![]() |
A 2001. októberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása |
A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.
C. 640. A Gergely naptár szerint 400 egymást követő év során összesen 97 szökőnapot kell beiktatni. Hány év elteltével lesz 1 nap eltérés a Gergely naptár és a ,,pontos'' naptár között, ha egy év hossza 365 nap 5 óra 48 perc 46 másodperc?
Megoldás. A kerek évektől eltekintve a Gergely naptár 400 évente 97 napot (azaz 97.24=2328 órát) kínál fel az 5 óra 48 perc 46 másodperc 400-szorosával szemben. A perceket célszerű 4/5 órának számolni; így ebből és az órákból 400 év alatt 2320 óra, vagyis 8 órával kevesebb adódik, mint 97 nap. A Gergely naptár javára tehát 8 óra, vagyis 28800 másodperc áll szemben a 400.46=18400 másodperccel. Ezért a többlet 400 évenként 10400 másodperc. Ahhoz, hogy ebből egy teljes nap (vagyis 86400 másodperc) összejöjjön (400.86400)/10400sim3323 évre van szükség.
C. 641. Egy téglalap alakú papírlapot az átlója mentén összehajtunk. A dupla rétegen túlnyúló részeket levágva, a megmaradt papír széthajtás után rombusz alakú lesz. Ezt most a középvonala mentén hajtjuk össze, és a papírt az előbbihez hasonlóan megint körbenyírjuk. Milyen téglalapból induljunk ki, hogy a végül megmaradt papír széthajtás után szabályos hatszög alakú legyen?
Megoldás.
Az ABCD téglalapban AB=a, AD=b, a rombusz oldalát jelölje x.
Az ADE derékszögű háromszögben x2=b2+(a-x)2, innen
(1):x=a2+b22a.
A rombuszt a középvonala mentén összehajtva az A'B'EC'D'F szabályos hatszöget kapjuk, C'EB'angle=120o, ezért az ADE derékszögű háromszögben AEDangle=60o és bx=sin60∘-ból
(2): x=2√33b.
(1)-ből és (2)-ből
2√33b=a2+b22a.
Az egyenletet rendezve és megoldva kapjuk, hogy a=√3b. Ennek az aránynak kell teljesülnie a téglalap oldalaira. Könnyen ellenőrizhető, hogy a kapott hatszög szabályos.
C. 642. Egy természetes szám négyzetének utolsó két jegyét felcserélve az eggyel nagyobb szám négyzetét kapjuk. Határozzuk meg az összes ilyen számot.
Javasolta: Fried Ervin, Budapest
Megoldás. Ha n2 utolsó két jegye A és B (ebben a sorrendben), akkor (n+1)2 utolsó két jegye sorrendben B és A. Így:
2n+1=(n+1)2-n2=(10B+A)-(10A+B)=9(B-A).
Ebből azonnal kapjuk, hogy B-A páratlan. A=0 lehetetlen, mert 0-ra végződő négyzetszám két utolsó jegye 0, ezért B=0 is teljesül; és 2n+1 nem lehet 0. Ez azt is jelenti, hogy B>A. Tekintettel arra, hogy Ble9, ezért B-Ale9-1=8. Mivel B=A páratlan, ezért B-Ain{1,3,5,7}. Eszerint nin{4,13,22,31}. A megfelelő párok négyzetei: 16 és 25; 169 és 196; 484 és 529; 961 és 1024. Ezek közül csak egy felel meg a kirótt feltételnek: 13.
C. 643. Az ABC háromszög területe t, kerülete k, a körülírt kör sugara R. Bizonyítsuk be, hogy 4tR≤(k3)3.
Megoldás. Az ABC háromszög oldalait és szögeit a szokásos módon jelölve felírhatjuk, hogy t=absinγ2, R=c2sinγ és k=a+b+c. Helyettesítve az egyenlőtlenségbe és elvégezve az egyszerűsítéseket: abc≤(a+b+c3)3 egyenlőtlenséghez jutunk. Ez pedig nyilván teljesül, mivel a, b, c pozitív így számtani közepük mindig nagyobb vagy egyenlő, mint a mértani közepük. Egyenlőség csak szabályos háromszög esetén áll fenn.
C. 644.
Egy háromszög szögei ,
és
. Bizonyítsuk
be, hogy:
cosαsinβsinγ+cosβsinαsinγ+cosγsinαsinβ=2.
Javasolta: José Luis Díaz, Barcelona
Megoldás. A bizonyítandó azonosság:
cosαsinβsinγ+cosβsinαsinγ+cosγsinαsinβ=2.
A 0-tól különböző 2sinalphasinbetasingamma-val végigszorozva és a kétszeres szög szinuszára vonatkozó azonosságot alpha és beta esetében felhasználva azt nyerjük, hogy
(1): sin2alpha+sin2beta+2singammacosgamma=4sinalphasinbetasingamma.
A bal oldalon levő első két tag összege sin2alpha+sin2beta=2sin(alpha+beta)cos(alpha-beta).
Az alpha+beta+gamma=180o összefüggést felhasználva kapjuk, hogy (1) bal oldalán
(2): 2singamma(cos(alpha-beta)+cosgamma)=2singamma(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta))
áll. Itt a zárójelben szereplő összegre
cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=-2sinalphasin(-beta)=2sinalphasinbeta
adódik, tehát (2) valóban megegyezik (1) jobb oldalával.