Woynarovich Ferenc: A gravitációs többtestprobléma két speciális esete

Amint az jól ismert, egy centrális gravitációs térben egy $m$ tömegű testre (amit nevezzünk bolygónak)

$ \boldsymbol{F}=-\gamma \frac{mM}{r^3}\boldsymbol{r} $

erő hat, tehát a mozgásegyenlete

$ m\ddot{\boldsymbol{r}}=-\gamma \frac{mM}{r^3}\boldsymbol{r},\quad\quad(1) $

ahol $M$ a centrumban elhelyezkedő tömeget, $\boldsymbol{r}$ a mozgó test helyvektorát, $\gamma$ pedig a Newton-féle gravitációs állandót jelöli. (A cikkben azt a gyakorlatot követjük, hogy egy vektort és annak nagyságát ugyanaz a szimbólum jelöli, csak a vektort magát félkövér karakterrel szedjük; így pl. ${r}$ az $\boldsymbol{r}$ vektor nagysága. Egy mennyiség jele fölé tett pont a mennyiség időbeli változásának ütemét jelzi, így $\dot{\boldsymbol{r}}$ a tömegpont sebessége, $\ddot{\boldsymbol{r}}$ pedig a gyorsulása.)

Az (1) egyenlet megoldása ellipszis, parabola vagy hiperbola attól függően, hogy a mozgó test teljes

$ E=-\gamma \frac{mM} r+\frac 1 2m{(\dot{\boldsymbol{r}})}^2\quad\quad(2) $

energiája negatív, nulla vagy pozitív, és az adott kúpszelet (egyik) fókusza éppen a centrumba esik. Ellipszispálya esetén a bolygó keringési ideje

$ T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{{\gamma M}}}, $

ahol $a$ az ellipszis nagytengelyének a fele. Ez a leírás (mivel rögzített vonzócentrumot és egyetlen bolygót feltételez) eléggé idealizált, ennek ellenére nagyon pontosan írja le pl. a Naprendszerünk bolygóinak a mozgását. Ennek az az oka, hogy a Naprendszer összes tömegének legnagyobb része (99,87\%-a) a Napban van, a bolygók pályasugarai pedig eléggé eltérnek egymástól, így a bolygók egymásra gyakorolt tömegvonzása, és az a tény, hogy a Nap maga is a közös tömegközéppont körül mozog, csak igen kicsi korrekciót okoz.

A következőkben két olyan esetet tárgyalunk meg részletesen, amelyekben ezek a feltételek nem teljesülnek: megvizsgáljuk, hogyan mozog két közel azonos tömegű égitest (ikercsillag) egymás gravitációs terében, és bemutatjuk a gravitációs háromtest-probléma egy igen speciális, de nagyon szép esetét.

A folytatás a lapban olvasható.