Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
1998. február

Általános iskolások részére javasolt példák: C. 493., C. 495., Gy. 3184.

A pontversenyben kitűzött C gyakorlatok

C. 493. Keressük meg azokat a négyzetszámokat, amelyeket 11-gyel maradékosan osztva a hányados prímszám és a maradék 4.

C. 494. 1-től kezdve sorban leírjuk a pozitív egész számokat valamely rögzített n-ig. Alájuk ugyanezeket a számokat írjuk, csak fordított sorrendben. Képezzük az egymás alatt lévő számok különbségének abszolút értékét, majd adjuk össze ezeket. Mi lesz az így kapott összeg?

C. 495. Bizonyítsuk be, hogy ha egy trapéz alapján fekvő szögek nem egyenlők, akkor a kisebbik szög csúcsából kiinduló átló hosszabb, mint a másik átló.

C. 496. Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb testátlóinak hossza 12 és 13. Mekkora a hasáb térfogata?

A C gyakorlatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

A beküldési határidő: 1998. március 16.

A pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Gy. 3182. Legyen az a, b, c, d nemnegatív valós számok összege 1. Bizonyítsuk be, hogy .

Javasolta: Blahota István, Nyíregyháza

Gy. 3183. Egymást jól ismerő emberek társaságában mindenki vagy mindig igazat mond, vagy mindig hazudik. Egy kerek asztal köré ülve mindenki azt állítja, hogy ő igazmondó, de a tőle k hellyel jobbra ülő hazug. Hányan ülhetnek az asztal körül?

Javasolta: Bakonyi Gábor, Budapest

Gy. 3184. Amerikában a hőmérsékletet Fahrenheit fokban mérik. Ez egy egyenletes skála, amelyben a víz fagyáspontja 32 ^oF és a forráspontja 212 ^oF.
Valaki megadja a hőmérsékletet egész Fahrenheit fokokra kerekítve, amit mi átváltunk Celsiusra, és utána ismét egész fokokra kerekítünk. Legfeljebb mekkora lehet a kapott értéknek az eredeti hőmérséklettől való eltérése Celsius fokokban?

Javasolta: Fried Ervin, Budapest

Gy. 3185. Az A₁A₂...A_n szabályos n-szög csúcsaira valamilyen sorrendben felírjuk az 1, 2, ..., n számokat.

a) Bizonyítsuk be, hogy a szomszédos számok közti különbségek abszolút értékének összege legalább 2n-2.

b) Hány olyan elhelyezés van, amelyben a fenti összeg éppen 2n-2? (H)

Gy. 3186. Szerkesszünk háromszöget egyik csúcsából induló magasságának és súlyvonalának hosszából, ha ismerjük a csúcs és a magasságpont távolságát is.

Gy. 3187. Anna és Béla találkozót beszél meg délután 5 és közöttre. Mi a valószínűsége annak, hogy a korábban érkező nem vár 10 percnél többet a másikra, ha mindketten betartják, amit megbeszéltek?

Gy. 3188. Bizonyítsuk be, hogy bármely tetraédernek van olyan csúcsa, amelybe befutó élekből szerkeszthető háromszög.

Gy. 3189. Forgassunk el egy egységnyi élű kockát egyik testátlója körül 60^o-kal. Számítsuk ki az eredeti és az elforgatott kocka közös részének térfogatát! (H)

A pontversenyben kitűzött feladatok

F. 3214. Aladdin bejárta az egyenlítő minden pontját, hol nyugatra, hol keletre mozogva az egyenlítő mentén, hol pedig átvarázsolva magát a Föld átellenes pontjára. Útja során legfeljebb 19 000 km-t ment nyugatra. Bizonyítsuk be, hogy volt olyan időpont, amikor a keletre és nyugatra megtett utak hosszának különbsége legalább az egyenlítő fele volt.

F. 3215. Az a₁, a₂, ..., a_n, valós számok mindegyike nagyobb a k pozitív számnál. Igazoljuk, hogy .

Javasolta: Czirok Levente, Szekszárd

F. 3216. Igaz-e minden n természetes számra az egyenlőtlenség?

Javasolta: Róka Sándor, Nyíregyháza

F. 3217. Egy háromszög súlyvonalainak hossza s₁, s₂ és s₃, egy P pontnak a súlyvonalaktól való távolsága pedig rendre d₁, d₂ és d₃. Mutassuk meg, hogy az s₁d₁, s₂d₂ és s₃d₃ szorzatok közül a legnagyobb egyenlő a másik kettő összegével.

Javasolta: Kiss János, Budapest

F. 3218. Az A₁A₂A₃ háromszög egy P belső pontjából az A_iA_i+1 oldalegyenesre bocsátott merőleges talppontja B_i (i=1,2,3, az indexeket modulo 3 értjük). A B₁B₂B₃ háromszögből hasonlóan képezzük a C₁C₂C₃, majd abból a D₁D₂D₃ háromszöget. Mutassuk meg, hogy a D₁D₂D₃ háromszög hasonló az A₁A₂A₃ háromszöghöz.

F. 3219. Egy szabályos dodekaéder lapjait kiszíneztük pirossal, kékkel, sárgával és zölddel úgy, hogy bármelyik két szomszédos lap színe különböző. Hány olyan éle van a dodekaédernek, amelyhez csatlakozó két lap közül az egyik kék, a másik pedig zöld?

A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

N. 163. Bizonyítsuk be, hogy n darab A, n darab B és n darab C betű felhasználásával pontosan olyan 3n hosszúságú szó készíthető, amelyben tetszőleges egészre a k-adik A betű megelőzi a k-adik B betűt, és a k-adik B betű megelőzi a k-adik C betűt.

N. 164. Van-e olyan eleme a Fibonacci-sorozatnak, amelynek tízes számrendszerbeli alakja 6 darab 9-es számjegyre végződik?

N. 165. A₀, A₁, A₂, ..., A_k egy 4n-elemű halmaz 2n-elemű részhalmazai. Igazoljuk, hogy közülük valamelyik kettő metszetének elemszáma legalább .

Javasolta: Babai László, Chicago

N. 166. Adott egy egyenesen négy pont: A, B, C és D. A pontok az egyenesen ebben a sorrendben következnek, és AB=CD. Megszerkeszthető-e egyetlen egyenes vonalzóval a BC szakasz felezőpontja?

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

A beküldési határidő: 1998. március 16.