A 2001. novemberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

C. 645.  Ketten a következő játékot játsszák. Egy kupacból, amelyben kezdetben 7 szál gyufa van, felváltva vesznek el minden lépésben egy, két vagy három szál gyufát, amíg mind el nem fogy. Az nyer, akinél a végén páros számú gyufa van.

A kezdőnek, vagy ellenfelének van-e nyerő stratégiája? Hogyan kell játszania, hogy nyerjen?

Kvant

Megoldás. Mivel a 7 páratlan szám, csak egy játékos nyerhet. A kezdő játékosnak van nyerő stratégiája. Elsőre vegyen el 3 gyufát. Ha ellenfele a következő lépésben 1 gyufát húzna ki, akkor ő a harmadik lépésben a megmaradt 3 szál elvételével nyer. Ha ellenfele másodikra 2 gyufát vesz el, akkor ő a harmadik lépésben (a még meglevő 2-ből) 1-et vesz magához; így 4 gyufája van, és ellenfelének el kell vennie a megmaradt 1 gyufát. Ha az ellenfél másodikra 3 gyufát vesz el, akkor a harmadik lépésben övé a megmaradt 1 gyufa, és ezáltal 4 gyufája van, amivel nyer. (v.ö. a B. 3493. feladat megoldásával)

C. 646.  A természetes számok sorozatából elhagyjuk a négyzetszámokat. A megmaradó számok sorozatában melyik a 2001-edik, és hányadik helyen áll a 2001?

Javasolta: Nádor Péter, Pécs

Megoldás. Mivel 44²=1936<2001<2025=45², azért 2001-ig 44 darab négyzetszám van. Így a sorozatban 2001 a 2001-44=1957-edik helyen áll. A 2001 utáni első négyzetszám 2025=45², azután pedig 46²=2116 a következő. Ezért a 2001 után 23 darab nem-négyzetszám következik a sorban, közülük a legnagyobb, 2024 áll az 1957+23=1980-adik helyen. Utána 2115-2025=90 nem-négyzetszám következik: 2026, 2027, ...; közülük a 21-edik: 2026+20=2046 áll a sorozat 2001-edik helyén. (Szembeötlő az 1957 és a 2046 ,,majdnem szimmetrikus'' elhelyezkedése a 2001-hez képest; ez nem véletlenül van így.)

C. 647.  Megrajzoltuk a koordinátarendszerben az $\displaystyle f(x)={1\over x}$ függvény grafikonját. Mekkorának válasszuk az új, egymással továbbra is egyenlő egységeket a tengelyeken, ha azt akarjuk, hogy a görbe a $\displaystyle g(x)={2\over x}$ függvény grafikonja legyen?

Megoldás. Ha mindkét tengelyen az e hosszúságú szakaszt választjuk új egységnek, akkor az eredetileg (a,b) koordinátájú pont új koordinátái: $\displaystyle \left({a\over e},{b\over e}\right)$. Az $\displaystyle f(x)={1\over x}$ függvény grafikonját azok a pontok alkotják, amelyek koordinátái a régi koordinátarendszerben $\displaystyle \left(x,{1\over x}\right)$, az új egységben számolva tehát $\displaystyle \left({x\over e},{1/x\over e}\right)$. Ez pontosan akkor adja a $\displaystyle g(x)={2\over x}$ függvény grafikonját, ha $\displaystyle {1/x\over e}={2\over x/e}$ teljesül (minden x$\displaystyle ne$0-ra). Az azonosság teljesülésének szükséges és elégséges feltétele $\displaystyle {1\over e}=2e$, azaz $\displaystyle e={\sqrt{2}\over2}$.

C. 648.  Mennyi a 2^log₆18.3^log₆3 pontos értéke?

Megoldás. 2^log₆18.3^log₆3=2^{log₆6+log₆3.}3^log₆3=2^1+log₆3.3^log₆3=2^.2^log₆3.3^log₆3=2^.(2^.3)^log₆3=2^.6^log₆3=2^.3=6.

C. 649.  Egy csonkagúla alaplapjának a területe 8 cm², fedőlapjának a területe 1 cm². A gúlát az alaplappal párhuzamos síkkal két egyenlő térfogatú részre osztjuk. Mekkora a síkmetszet területe?

Javasolta: Besenyei Ádám, Tatabánya

Megoldás. Egy csonkagúlát, amelynek alaplapja A, fedőlapja B területű, egészítsünk ki gúlává. Ha a csonkagúla magassága m, a teljes gúláé pedig m+x, akkor a megfelelő gúlák hasonlóságából $\displaystyle (m+x):x=\sqrt{A}:\sqrt{B}$, ahonnan $\displaystyle x=m{\sqrt{B}\over\sqrt{A}-\sqrt{B}}$, ezért a teljes gúla térfogata $\displaystyle V={m+x\over3}A={m\over3}{A\sqrt{A}\over\sqrt{A}-\sqrt{B}}$, a csonkagúláé pedig $\displaystyle V\left(1-\left({x\over m+x}\right)^3\right)=V\left(1-{B\sqrt{B}\over A\sqrt{A}}\right)$. A csonkagúla kettévágásakor keletkezett ,,alsó'' csonkagúla alaplapja ugyancsak A, fedőlapjának területét jelöljük C-vel. Mivel ugyanarra a V térfogatú gúlára egészíthető ki, térfogata az előbbiek szerint $\displaystyle V\left(1-{C\sqrt{C}\over A\sqrt{A}}\right)$. A feladat feltétele tehát:

$\displaystyle 1-{C\sqrt{C}\over A\sqrt{A}}={1\over2}\left(1-{B\sqrt{B}\over A\sqrt{A}}\right),$

ennek megoldása pedig $\displaystyle C=(A\sqrt{A}+B\sqrt{B})^{2/3}=\left({16\sqrt{2}+1\over2}\right)^{2/3}\approx5,19$.