Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Woynarovich Ferenc: A gravitációs többtestprobléma két speciális esete

Amint az jól ismert, egy centrális gravitációs térben egy m tömegű testre (amit nevezzünk bolygónak)

F=γmMr3r

erő hat, tehát a mozgásegyenlete

m¨r=γmMr3r,(1)

ahol M a centrumban elhelyezkedő tömeget, r a mozgó test helyvektorát, γ pedig a Newton-féle gravitációs állandót jelöli. (A cikkben azt a gyakorlatot követjük, hogy egy vektort és annak nagyságát ugyanaz a szimbólum jelöli, csak a vektort magát félkövér karakterrel szedjük; így pl. r az r vektor nagysága. Egy mennyiség jele fölé tett pont a mennyiség időbeli változásának ütemét jelzi, így ˙r a tömegpont sebessége, ¨r pedig a gyorsulása.)

Az (1) egyenlet megoldása ellipszis, parabola vagy hiperbola attól függően, hogy a mozgó test teljes

E=γmMr+12m(˙r)2(2)

energiája negatív, nulla vagy pozitív, és az adott kúpszelet (egyik) fókusza éppen a centrumba esik. Ellipszispálya esetén a bolygó keringési ideje

T=2πa3γM,

ahol a az ellipszis nagytengelyének a fele. Ez a leírás (mivel rögzített vonzócentrumot és egyetlen bolygót feltételez) eléggé idealizált, ennek ellenére nagyon pontosan írja le pl. a Naprendszerünk bolygóinak a mozgását. Ennek az az oka, hogy a Naprendszer összes tömegének legnagyobb része (99,87\%-a) a Napban van, a bolygók pályasugarai pedig eléggé eltérnek egymástól, így a bolygók egymásra gyakorolt tömegvonzása, és az a tény, hogy a Nap maga is a közös tömegközéppont körül mozog, csak igen kicsi korrekciót okoz.

A következőkben két olyan esetet tárgyalunk meg részletesen, amelyekben ezek a feltételek nem teljesülnek: megvizsgáljuk, hogyan mozog két közel azonos tömegű égitest (ikercsillag) egymás gravitációs terében, és bemutatjuk a gravitációs háromtest-probléma egy igen speciális, de nagyon szép esetét.

A folytatás a lapban olvasható.