A 2002. októberi számban kitűzött fizika elméleti feladatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

P. 3551. Egy egyenáramú játékmotorral hajtott daru 0,2 m/s sebességgel emel fel egy 200 g tömegű terhet. Mekkora teljesítményű villanymotorral dolgozik a daru, ha a teljes munkavégzés 10%-a a súrlódások legyőzésére fordítódik? Mekkora a 9 V-os villanymotor áramfelvétele, ha a hatásfoka 80%? (3 pont)

Közli: Holics László, Budapest

Megoldás. A motor teljesítménye 0,44 W, áramfelvétele pedig 0,06 A.

P. 3552. Egy kút mélységét annak alapján akarjuk meghatározni, hogy mennyi idő múlva halljuk a beejtett kő csobbanását. Mekkora hibával tudjuk meghatározni a kút mélységét, ha időmérésünk hibája p%? A légellenállást és a hang terjedésének idejét hanyagoljuk el! Mikor jogos ez az elhanyagolás? (4 pont)

Közli: Radnai Gyula, Budapest

Megoldás. A mélységmérés relatív hibája

$\displaystyle {\Delta s\over s}=2{\Delta t\over t}=(2p)\%\,.$

A közegellenállás és a hangterjedés véges idejének elhanyagolása akkor jogos, ha az eső kő végsebessége nem túl nagy, azaz a kút nem túl mély. A légellenállás elhanyagolásából származó hiba - adott mélységű kút esetén - olymódon csökkenthető, hogy nagyobb méretű követ ejtünk a kútba.

P. 3553. Összegezzük az F és kF nagyságú erőket, melyek egymással $\displaystyle \alpha$ szöget zárnak be (k$\displaystyle \ge$1). Az $\displaystyle \alpha$ szög mely értékénél lesz az eredőnek a kF összetevővel alkotott $\displaystyle \varepsilon$ szöge a legnagyobb? Mekkora ez a szög?

(4 pont)

Vermes Miklós feladata

Megoldás.

$\displaystyle {\rm tg}\,\varepsilon={\sin\alpha\over k+\cos\alpha},$

ez akkor a legnagyobb, ha cos $\displaystyle \alpha$=-1/k. Ilyenkor

$\displaystyle {\rm tg}\,\varepsilon={1\over\sqrt{k^2-1}}.$

P. 3554. Egy tömör golyót és egy tömör hengert egyszerre engedünk el egy lejtő tetejéről. Lehetséges-e, hogy egyszerre érnek le a lejtő aljára? Milyen esetekben? (5 pont)

Közli: Kovács Tamás, Budapest

Megoldás. A mozgásegyenlet

mgsin $\displaystyle \alpha$-S=ma.

Tiszta gördülés esetén

$\displaystyle Sr=\Theta\beta$ és r$\displaystyle \beta$=a,

azaz

$\displaystyle a={g\sin\alpha\over1+\left(\Theta/mr^2\right)}.$

Mivel $\displaystyle \Theta/mr^2$ alakfüggő, a is az, tehát tiszta gördülés esetén a golyó és a henger biztos nem egyszerre ér le. Ha a guruló test köszörül (csúszik és gurul)

S=$\displaystyle \mu$mgcos $\displaystyle \alpha$

és

a=gsin $\displaystyle \alpha$(1-$\displaystyle \mu$ ctg $\displaystyle \alpha$),

ekkor tehát egyszerre ér le a golyó és a henger. A köszörülés feltétele

$\displaystyle \beta={Sr\over\Theta}={r\mu mg\cos\alpha\over\Theta}< {a\over r}={g\sin\alpha(1-\mu\,{\rm ctg}\,\alpha)\over r}$

azaz

$\displaystyle \mu<{{\rm tg}\,\alpha\over1+\left(mr^2/\Theta\right)}.$

$\displaystyle mr^2/\Theta$ gömbre 5/2, míg hengerre csak 2, így a szigorúbb feltétel

$\displaystyle \mu<{2\over7}\,{\rm tg}\,\alpha.$

P. 3555. Egy fal előtt állunk. Köztünk és a fal között fülünk magasságában síp szól, amelynek rezgésszáma 600 Hz. Milyen sebesen kell mozgatni a sípot a fal felé, hogy másodpercenként 3 lebegést halljunk? (4 pont)

Kurucz László feladata nyomán

$\displaystyle v=\frac{\sqrt{f_0^2+\Delta f^2}-f_0}{\Delta f}\,c=86~\rm cm/s.$

(Itt f₀ a síp hangjának, $\displaystyle \Delta$f pedig a lebegés frekvenciája, és c a hangsebesség.)

P. 3556. Toroid tekercs légrésében homogénnek tekinthető, kör keresztmetszetű mágneses mező jön létre. Az erővonalakra merőlegesen, sugár irányban belépő töltött részecskék közül a nagyobb vagy a kisebb sebességűek hagyják el hamarabb a mágneses mezőt?

