Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2000. november

B. 3403. Bizonyítsuk be, hogy ha az a, b, c valós számokra , akkor . (3 pont)

Javasolta: Székelyhidi Tamás, Ercsi

B. 3404. Egy 10 egység élű kocka egyik csúcsából kiinduló három élének végpontja A, B és C. Az ABC síkkal párhuzamos S₁ és S₂ síkok a kockát három részre osztják, melyek térfogatának aránya 251:248:251. Mekkora a két sík távolsága? (5 pont)

B. 3405. Van öt golyónk. Kilenc mérést hajthatunk végre egy egykarú mérlegen, amelyen egyszerre egy vagy két golyó súlyát mérhetjük meg. Megtörténhet azonban, hogy a kilenc mérés egyikének az eredményét tévesen jegyezzük föl. Megtudhatjuk-e ennek ellenére mind az 5 golyó súlyát? (4 pont)

Javasolta: Surányi László, Budapest

B. 3406. Egy sokszög csúcsainak halmaza olyan (x,y) koordinátájú pontokból áll, amelyekre x és y pozitív egészek, továbbá x|2y+1 és y|2x+1. Mekkora lehet legfeljebb a sokszög területe? (4 pont)

Javasolta: Mihalovics Sándor, Esztergom

B. 3407. Arnold, Bendegúz, Cézár, Dorottya, Egon és Ferdinánd szerepjátékhoz készülődik. Még nem döntötték el, melyikük legyen a kalandmester. (Ebben a játékban egyikük a kalandmester, a többiek alkotják a csapatot.) A kalandmester személyéről sorsolással kívánnak dönteni, ehhez a játékban használt 10 oldalú ,,dobókockával'' dobnak a következőképpen:

Előre meghatározott sorrendben mindenki egyszer dob a kockával. Az lesz a kalandmester, aki először 1-est, vagy 2-est dob. Ha a kör végére nincs meg a kalandmester, akkor újra kezdik ugyanebben a sorrendben a dobásokat mindaddig, amíg valaki 1-est vagy 2-est nem dob.

Dorottya még sohasem vezetett ebben a társaságban játékot, és most nagyon szeretne. A fiúk udvariasak és megengedik neki, hogy megválassza azt, hogy hányadiknak dob. Te mit javasolnál Dorottyának? (3 pont)

Javasolta: Pogány Gyula, Szolnok

B. 3408. Egy szabályos 2n oldalú sokszög minden csúcsára egy-egy egész számot írunk úgy, hogy a szomszédos csúcsokra írt számok különbsége 1. Nevezzük hegyszámnak azokat a számokat, amelyek nagyobbak mindkét szomszédjuknál és völgyszámnak azokat, amelyek kisebbek mindkét szomszédjuknál. Bizonyítsuk be, hogy a hegyszámok összegéből a völgyszámok összegét levonva n-et kapunk. (5 pont)

Javasolta: Hraskó András, Budapest

B. 3409. Tükrözzük az y=x² parabolát az (1;1) pontra. Mi a tükörkép egyenlete? (3 pont)

B. 3410. Egy három méter magas nagy festmény függ a falon, alsó széle egy méterrel van a néző szemmagassága felett. A kép látványa annál élvezhetőbb, minél nagyobb az a függőleges szög, amelyben látszik. Milyen távolságból nézve lesz ez a szög a lehető legnagyobb? (4 pont)

B. 3411. Legalább hány oldalú az a szabályos sokszög, amely körülírt körének területét 1 ezreléknél kisebb hibával közelíti? (4 pont)

A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

A. 248. Hányféleképpen lehet egy n-elemű halmaz hatványhalmazát két diszjunkt részre: az I és H halmazokra bontani úgy, hogy a következő feltételek egyszerre teljesüljenek?

a) tetszőleges a, bI esetén abI és abI;

b) tetszőleges a, bH esetén abH és abH;

c) tetszőleges aI, bH esetén abI és abH.

(Egy halmaz hatványhalmazának az összes részhalmazainak halmazát nevezzük.)

Javasolta: Csirmaz Előd, Budapest

A. 249. Legyenek a, b, c, t pozitív számok és abc=1. Igazoljuk, hogy

A. 250. Tekintsük a Hanoi tornyai néven közismert játék négytornyos változatát: n darab különböző méretű korong egymásra van helyezve nagyság szerint sorban úgy, hogy alul van a legnagyobb, felül a legkisebb. A korongokat egy másik helyre kell áthelyezni a következő szabályok betartásával:

Bizonyítsuk be, hogy a szükséges minimális lépésszám legalább és kisebb, mint .

Énekes Béla (Tolna) ötletéből

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

A beküldési határidő: 2000. december 15.