Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2002. május

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 675. Van-e olyan négyzetszám, amelynek utolsó két számjegye páratlan?

C. 676. Az ABEF téglalap AB oldala 1, BE oldala 3 egység. A BE oldal harmadolópontjai C és D. Mutassuk meg, hogy

BAC\(\displaystyle \angle\)+BAD+BAE\(\displaystyle \angle\)=180^o.

C. 677. Határozzuk meg az a és b egész számokat, ha a⁴+(a+b)⁴ +b⁴ négyzetszám.

C. 678. Az ABC háromszögben AC=1, ABC\(\displaystyle \angle\)=30^o, BAC=60^o, a C-ből induló magasság talppontja D. Milyen messze van egymástól az ACD és a BCD háromszögek beírt körének a középpontja?

C. 679. Adott három egységsugarú gömb, melyek páronként érintik egymást és az S síkot. Határozzuk meg annak a gömbnek a sugarát, melynek középpontja az S síkon van és érinti a gömböket.

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3552. Az a₁, a₂, ..., a_2n+1 sorozat minden tagja 2, 5 vagy 9. Tudjuk, hogy a sorozat bármely két szomszédos tagja különböző és a₁=a_2n+1. Bizonyítsuk be, hogy a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+...-a_2na_2n+1=0. (3 pont)

B. 3553. Az ABC háromszög A csúcsából induló magasság, B csúcsából induló szögfelező és C csúcsából induló súlyvonal a szemközti oldalakat rendre az A₁, B₁, C₁ pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy ha az A₁B₁C₁ háromszög szabályos, akkor az ABC háromszög is szabályos. (4 pont)

B. 3554. Az ABCD paralelogramma átlói az M pontban metszik egymást. Az A, M, B pontokon átmenő kör érinti a BC egyenest. Bizonyítsuk be, hogy a B, M, C pontokon átmenő kör érinti a CD egyenest. (3 pont)

B. 3555. Egy 2n+1-tagú társaság bármely n-tagú csoportjához van a társaságnak olyan a csoporthoz nem tartozó tagja, aki a csoport minden tagját ismeri. Az ismeretséget kölcsönösnek tételezzük fel. Bizonyítsuk be, hogy a társaságnak van olyan tagja, aki mindenkit ismer. (5 pont)

B. 3556. Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldala és a közös csúcsukból induló külső szögfelező. (4 pont)

B. 3557. Kezdődhet-e egy köbszám tízes számrendszerbeli alakja 2002 darab egyessel? (4 pont)

B. 3558. Van-e olyan nem konstans egész együtthatós polinom, amelyik minden pozitív egész helyen 2-hatvány értéket vesz föl? (4 pont)

OKTV 2002 nyomán

B. 3559. Adottak a síkon az e₁, e₂, ..., e_n egyenesek. Az e₁ egyenes egy tetszőleges P₁ pontjából merőlegest bocsátunk az e₂-re, ennek talppontja P₂. Ezután a P₂-ből e₃-ra bocsátott merőleges talppontja P₃, és így tovább, végül az e_n egyenesen kapott P_n pontból az e₁-re bocsátott merőleges talppontja P_n+1. Bizonyítsuk be, hogy az e₁ egyenesnek van olyan P₁ pontja, hogy az így kapott P_n+1 egybeesik P₁-gyel. (4 pont)

B. 3560. Bizonyítsuk be, hogy bárhogyan is hagyunk el az első 2002 pozitív egész szám közül 89 darabot, a megmaradó számok között van 20 olyan, amelyeknek az összege is a megmaradt számok között van. (5 pont)

B. 3561. Egy konvex poliéder minden csúcsából pontosan három él indul ki. Egy lap kivételével a poliéder minden lapjáról tudjuk, hogy van körülírt köre. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a poliéder valamennyi lapjának van körülírt köre. (5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 293. Mutassuk meg, hogy tetszőleges m\(\displaystyle \ge\)2 egészhez léteznek olyan a és b pozitív egészek, amelyek m-es számrendszerben felírt alakja együttesen minden számjegyből pontosan annyit tartalmaz, mint az a^.b szám m-es számrendszerbeli alakja.

Szobonya László, Budapest

A. 294. Definiáljuk az a₁,a₂,... sorozatot a következő rekurzióval: a₁=1, \(\displaystyle a_{n+1}={a_1a_n+a_2a_{n-1}+\dots+a_na_1\over n+1}\). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle b_n=\root{n}\of{a_n}\) sorozat konvergens.

A. 295. Az x₁,x₂...,x_n pozitív számokra teljesül, hogy

\(\displaystyle {1\over1+x_1}+{1\over1+x_2}+\dots+{1\over1+x_n}=1.\)

Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\dots+\sqrt{x_n}\ge(n-1) \left({1\over\sqrt{x_1}}+{1\over\sqrt{x_2}}+\dots+ {1\over\sqrt{x_n}}\right).\)

Vojtech Jarník Matematikaverseny, Ostrava, 2002

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2002. június 15.