Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Beszámoló a 42. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról

Az idei Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát Washingtonban, az Egyesült Államok fővárosában rendezték meg július 1. és 14. között 83 ország 473 diákjának részvételével. Az országok általában hattagú csapatokkal vettek részt, ha a csapatlétszám ennél kisebb volt, az alábbi felsorolásban az országnév után zárójelben jelzem a versenyzők számát. A résztvevők listája:

    Albánia (5), Amerikai Egyesült Államok, Argentína, Ausztrália, Ausztria, Azerbajdzsán (3), Belgium, Belorusszia, Bosznia-Hercegovina, Brazília, Bulgária, Ciprus, Csehország, Dánia, Dél-Afrika, Dél-Korea, Ecuador, Észtország, Finnország, Franciaország, Fülöp-szigetek, Görögország, Grúzia, Guatemala (3), Hollandia, Hongkong, Horvátország, India, Indonézia, Irán, Írország, Izland, Izrael, Japán, Jugoszlávia, Kanada, Kazahsztán, Kína, Kirgizisztán (5), Kolumbia, Kuba, Kuvait (4), Lengyelország, Lettország, Litvánia, Luxemburg (2), Macao, Macedónia, Magyarország, Malajzia, Marokkó, Mexikó, Moldova (5), Mongólia, Nagy-Britannia, Németország, Norvégia, Olaszország, Oroszország, Örményország (5), Paraguay (5), Peru, Portugália, Románia, Spanyolország, Sri Lanka (4), Svájc, Svédország, Szingapúr, Szlovákia, Szlovénia, Tajvan, Thaiföld, Törökország, Trinidad és Tobago, Tunézia, Türkmenisztán (5), Új-Zéland, Ukrajna, Uruguay (2), Üzbegisztán, Venezuela (5), Vietnam.

A versenyen szokás szerint mindkét napon négy és fél óra alatt 3-3 feladatot kellett megoldani. (A feladatokat alább közöljük.) Mindegyik feladat helyes megoldásáért 7 pont járt, így egy versenyző maximális teljesítménnyel 42 pontot szerezhetett. (Ez egyébként négy versenyzőnek sikerült: két kínainak és két amerikainak.)

Idén a feladatok meglehetősen nehéznek bizonyultak, ennek megfelelően az egyes díjak ponthatára elég alacsony volt. Aranyérmet 30-42 ponttal, ezüstérmet 20-29 ponttal, bronzérmet pedig 11-19 ponttal lehetett szerezni.

A magyar csapatból

    Harangi Viktor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) 22 ponttal,

    Csóka Endre (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 10. o.t.) pedig 21 ponttal ezüstérmet, míg

    Kovács Erika (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) és

    Vörös László (Győr, Révai M. Gimn., 12. o.t.) egyaránt 19 ponttal,

    Csikvári Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) pedig 14 ponttal bronzérmet nyertek.

A hatodik versenyző,

    Horváth Illés (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) csak kevéssel maradt le a bronzéremről.

A csapat vezetője Pelikán József (ELTE, Algebra és Számelmélet Tanszék), helyettes vezetője Dobos Sándor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn.) volt.

Az országok (nem-hivatalos) pontversenyét Kína toronymagasan nyerte. Magyarország idén a 21. lett, ami rosszabb, mint az évek óta megszokott eredmények. Tudomásul kell azonban venni, hogy a mezőny egyre erősebb, és sok ország komoly összegeket áldoz a versenyzők felkészítésére.

Következzék a csapatverseny első 30 helyezettjének listája, pontszámaik feltüntetésével:

    1.Kína225
    2-3.Oroszország és USA196
    4-5.Bulgária és Dél-Korea185
    6.Kazahsztán168
    7.India148
    8.Ukrajna143
    9.Tajvan141
    10.Vietnam139
    11.Törökország136
    12.Belorusszia135
    13.Japán134
    14.Németország131
    15.Románia129
    16.Brazília120
    17.Izrael113
    18.Irán111
    19-20.Hongkong és Lengyelország107
    21.Magyarország104
    22-23.Argentína és Thaiföld103
    24.Kanada100
    25.Ausztrália97
    26.Kuba92
    27.Üzbegisztán91
    28.Franciaország88
    29.Szingapúr87
    30.Görögország86.

