Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2002. március

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 665. Mennyi az alábbi tört értéke, ha a számláló és a nevező ugyanannyi számjegyet tartalmaz?

\(\displaystyle {166\dots6\over66\dots64}\)

C. 666. Egy egész együtthatós másodfokú polinom minden egész helyen 3-mal osztható értéket vesz fel. Bizonyítsuk be, hogy a polinom mindhárom együtthatója osztható 3-mal.

C. 667. Legyen

\(\displaystyle a=x+{1\over x},\qquad b=y+{1\over y},\qquad c=xy+{1\over xy}.\)

Mutassuk meg, hogy az a²+b²+c²-abc kifejezés értéke nem függ x és y-tól.

C. 668. Adott az ABC egyenlő oldalú háromszög. Hol vannak azok a P pontok a háromszög síkjában, amelyekre PA²=PB²+PC²?

C. 669. Adott kerületű körcikkek közül melyiknek legnagyobb a területe?

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3532. Egy csodabogár a négyzethálós papírlapon sétál. Egy lépéssel jobbra mindig két mezőt, balra négyet, felfelé hármat, lefelé pedig ötöt tud lépni. Sétája során minden egyes lépés után pontosan 90^o-kal fordul el. Melyek azok a mezők, ahova a bogár sétája során eljut?

(3 pont)

B. 3533. Anna egy nagy rajzlapra felírt 32 egész számot és mindegyiket letakarta egy-egy kártyalappal. Ezután odahívta Balázst azzal, hogy ha kiválaszt 7 lapot, akkor elárulja neki, hogy az alattuk lévő számok összege páros-e vagy páratlan. Legalább hányszor kell Balázsnak választania, ha meg akarja tudni, hogy a rajzlapra felírt 32 szám összege páros vagy páratlan? (4 pont)

B. 3534. A futballpályán egy támadás során a csatár olyan törött vonal mentén futott, amelyet minden, a pálya valamelyik oldalával párhuzamos egyenes legfeljebb egyszer metsz. Igazoljuk, hogy a csatár nem futhatott többet a pálya két szomszédos oldalának összegénél. (3 pont)

B. 3535. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög BC, CA és AB oldalegyenesein lévő U, V, W pontokban az oldalakra állított merőlegesek pontosan akkor mennek át egy ponton, ha

AW²+BU²+CV²=AV²+CU²+BW².

(3 pont)

B. 3536. Határozzuk meg

\(\displaystyle {x^2\over8}+x\cos x+\cos2x\)

legkisebb értékét. (4 pont)

B. 3537. Az ABC háromszög AC oldala a B-ből induló szögfelezőt D-ben, a B-ből induló magasságot H-ban metszi, a beírt kört pedig E-ben érinti. Az AC felezőpontja F. Bizonyítsuk be, hogy az EF szakasz az FD és FH szakaszok mértani közepe. (4 pont)

B. 3538. Keressünk olyan pozitív valós számot, ami 2501-szeresére nő, ha a tizedestört alakjában fölcseréljük a tizedesvessző utáni első és ötödik számjegyet. (5 pont)

B. 3539. Egy ládában 8 darab törékeny tárgy van. Közülük 1 db 50 000 Ft, 3 db 30 000 Ft és 4 db 20 000 Ft értékű. A ládát szállítás során leejtik, a tárgyak egymástól függetlenül 1/2 valószínűséggel törnek össze. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kár nem haladja meg a 100 000 Ft-ot? 4 pont)

B. 3540. Milyen határok között változik a háromszögekben a magasságok négyzetösszegének és az oldalak négyzetösszegének az aránya? (5 pont)

Balogh János (Kaposvár) javaslata nyomán

B. 3541. Legyen \(\displaystyle f(x)={ax+b\over cx+d}\). Bizonyítsuk be, hogy ha f(f(f(1)))=1, és f(f(f(2)))=3, akkor f(1)=1. (5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 287. Egy lapra valaki rajzolt egy ellipszist, amelynek a nagytengelye kétszer olyan hosszú, mint a kistengelye. Az illető a tengelyek végpontjait is megjelölte. Adjunk meg olyan szerkesztési eljárást, amely körzőt és vonalzót, valamint az ellipszist felhasználva, bármely hegyesszöget három egyenlő részre oszt.

A. 288. Legyen p egy tetszőleges n-edfokú polinom, ahol n\(\displaystyle ge\)1. Bizonyítsuk be, hogy létezik legalább n+1 olyan komplex szám, amelyre p értéke 0 vagy 1.

IMC 7, London, 2000

A. 289. Bizonyítsuk be, hogy ha a pozitív valós számok halmazán értelmezett valós értékű f függvény minden pozitív x, y értékre eleget tesz az

\(\displaystyle f\left({x+y\over2}\right)+f\left({2xy\over x+y}\right)=f(x)+f(y)\)

egyenletnek, akkor minden pozitív x,y számpárra

\(\displaystyle 2f\big(\sqrt{xy}\big)=f(x)+f(y).\)

Schweitzer Miklós Emlékverseny, 2001

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2002. április 15.