Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
1999. november

Figyelem! A pontverseny feltételei a tavalyi évhez képest megváltoztak. Kérjük, olvassa el a versenykiírást!

A C pontversenyben kitűzött (könnyebb) gyakorlatok

C.555. Melyik az a legkisebb egész szám, amelyik kétféleképpen is felírható két különböző pozitív négyzetszám összegeként?

C.556. Egy öt fordulóból álló futóverseny sorozaton 50 induló vett részt. Bandi minden egyes fordulóban a 10. helyen végzett. A verseny végeredményét az egyes fordulóban elért időeredmények összeadásával határozzák meg. Előfordulhatott-e, hogy az összetett versenyben Bandi

a) az első
b) az utolsó helyen végzett?

C.557. Igazoljuk, hogy nem létezik olyan egymást követő, pozitív páratlan számokból álló legalább két elemű számsorozat, amelynek összege prímszám.

Javasolta: Vajda Szilárd, Kolozsvár

C.558. Hány különböző rácsnégyzet jelölhető ki az nxn-es négyzetrácson úgy, hogy oldalai párhuzamosak legyenek a négyzetrács oldalaival?

Javasolta: Bakonyi Gábor, Budapest

C.559. Egy gúlába (csúcsával lefelé tartva) vizet töltünk, így a víz 10 cm magasan áll benne. Nyílását lezárva alaplapjára állítjuk a gúlát, így most 2 cm magasan áll a víz. Milyen magas a gúla?

Javasolta: Koncz Levente, Budapest

A B pontversenyben kitűzött feladatok

B.3312. Szilveszter észrevette, hogy ha születési évének számjegyeit összeadja, azt a számot kapja, amely nagyapja születési évszámának utolsó két jegyéből áll. Szilveszter születési évszámának utolsó két jegye összeolvasva pedig nagyapja jelenlegi életkora. Hány éves Szilveszter? (3 pont)

Javasolta: Nyul Balázs 9. o. t., Debrecen

B.3313. Az ABCD rombuszt a BD átlója két szabályos háromszögre vágja. Az AD szakaszon adott egy P, a CD szakaszon pedig egy Q pont úgy, hogy a PBQ=60^o. Mekkora a PBQ háromszög másik két szöge? (3 pont)

B.3314. Meg lehet-e számozni egy szabályos oktaéder éleit az 1, 2,..., 12 számokkal úgy, hogy mindegyik csúcsban ugyanannyi legyen az oda befutó élekre írt számok összege? (3 pont)

Javasolta: Reményi Gusztáv, Budapest

B.3315. Adjuk meg azt az f(x)=ax alakú függvényt, amely a g(x)=x² függvényt "jól" közelíti az x=0,1; 0,2; ...;0,5 helyeken abban az értelemben, hogy az ezeken a helyeken számított |f(x)-g(x)| hibák közül a legnagyobbik a lehető legkisebb. (4 pont)

Javasolta: Bakonyi Gábor, Budapest

B.3316. Legyen P az ABC háromszög egy belső pontja. Az AP és a BP egyenesek messék a háromszög szemközti oldalát a D illetve az E pontban. Mutassuk meg, hogy ha AP=BP és BE=CE, akkor 1/AP=1/AD+1/AC. (4 pont)

Javasolta: Lee, Ho-joo, Korea

B.3317. Oldjuk meg a következő egyenletet:

(4 pont)

Javasolta: Hans Zoltán, Nagykanizsa

B.3318. Az egységnyi sugarú k₁ és k₂ körök a P pontban érintik egymást. A két kör egyik P-n át nem menő közös érintője az e egyenes. Legyen i>2 esetén k_i az a k_i-2-től különböző kör, amely érinti k₁-et, k_i-1-et és e-t. Határozzuk meg k₁₉₉₉ sugarát. (5 pont)

B.3319. Ismert, hogy egy adott körbe írható négy csúcsú síkidomok közül a négyzet területe a legnagyobb. Igaz-e, hogy egy adott gömbbe írható nyolc csúcsú testek közül a beírható kocka térfogata a legnagyobb? (4 pont)

B.3320. Oldjuk meg a következő egyenletet:

x^x1/2=1/2.

(5 pont)

Javasolta: Lovrics László, Budapest

B.3321. Legyen K egy konvex sokszög. Mutassuk meg, hogy elhelyezhető a síkon 6 darab K-val egybevágó sokszög úgy, hogy ezek mindegyikének van K-val közös határpontja, de a hét sokszög közül semelyik kettőnek nincs közös belső pontja. (5 pont)

A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

A.221. Legyenek az N négyzet csúcsai a (1999; 1999) koordinátájú pontok, a H háromszög csúcsai pedig (-1; 0), (0; -1) és (1; 1). A H háromszögnek legfeljebb hány egymásba nem nyúló, eltolt példányát lehet elhelyezni az N négyzetben?

Javasolta: Pap Gyula, Debrecen

A.222. Az a,b,c egész számok legnagyobb közös osztója 1. Az (a,b,c) számhármast más számhármasokra cserélhetjük úgy, hogy minden lépésben az egyik számot növeljük vagy csökkentjük a számhármas egy másik elemének valamilyen többszörösével. Igaz-e, hogy az a,b,c számok megválasztásától függetlenül, legfeljebb 10 lépésben eljuthatunk az (1,0,0) számhármashoz?

Javasolta: Abért Miklós, Budapest

A.223. Keressük meg az összes olyan f:RR függvényt, amelyre

f(x-f(y))=f(x+y¹⁹⁹⁹)+f(f(y)+y¹⁹⁹⁹)+1

teljesül tetszőleges x,y valós számok esetén.

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

A beküldési határidő: 1999. december 15.