A számítástechnika-versenyben kitűzött feladatok 2002. március

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

I. 19. Az ún. kis Fermat-tétel azt mondja ki, hogy ha p prímszám, a pedig olyan egész szám, amely nem osztható p-vel, akkor az a^p-1-1 különbség osztható p-vel, vagy másképpen írva:

a^p-1\(\displaystyle equiv\)1 (mod p).

Például 2¹²=4096 maradékul 1-et ad 13-mal osztva.

A kis Fermat-tétel megfordítása azonban nem igaz, azaz ha az a^p-1-1 különbség osztható p-vel, abból nem következik, hogy p prímszám. Például: 3³⁴⁰\(\displaystyle equiv\)1 (mod 341), pedig 341=11^.31. Vannak olyan p összetett számok is, amelyek minden, p-nél kisebb, p-hez relatív prím a-ra kielégítik a kis Fermat-tételt. Az ilyen p-ket felfedezőjükről Carmichael-számoknak nevezzük. A legkisebb ilyen szám az 561.

Készítsünk programot (I19.PAS, ...), amely beolvas két természetes számot (1\(\displaystyle le\)N\(\displaystyle le\)M\(\displaystyle le\)100 000), majd kiírja az N és M közötti Carmichael számokat! (10 pont)

I.20. Egy gömböt úgy tudunk a síkban ábrázolni, hogy a felénk forduló részét fényesebbre festjük. A fényesség a fény beesési szögének koszinuszával arányos. A fényességet úgy állítjuk be, hogy a legfényesebb helyeken nagyon sűrűn teszünk a sötét háttérre fehér pontokat, s minél kisebb a fényesség, annál ritkábban (ezt hívják pontfelhős ábrázolásnak). Ha a gömböt a szemtengely irányából egy párhuzamos fénynyalábbal megvilágítjuk, akkor az 1. ábrán látható képet kapjuk. Ha a fénynyalábot a szemtengelyhez képest a függőleges y-tengely körül 60 fokkal elforgatjuk, akkor a 2. ábrán látható képet kapjuk.

2. ábra

Készítsünk programot (I20.PAS, ...), amely beolvassa a fénynyaláb és szemtengely által bezárt szöget, majd kirajzolja a megvilágított gömböt pontfelhős ábrázolással úgy, hogy a határvonalát piros körrel rajzolja! (10 pont)

I. 21. ,,Boldog számoknak'' nevezzük az olyan számokat, amelyekre igaz, hogy számjegyeik négyzetösszegét összeadva addig, amíg egyjegyű nem lesz, végül 1-et kapunk. Például boldog szám a 23, mert 2²+3²=4+9=13, 1²+3²=1+9=10, 1²+0²=1+0=1.

Készítsünk táblázatot (I21.XLS), amely egy adott N számra megmondja, hogy az boldog szám-e! Néhány boldog szám: 1, 7, 10, 13; mert 1²=1; 7²=49\(\displaystyle to\)97\(\displaystyle to\)130\(\displaystyle to\)10\(\displaystyle to\)1; 10\(\displaystyle to\)1²+0²=1; 1²+3²=10\(\displaystyle to\)1. A táblázat első három sorában az alábbi minta szerint legyenek az adatok! Az N értéke B1 cellába írása után a CTRL és az M billentyű együttes lenyomására kerüljön az eredmény a B2, illetve a B3 cellába! (10 pont)

A számítástechnika feladatok megoldásai a következő címre küldendők:

A beküldési határidő: 2002. április 13.