A 2003. márciusi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

C. 710. Egy iskolában a diákok átlagéletkora 16 év, a tanároké 38 év, az összes diák és tanár átlagéletkora együtt 17 év. A tanárok átlagosan 21 órát tanítanak hetente, a diákoknak pedig hetente átlagosan 29 órájuk van. Minden osztálynak ugyanannyi a létszáma. Hány gyerek jár egy osztályba ebben az iskolában?

Megoldás. A diákok összlétszámát d-vel, a tanárokét t-vel jelölve az átlagéletkorokra teljesülő feltételek miatt 16d+38t=17(d+t), azaz d=21t. Az osztályok közös létszáma legyen l; ekkor 21tl=29d=29^.21t, ahonnan l=29.

C. 711. Egy pozitív számokból álló sorozat bármely három egymás utáni elemére teljesül, hogy a középső szám a két szélsőnek a szorzata. Az első öt elem, valamint az utána következő öt elem szorzata is 2. Határozzuk meg a sorozat első tíz tagját.

Megoldás. A harmadiktól kezdve a sorozat minden eleme az előtte levőnek és az azt megelőzőnek a hányadosa. Így, ha az első elem a, a második pedig b, akkor az első tíz elem a következő:

$\displaystyle a,b,{b\over a},{1\over a},{1\over b},{a\over b},a,b,{b\over a},{1\over a}.$

Az első öt elem szorzata $\displaystyle 2=a\cdot b\cdot{b\over a}\cdot{1\over a}\cdot{1\over b}={b\over a}$ , a második öt elem szorzata $\displaystyle 2={a\over b}\cdot a\cdot b\cdot{b\over a}\cdot{1\over a}=b$ , tehát b=2 és a=1. A sorozat első tíz tagja:

$\displaystyle 1,2,2,1,{1\over2},{1\over2},1,2,2,1.$

C. 712. Az ABC háromszögben a szokásos jelölésekkel $\displaystyle \gamma$ =3 $\displaystyle \alpha$ , a=27, c=48. Határozzuk meg a b oldal hosszát.

Megoldás. sin

$\displaystyle gamma$ =sin3

$\displaystyle alpha$ =3sin

$\displaystyle alpha$ -4sin³

$\displaystyle alpha$ ; a szinusztétel szerint

$\displaystyle 3-4\sin^2\alpha={\sin\gamma\over\sin\alpha}={c\over a}={16\over9},$

így $\displaystyle \sin\alpha={\sqrt{11}\over6}$ , $\displaystyle \cos\alpha={5\over6}$ , $\displaystyle \sin\gamma={8\sqrt{11}\over27}$ , $\displaystyle \cos\gamma=-{5\over27}$ , $\displaystyle \sin\beta=\sin(\alpha+\gamma)=\sin\alpha\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma={35\sqrt{11}\over6\cdot27}$ . Tehát a szinusztétel alapján

$\displaystyle b=c{\sin\beta\over\sin\gamma}=48\cdot{35\sqrt{11}\over6\cdot27}\cdot{27\over8\sqrt{11}}=35.$

C. 713. Hány megoldása van a [0;2 $\displaystyle \pi$ ] intervallumban a

sin 2002x=sin 2003x

egyenletnek?

Megoldás. Az egyenlet valós megoldásai azok az x számok, amelyekre 2003x-2002x=2k $\displaystyle pi$ vagy 2003x+2002x=(2k+1)

$\displaystyle pi$ , ahol k egész. Az első feltételt [0,2

$\displaystyle pi$ ]-ben a 0 és a 2

$\displaystyle pi$ elégíti ki. A másik megoldássereg --

$\displaystyle x={2k+1\over4005}\pi$ -- [0,2

$\displaystyle pi$ ]-be eső értékei:

$\displaystyle {1\over4005}\pi,{3\over4005}\pi,{5\over4005}\pi,\ldots,{8009\over4005}\pi,$

ez 4005 darab szám. Összesen tehát a megoldások száma 4007.

C. 714. Egy tó vizében egy ottfelejtett labda úszott. A téli fagy beköszöntével a tó fenékig befagyott, a labdát kiemelték, és egy 8 cm mély, 24 cm átmérőjű mélyedés maradt a nyomában. Hány centiméter a labda sugara?

Megoldás.

Jelölje a labda középpontját O, a mélyedés szélét alkotó kör középpontját K, a kör egy tetszőleges pontját P, a mélyedés legalsó pontját pedig M. Ha a labda sugara r, akkor Pitagorasz tétele szerint OP²=OK²+KP², azaz r²=(r-8)²+12², amiből a labda sugara r=13 cm.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?