B.5402-t ha megnézi egy fizikus, annak a "háromszög oldalainak hosszúsága" nem egy valós szám, hanem egy hosszúság dimenziójú mennyiség, így a "tegyük fel hogy fennáll" egyenlet soha nem áll fenn, és a feladat triviális.

Köszönöm Erzsinek az észrevételt! Akkor próbálom rendbe tenni a B.5402-es feladatnál a mértékegységeket úgy, hogy a feltételt csak egy kicsit megváltoztatva, a feladat állítása ugyanaz maradjon, (vagy ha nem marad ugyanaz, akkor egy, a feladat állításához nagyon "közeli" állítás legyen), és egyenlőség szabályos háromszög esetén teljesüljön.

Tehát a feltétel legyen \(\displaystyle a^2b^2c^2=T^xR^{2y}(a^2+b^2+c^2)\), ahol \(\displaystyle T\) a háromszög területe, \(\displaystyle R\) a háromszög köré írt kör sugara, \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) később alkalmasan megválasztott értékek.

Az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) értékekre máris fel lehet írni egy összefüggést. A feltételnek mértékegységileg stimmelni kell, így például, ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle R\) mennyiségek mértékegysége \(\displaystyle cicatalp\), akkor \(\displaystyle T\) mértékegysége \(\displaystyle cicatalp^2\), így ekkor teljesül az \(\displaystyle x+y=2\) összefüggés

A KöMaL-ban közölt megoldás felhasználja, hogy ismert a \(\displaystyle 4TR=abc\) összefüggés, és a közölt megoldás hivatkozik az ismert\(\displaystyle a^2+b^2+c^2\leq9R^2\) egyenlőtlenségre. Az egyenlőtlenségben egyenlőség pontosan szabályos háromszög esetén teljesül.

Ekkor a közölt megoldásban a becslés a következőképpen módosul:

\(\displaystyle 16T^2\leq\frac{a^2b^2c^2}{R^2}=\frac{T^xR^{2y}(a^2+b^2+c^2)}{R^2}\leq\frac{T^xR^{2y}*9R^2}{R^2}=9T^xR^{2y}\)

Most már csak azt kell elérni, hogy a feltétel a tetszőleges \(\displaystyle p\) oldalú szabályos háromszögre teljesüljön. A feltételben pontosan teljesül az egyenlőség, amikor a közölt megoldásbeli becslésben teljesül az egyenlőség.

A \(\displaystyle p\) oldalú szabályos háromszög területe \(\displaystyle T=\frac{\sqrt3p^2}{4}\), köré írt sugara \(\displaystyle R=\frac{p}{\sqrt3}\). Ezeket beírva a feltételbe, a következő összefüggés adódik:

\(\displaystyle p^2p^2p^2=\Big(\frac{\sqrt3p^2}{4}\Big)^x*\Big(\frac{p}{\sqrt3}\Big)^{2y}(p^2+p^2+p^2)\)

Figyelembe véve az \(\displaystyle x+y=2\) összefüggést, a most felírt egyenlet a következőképpen egyszerűsíthető:

\(\displaystyle \frac{3*3^{x/2}}{3^y*4^x}=1\)

Tehát \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) értékekre két egyenletnek kell teljesülnie:

\(\displaystyle x+y=2\)

\(\displaystyle \frac{3*3^{x/2}}{3^y*4^x}=1\)

Ebből a két egyenletből:

\(\displaystyle x=log_{(27/16)}9\)

\(\displaystyle y=log_{(27/16)}\frac{81}{256}\)

Tehát legyen egy új feltételünk. Nekem az jött ki, hogy akkor nincs olyan szabályos háromszög, amire az új feltétel teljesülne. (Engem érdekelne, hogy milyen háromszögekre teljesül az új feltétel. A R kiküszöbölése után a Heron-képlettel folytatnám.)

B.5402 feladathoz nekem több megjegyzésem van:

A feladatban megadott \(\displaystyle a^2b^2c^2=a^2+b^2+c^2\) feltétel "mértékegységileg" nem stimmel. Mint ahogy "mértékegységileg" nem stimmel az az állítás sem sem, hogy a háromszög területe legfeljebb \(\displaystyle \frac{3}{4}\) lehet. Ebből kifolyólag a megoldás menetében is van olyan becslés, ami szintén "mértékegységileg" nem stimmel. Lehetne úgy módosítani a feladat feltételét és állítását úgy hogy a feltétel \(\displaystyle a^2b^2c^2=R^4(a^2+b^2+c^2)\) legyen, az állítás pedig legyen az, hogy a háromszög területe legfeljebb \(\displaystyle \frac{3R^2}{4}\). Ekkor a feladat feltétele és állítása lényegében nem változik, és a megoldás menete is könnyen módosítható.