(5 pont)

Közli: Varga István, Békéscsaba

Megoldás. Az adott mágneses térben a v sebességű elektron pályájának a sugara

$\displaystyle r={vm\over eB}\,,$

és egy teljes kör befutásához szükséges idő

$\displaystyle T={2\pi m\over eB}\,.$

Ez független a sebességtől, tehát a mágneses mezőben töltött idő a befutott körívhez tartozó középponti szöggel arányos. Eszerint a gyorsabb elektronok hagyják el hamarabb a mágneses mezőt.

P. 3557. Derékszögű, szimmetrikus üvegprizma átfogójára monokromatikus fénysugár esik a levegőből. Az $\displaystyle \alpha$ beesési szöget válasszuk meg úgy, hogy a másik két lapon teljes visszaverődés jöjjön létre (n=1,5).

a) Határozzuk meg a prizmába belépő és az abból kilépő fénysugarak által bezárt szöget!

b) Legfeljebb mekkorának választhatjuk az $\displaystyle \alpha$ beesési szöget, hogy a teljes visszaverődések bekövetkezzenek? (5 pont)

Közli: Kotek László, Pécs

Megoldás. a) A belépő és kilépő sugarak párhuzamosak.

b) Az $\displaystyle \alpha$ beesési szögnek $\displaystyle \pm$4,8^o közé kell esnie.

P. 3558. Az atomreaktorokban a lassú, termikus neutronok nagyobb valószínűséggel hoznak létre maghasadást, mint a gyors neutronok; ezért a hasadáskor képződő neutronokat nehézvízzel vagy grafittal fékezik (moderálják).

Határozzuk meg, hogy energiájának hány százalékát veszíti el a neutron, ha álló ²₁H, illetve $\displaystyle {}^{12}_{\phantom{1}6}\rm C$ atommaggal ütközik egyenesen, rugalmasan! (4 pont)

Bakonyi Gábor feladata nyomán

Megoldás. A maghasadások során felszabaduló neutronok mozgási energiája MeV nagyságrendű, vagyis sokkal kisebb, mint a neutron mc²$\displaystyle \approx$1 GeV nagyságú nyugalmi eneriája, ezért számolhatunk a klasszikus (nemrelativisztikus) newtoni fizika törvényeivel.

A v sebességű m₁ tömegű részecske sebessége az álló m₂ tömegű részecskével való centrális ütközés után

$\displaystyle u=v{m_1-m_2\over m_1+m_2},$

ennek megfelelően a mozgási energiájának

$\displaystyle 1-\left({u\over v}\right)^2={4m_1m_2\over\left(m_1+m_2\right)^2}$

hányadát veszíti el az ütközés során. Ez a feladatban adott két esetben (m₂=2m₁, illetve m₂=12m₁) 88,9%, illetve 28,4%.

P. 3559. Adjunk becslést arra, hogy Magyarország területének hány százalékát kellene modern (50% hatásfokú) napelemekkel beborítani, hogy fedezni lehessen az ország jelenlegi teljes villamos teljesítmény szükségletét, ami átlagosan 7 GW! (5 pont)

Közli: Honyek Gyula, Budapest

Megoldás. A Magyarország területét érő napsugárzás átlagos tejesítménye

$\displaystyle L=JA{n_1\over n_2}\overline{\cos\phi}= 8{,}6\cdot10^{12}~{\rm W}.$

Itt J$\displaystyle \approx$1 kW/m² a földfelszínt elérő energia-áramsűrűség, A=94^.10⁹ m² Magyarország területe, n₁ a napsütéses órák száma, ennek becsült értéke 2000, n₂=8760 az év hossza órában kifejezve, $\displaystyle \phi$ a sugárzás beesési szöge $\displaystyle \overline{\cos\phi}$ pedig a cos $\displaystyle \phi$ átlaga, amit 0,4-nek becsültünk. Ennek a kivánt 7^.10⁹ W a 0,08%-a, tehát 50% hatásfokú energiaátalakítás esetén az ország területének 0,16%-át kellene napelemekkel beborítani.

P. 3560. Egy 1 m hosszú, egyik végénél mereven befogott vízszintes pálca másik végére 1 kg tömegű testet akasztva a lehajlás 1 cm lesz. Becsüljük meg, hogy függőlegesre állítva mekkora F terhelés hatására hajlik ki ez a pálca.

(Útmutatás: Egy meghajlított pálca rugalmas energiája egyenesen arányos a hosszával és fordítottan arányos a görbületi sugár négyzetével.) (6 pont)

Közli: Gnädig Péter, Budapest

Megoldás. Ha G súly hatására az L hosszú vízszintes pálca lehajlása h, akkor a függőleges terhelés kritikus értéke közelítőleg

$\displaystyle F_{\rm kritikus}\approx3G\,\frac{L}{h}\approx3000~\rm N.$