Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Pataki János

Beszámoló a 13. Gillis-Turán matematikaversenyről

Ez év március 19. és március 23. között zajlott le a magyar és izraeli diákok közti hagyományos matematikaverseny. A lényegében háborús izraeli helyzet miatt a versenyre a tavalyi év után ismét Budapesten került sor. Akárcsak tavaly, a vendéglátó a budapesti Lauder Javne gimnázium volt.

A két országot hattagú csapatok képviselték. A magyar csapat tagjai a következők voltak:

Csikvári Péter 12. évf. (Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium);
Gerencsér Balázs 12. évf. (Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium);
Hablicsek Márton 10. évf. (Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium);
Harangi Viktor 12. évf. (Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium);
Jankó András 11. évf. (Szeged, Ságvári Endre Gyakorló Gimnázium);
Rácz Béla András 10. évf. (Fővárosi Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium)

A versenyen örvendetes módon a két csapaton kívül ,,nem hivatalosan'' részt vett a vendéglátó iskola két diákja, Biró Julia és Szántó András és az iskola vendégeként Szilvási Sándor, a veszprémi Lovassy László Gimnázium tanulója.

Az első két napon került sor a Nemzetközi Matematikai Diákolimpia lebonyolításához hasonló egyéni versenyre. Mindkét napon 3-3 feladatot kellett megoldani, ehhez 4,5 óra állt a diákok rendelkezésére. Az egyes feladatok hibátlan megoldásával 7 pontot lehetett szerezni. Idén a feladatsor kissé könnyebbnek bizonyult a szokásosnál.

Két izraeli diák, az immár negyedszer résztvevő Ran Tessler és a vendégcsapat egyetlen újonca, Yedidya Yoni érte el a maximális, 42 pontot. A magyar diákok közül Csikvári Péter és Rácz Béla András szerepeltek a legjobban: egyformán 34 pontot szereztek. Bár a verseny egyéni volt, minden évben kiszámoljuk a két csapat pontszámát: az izraeli diákok összesen 157, a magyarok pedig 149 pontot szereztek.

A harmadik napon került sor a csapatversenyre, ahol a polinomok témaköréből tűztünk ki egymásra épülő feladatokat. A 3 fős csapatoknak 3,5 órájuk volt arra, hogy a problémákat megoldják. Itt is a kitűnően felkészült vendégek szerepeltek jobban, egyik csapatuk lényegében valamennyi feladatot megoldotta.

A versenynapok délutánján angol nyelvű előadásokra került sor: az első versenynapon Pelikán József (ELTE TTK) tartott algebrai tárgyú előadást, a másodikon Moussong Gábor (ELTE TTK) Turning Numbers címmel látványos számítógépes szimulációval kísért geometriai tárgyú előadása aratott méltán nagy sikert, a zárónapon pedig Gyárfás András (MTA SZTAKI) beszélt gráfok és hipergráfok kromatikus számával kapcsolatos problémákról.

Az alábbiakban ismertetjük a verseny feladatait.

1. Keressük meg azt a legnagyobb pozitív egész k számot, amelyre 2001k osztója a

200020012002+200220012000

számnak.

2. Az egyenlő oldalú ABC háromszög belsejében lévő A1, B1, C1 pontokra teljesül, hogy

B1 AB\angle=A1 BA\angle=15o,

C1 BC\angle=B1 CB\angle= 20o,

A1 CA\angle=C1 AC\angle=25o.

Mekkorák az A1 B1 C1 háromszög szögei?

3. Legyen p\ge5 prímszám. Bizonyítsuk be, hogy van olyan pozitív egész a, amelyik kisebb, mint p-1 és sem ap-1-1, sem pedig (a+1)p-1-1 nem osztható p2-tel.

4. A nemnegatív x, y számokra

x3 + y4\lex2 + y3.

Bizonyítsuk be, hogy x3 + y3\(\displaystyle \le\)2.

5. Az ABC háromszög belső M pontjából bocsássunk merőlegeseket a háromszög oldalegyeneseire. Jelölje rendre A', B', C' a megfelelő talppontokat a BC, CA, AB oldalakon és legyen

\(\displaystyle p(M)=\frac{MA'\cdot MB'\cdot MC'}{MA\cdot MB\cdot MC}. \)

Az M pont milyen helyzetében maximális a p(M) mennyiség?

6. A legalább másodfokú racionális együtthatós p(x) polinomra és a racionális számokból álló rn sorozatra teljesül, hogy rn = p(rn+1) minden pozitív egész n esetén. Igazoljuk, hogy az rn sorozat periodikus, azaz alkalmas k pozitív egésszel rn = rn+k minden n\ge1 esetén.

A csapatverseny feladatai

Legyen a p(x) és a q(x) két nem konstans valós együtthatós polinom. Azt mondjuk, hogy a p(x) és a q(x) fölcserélhetők, ha p(q(x))=q(p(x)).

1. Legyen f(x) =2x2. Keressük meg azokat a g(x) polinomokat, amelyek fölcserélhetők az f(x) polinommal.

2. Legyen a\ne0 adott valós szám és f(x) = ax+1. Keressük meg azokat a g(x) polinomokat, amelyek fölcserélhetők az f(x) polinommal.

3. Legyen a adott valós szám és f(x)=x2-a. Keressük meg azokat a legfeljebb harmadfokú g(x) polinomokat, amelyek fölcserélhetők az f(x) polinommal.

4. Adott másodfokú f(x) polinomhoz keressük meg azokat a negyedfokú g(x) polinomokat, amelyek fölcserélhetők az f(x) polinommal.

5. Legyen az f(x) tetszőleges másodfokú polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha a p(x) és a q(x) polinomok mindketten fölcserélhetők az f(x) polinommal, akkor egymással is fölcserélhetők.

6. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan végtelen p1(x),p2 (x),...,pk (x),... polinomsorozat, amelynek bármely két tagja fölcserélhető, a pk (x) k-adfokú, és

p2 (x) = x2-2.

7. Keressük meg mindazokat a

p1 (x),p2 (x),..., pk (x),...

polinomsorozatokat, amelyeknek bármely két tagja fölcserélhető és a pk (x) k-adfokú polinom.