A megoldás nem tér ki arra, hogy az eredeti megfogalmazásban a feladatban az egyenlőség nem minden szabályos háromszögre teljesül. Egyenlőség csak az olyan \(\displaystyle x\) oldalú szabályos háromszögre teljesül, amelynek \(\displaystyle x\) oldalára a feltétel miatt \(\displaystyle x^6=3x^2\) egyenlet teljesül, ami "mértékegységileg" szintén nem stimmel.

Tudom, hogy a geometriában szokták elhagyni a mértékegységeket, koordináta-geometriában nem is használunk mértékegységeket, de bennem, mint matek-fizika szakosként nagyon ott van, hogy egy mennyiség mindig két részből áll: mérőszámból, és mértékegységből. Koordináta-geometriában is lehetne azt mondani, hogy például 1 osztás 1 cm-t ér. Téridő geometriában már lényeges a mértékegység. Mindazonáltal a feladatot nagyon érdekesnek és szépnek találom, talán éppen ezért is foglalkoztam vele.

B.5404. Kicsit módosítottam a feladatot, mert a feladat állítása ekkor is igaz:

Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög magasságainak talppontjai \(\displaystyle T_A\), \(\displaystyle T_B\), \(\displaystyle T_C\), továbbá az \(\displaystyle a=BC\), \(\displaystyle b=CA\), \(\displaystyle c=AB\) oldalak felezőpontjai rendre \(\displaystyle F_A\), \(\displaystyle F_B\), \(\displaystyle F_C\). Jelölje \(\displaystyle r_A\), \(\displaystyle r_B\), \(\displaystyle r_C\) rendre a háromszög \(\displaystyle a=BC\), \(\displaystyle b=CA\), \(\displaystyle c=AB\) oldalához írt kör sugarát. Legyen \(\displaystyle P_A\) az \(\displaystyle AT_A\) egyenes \(\displaystyle A\) végén túli meghosszabbításán olyan pont, amelyre \(\displaystyle AP_A=r_A\) teljesül. Hasonló módon kapjuk a \(\displaystyle P_B\) és \(\displaystyle P_C\) pontokat. Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle F_AP_A\), \(\displaystyle F_BP_B\), \(\displaystyle F_CP_C\) egyenesek egy pontban metszik egymást.

Itt azt is be lehet bizonyítani, hogy az \(\displaystyle F_AP_A\), \(\displaystyle F_BP_B\), \(\displaystyle F_CP_C\) egyenesek rendre tartalmazzák az \(\displaystyle O_A\), \(\displaystyle O_B\), \(\displaystyle O_C\) pontokat, ahol az \(\displaystyle O_A\), \(\displaystyle O_B\), \(\displaystyle O_C\) pontok a háromszög \(\displaystyle a=BC\), \(\displaystyle b=CA\), \(\displaystyle c=AB\) oldalihoz írt körök középpontját jelentik.

Ha az eredeti B.5404-es feladatot nézzük, az tetszőleges háromszögre (tehát nem csak hegyesszögű háromszögre) érvényes, csak ekkor a \(\displaystyle F_AP_A\), \(\displaystyle F_BP_B\), \(\displaystyle F_CP_C\) szakaszok metszéspontja helyett \(\displaystyle F_AP_A\), \(\displaystyle F_BP_B\), \(\displaystyle F_CP_C\) egyenesek metszéspontját kell meghatározni.

OK, ez így jó. Egyébként van a játékvezetőnek jó stratégiája: \(\displaystyle \frac{1}{2}\) valószínűséggel mondjon A-t illetve B-t. És ekkor van olyan lejátszás amikor A,B még 2 pontot sem szerez, bárhogyan is játszanak.

A játékvezetőnek nem kell hogy legyen "stratégiája". A bizonyítandó állítás A és B stratégiairól szól, és hogy ezeknek a minimaxja (legnagyobb garantált nyereség) pici.

A és B minden (akár kevert) stratégiájához van olyan "kimenet" (véletlenszám generátorok kimenete és játékvezetői döntések), amikkel nem érnek el 2 pontot.

Persze, A és B tiszta Sab stratégiájához van a játékvezetőnek egy azt verő Sj stratégiája, és a játékvezető Sj stratégiájához van egy azt verő Sab' stratégiája A és B-nek. Játékokban a stratégiák tipikusan körbeverik egymást, különben nagyon kevéssé izgalmas a játék.

E helyett a játék helyett játsszanak kő-papír-ollót. A és B akárhogy játszik, nem biztos, hogy pozitív pontja lesz. Az összes lehetséges (akár kevert) stratégiájának a minimaxja -1, hiszen minden lehetséges mutatásra van olyan mutatása a játékvezetőnek, amivel veszít. Hiába tudná A és B ellopni a játékvezető stratégiáját, és azt megverni, az nem segít.