Beszámoló a 44. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról
Az idei Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát Japán fővárosában, Tokióban rendezték meg július 7. és 19. között 82 ország 457 diákjának részvételével. Az országok általában hattagú csapatokkal vettek részt, ha a csapatlétszám ennél kisebb volt, az alábbi felsorolásban az országnév után zárójelben jelzem a versenyzők számát. A résztvevők listája:
Albánia (4), Amerikai Egyesült Államok, Argentína, Ausztrália, Ausztria, Azerbajdzsán, Belgium, Belorusszia, Bosznia-Hercegovina, Brazília, Bulgária, Ciprus, Csehország, Dánia (5), Dél-Afrika, Dél-Korea, Ecuador, Észtország, Finnország, Franciaország, Fülöp-szigetek, Görögország, Grúzia, Hollandia, Hongkong, Horvátország, India, Indonézia, Irán, Írország, Izland, Izrael (5), Japán, Kanada, Kazahsztán, Kína, Kirgizisztán, Kolumbia, Kuba (1), Kuvait (3), Lengyelország, Lettország, Litvánia, Luxemburg (2), Macao, Macedónia, Magyarország, Malajzia (5), Marokkó, Mexikó, Moldova, Mongólia, Nagy-Britannia, Németország, Norvégia, Olaszország, Oroszország, Örményország, Paraguay (1), Peru (4), Portugália, Puerto Rico (3), Románia, Spanyolország, Sri Lanka (4), Svájc, Svédország, Szerbia és Montenegro, Szingapúr, Szlovákia, Szlovénia, Tajvan, Thaiföld, Törökország, Trinidad és Tobago, Türkmenisztán (4), Új-Zéland, Ukrajna, Uruguay (5), Üzbegisztán, Venezuela (3), Vietnam.
A versenyen szokás szerint mindkét napon négy és fél óra alatt 3-3 feladatot kellett megoldani. (A feladatokat alább közöljük.) Mindegyik feladat helyes megoldásáért 7 pont járt, így egy versenyző maximális teljesítménnyel 42 pontot szerezhetett.
Az idei verseny a tavalyinál is nehezebbnek bizonyult: aranyérmet 29-42 ponttal, ezüstérmet 19-28 ponttal, bronzérmet pedig 13-18 ponttal lehetett szerezni. A maximális 42 pontot két vietnami és egy kínai diáknak sikerült elérnie.
A magyar csapatból
Rácz Béla András (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) 29 ponttal aranyérmet,
Kiss Demeter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) 27 ponttal,
Pach Péter Pál (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) 23 ponttal
Csóka Endre (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 12. o.t.) pedig 22 ponttal ezüstérmet, míg
Kocsis Albert Tihamér (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) 16 ponttal bronzérmet nyert.
Nagy Zoltán (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.), aki 11 pontot szerzett, egy feladat helyes megoldásáért dicséretet kapott.
A csapat vezetője Pelikán József (ELTE TTK, Algebra és Számelmélet Tanszék), helyettes vezetője Dobos Sándor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn.) volt.
Az országok (nem-hivatalos) pontversenyében Magyarország a (holtversenyes) 10. helyen végzett. A csapatverseny első 20 helyezettjének sorrendje így alakult (megszerzett pontszámaikkal):
1. Bulgária 227, 2. Kína 211, 3. USA 188, 4. Vietnam 172, 5. Oroszország 167, 6. Dél-Korea 157, 7. Románia 143, 8. Törökország 133, 9. Japán 131, 10-11. Magyarország és Nagy-Britannia 128, 12-13. Kanada és Kazahsztán 119, 14. Ukrajna 118, 15. India 115, 16. Tajvan 114, 17-18. Irán és Németország 112, 19-20. Belorusszia és Thaiföld 111.
Kocsis Albert Tihamér, Csóka Endre, Pach Péter Pál, Nagy Zoltán, Kiss Demeter, Rácz Béla András
Az egyes versenyzők tanárai a következők voltak:
Rácz Béla András: Hraskó András, Surányi László, Pósa Lajos
Kiss Demeter és Nagy Zoltán: Dobos Sándor, Thiry Imréné, Pósa Lajos, Pataki János
Pach Péter Pál és Kocsis Albert Tihamér: Surányi László, Hraskó András
Csóka Endre: Balázs Tivadar, Pósa Lajos.
Ezenkívül minden versenyző járt a korábban Reiman István, most Dobos Sándor által vezetett olimpiai előkészítő szakkörre.
Valamennyi tanárt köszönet illeti kitűnő munkájáért.
A kultúrprogramok száma a szokásosnál kevesebb volt. Azért a diákoknak jutott egy látogatás a japán Disneyland-be, a tanároknak pedig egy rövid kirándulás Japán egykori fővárosába, Kamakurába. Noha a diákok és a tanárok a verseny után mind egy helyen laktak (ami jó volt), a programokon (étkezések, kirándulások, záróbankett) különválasztották a diákokat és a tanárokat (ami kevésbé volt jó). Azért a záróbanketten némi leleményességgel így is sikerült néhány közös fotót csinálnunk.
A jövő évi diákolimpiát Görögországban, Athénben rendezik július 6. és 18. között. Azután augusztus 13-án kezdődik ugyanott egy (valamivel nagyobb) másik olimpia.
Pelikán József
A 44. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Első nap
1. Legyen A az S = {1,2,...,1 000 000} halmaz egy 101 elemű részhalmaza. Bizonyítsuk be, hogy találhatók olyan t1, t2, ..., t100 számok az S halmazban, amelyekre az
Aj = { x + tj |x \(\displaystyle \in\)A } (j = 1, 2, ..., 100)
halmazok páronként diszjunktak.
2. Határozzuk meg az összes olyan, pozitív egészekből álló (a,b) párt, amire
\(\displaystyle \frac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \)
pozitív egész.
3. Adott egy konvex hatszög, amelyben bármely két szemközti oldalra teljesül a következő tulajdonság: az oldalak középpontjai közötti távolság \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)-szerese a hosszuk összegének. Bizonyítsuk be, hogy a hatszög valamennyi szöge egyenlő.
(Az ABCDEF konvex hatszögben három szemközti oldalpár van: AB és DE, BC és EF, CD és FA.)
Második nap
4. Legyen ABCD egy húrnégyszög. A D pontból a BC, CA és AB egyenesekre bocsátott merőlegesek talppontjai legyenek rendre P, Q és R. Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor teljesül PQ = QR, ha az ABC\(\displaystyle \angle\) és ADC\(\displaystyle \angle\) szögek szögfelezőinek metszéspontja az AC egyenesen van.
5. Legyen n pozitív egész és legyenek x1, x2,..., xn olyan valós számok, amelyekre x1 \(\displaystyle \le\)x2 \(\displaystyle \le\)...\(\displaystyle \le\)xn teljesül.
(a) Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^n\,\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\bigg)^2\le\frac{2 (n^2-1)}{3}\sum_{i=1}^n\,\sum_{j=1}^n{(x_i-x_j)}^2. \)
(b) Mutassuk meg, hogy egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x1, ..., xn számtani sorozatot alkotnak.
6. Legyen p prímszám. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan q prímszám, amivel minden n egész számra igaz az, hogy np-p nem osztható q-val.