A versenyzők felkészítésében Dobos Sándor mellett oroszlánrészt vállalt Reiman István, aki ezt a munkát már több mint 40 éve csinálja. Ezúton szeretnék köszönetet mondani neki.

Az egyes versenyzők tanárai a következők voltak:

    Csikvári Péter: Fazakas Tünde, Táborné Vincze Márta

    Csóka Endre: Balázs Tivadar, Pósa Lajos, Reiman István, Páles Zsolt

    Harangi Viktor: Fazakas Tünde, Táborné Vincze Márta, Pósa Lajos

    Horváth Illés: Fazakas Tünde, Táborné Vincze Márta

    Kovács Erika: Fazakas Tünde, Táborné Vincze Márta, Pósa Lajos

    Vörös László: Zábrádiné Schmierer Emília, Zsebők Ottó

A versenyről elmondható, hogy összességében jól rendezett volt. A vendéglátók kirándulásokat szerveztek a résztvevőknek (diákoknak többet, tanároknak kevesebbet). A záróünnepség a John F. Kennedy Kulturális Központban zajlott, aminek impozáns, új épülete közvetlenül a Potomac folyó partján fekszik.

A záróünnepség fényét nagymértékben emelte, hogy az aranyérmeseknek a díjat a világhírű matematikus, Andrew Wiles (a Fermat-tétel bizonyítója) adta át. A magyar csapatnak a záróbanketten sikerült megörökíttetnie magát Andrew Wiles társaságában.

A csapat

Balról jobbra: Vörös László, Csíkvári Péter, Harangi Viktor, Pelikán József, Csóka Endre, Andrew Wiles, Dobos Sándor, Horváth Illés, Kovács Erika Renáta

A jövő évi diákolimpiát Skóciában, Glasgow-ban rendezik július 18. és 31. között.

Pelikán József


A 42. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai

Első nap

1. Legyen az ABC hegyesszögű háromszög körülírt körének középpontja O. Legyen P az A-ból induló magasságvonal talppontja a BC oldalon.

Tegyük fel, hogy BCA\(\displaystyle szog\)geABCszog+30o.

Bizonyítsuk be, hogy CABszog+COPszog<90o.

2. Bizonyítsuk be, hogy

{a\over\sqrt{a^2+8bc}}+{b\over\sqrt{b^2+8ca}}+{c\over\sqrt{c^2+8ab}}\ge1

minden a, b, c pozitív valós számra.

3. Egy matematikaversenyen 21 lány és 21 fiú vett részt.

  • Mindegyik versenyző legfeljebb hat feladatot oldott meg.
  • Mindegyik fiúhoz és mindegyik lányhoz van legalább egy olyan feladat, amelyet mindketten megoldottak.

Bizonyítsuk be, hogy van olyan feladat, amelyet legalább három lány és legalább három fiú megoldott.

Második nap

4. Legyen n egy 1-nél nagyobb páratlan egész, k1, k2, ..., kn pedig adott egészek. Az 1, 2, ..., n számok mind az n! darab a=(a1, a2, ..., an) permutációjára legyen

S(a)=\sum\limits_{i=1}^nk_ia_i.

Bizonyítsuk be, hogy van két olyan b és c permutáció, amelyekre bnec, és n! osztója (S(b)-S(c))-nek.

5. Az ABC háromszögben legyen AP a BACszog szögfelezője, ahol P a BC oldalon van, BQ pedig az ABCszog szögfelezője, ahol Q a CA oldalon van. Tudjuk, hogy BACszog=60o és hogy AB+BP=AQ+QB.

Mik az ABC háromszög szögeinek lehetséges értékei?

6. Legyenek a, b, c, d egészek, amelyekre a>b>c>d>0. Tegyük fel, hogy

ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).

Bizonyítsuk be, hogy ab+cd nem prímszám.