Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2002. április
Kérjük, olvassa el a versenykiírást.
 |
A C pontversenyben kitűzött gyakorlatokMinden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár. |
C. 670. Egy 3x3-as táblázatba beírtuk az első kilenc pozitív egész számot, mindegyiket egyszer. Tegyük föl, hogy a három sorban balról jobbra, a három oszlopban fölülről lefelé, illetve a bal fölső csúcsból kiinduló átlón kiolvasható háromjegyű számok mindegyike osztható 11-gyel. Mekkora lehet a jobb fölső sarokból kiinduló átlón kiolvasható háromjegyű szám értéke?
Javasolta: Kiss Sándor, Nyíregyháza
C. 671. Egy 36 cm átmérőjű lábosba beleállítottunk egy 6 cm és egy 12 cm sugarú befőttesüveget. Legfeljebb mekkora sugarú befőttesüveg állítható be a többi mellé a lábosba?
C. 672. Egy téglatest A csúcsából kiinduló éleinek hossza 1, 2, 3 egység. Ezen élek A-tól különböző végpontjai egy háromszöget határoznak meg. Milyen messze van az A pont a háromszög síkjától?
C. 673. A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számok közül kétszer választunk véletlenszerűen. (Ugyanazt a számot kétszer is kiválaszthatjuk.) Minek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy a két szám összege, vagy annak, hogy a különbségük osztható 3-mal?
C. 674. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:
x20=(52)logx50.
 |
A B pontversenyben kitűzött feladatokA B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe. |
B. 3542. Bizonyítsuk be, hogy ha egy 111...1 alakú szám osztható 7-tel, akkor osztható 37-tel is. (3 pont)
(4 pont)
Gál Péter ötletéből
B. 3544. Mutassuk meg, hogy a háromszög hozzáírt körei közt van olyan, amelynek a sugara legalább háromszorosa a beírt kör sugarának. (3 pont)
B. 3545. Bizonyítsuk be, hogy
n2−n2≤{√1}+{√2}+…+{√n2}≤n2−12,
ahol {x} az x törtrészét jelöli. (4 pont)
B. 3546. Egy kockát egy síkkal metszve olyan ABCDEF hatszöget kapunk, amelynek AD, BE, CF átlói egy ponton haladnak át. Bizonyítsuk be, hogy a metsző sík áthalad a kocka középpontján. (5 pont)
B. 3547. Bizonyítsuk be, hogy ha az f függvényre
f(x+1)+f(x−1)=√2f(x)
minden valós x-re teljesül, akkor a függvény periodikus. (4 pont)
B. 3548. Egy különböző pozitív egészekből álló végtelen számtani sorozat minden elemét elosztjuk a legnagyobb prímosztójával. Lehet-e az így kapott sorozat korlátos? (4 pont)
B. 3549. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges x valós szám esetén
cos cos xge|sin x|.
(4 pont)
Javasolta: Szobonya László, Budapest
B. 3550. Az ABC háromszög A-ból és B-ből induló magasságvonalai az M pontban metszik egymást, a szemközti oldalakat pedig az A1 és a B1 pontokban. Tegyük fel, hogy az A1B1 egyenes az AB oldalt D-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy a DM egyenes merőleges a C-ből induló súlyvonalra. (5 pont)
B. 3551. Legyenek az a, b, c, d olyan pozitív egészek, melyekre
Bizonyítsuk be, hogy a+b+c+d összetett szám. (5 pont)
 |
Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatokMinden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár. |
A. 290. Adott véges sok négyzet alakú papírlap, amelyek területének összege 4 egység. Bizonyítsuk be, hogy lefedhető velük egy egységnyi négyzet.
Allan Wilson, Anglia
A. 291. Oldjuk meg az
x=√2+√2−√2+x
egyenletet.
A. 292. Egy világvárosban n metróvonal van (n>4). Egy állomáson legfeljebb három metróvonal találkozik, és bármelyik két különböző metróvonalhoz létezik egy harmadik, amelyikre mindkettőről át lehet szállni. Igazoljuk, hogy a városban legalább 56(n−5) metróállomás van.
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:
- KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32. 1518