Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. április

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 715. Útmérő szerkezetünk ,,lelke'' egy 1 méter kerületű kerék. Ezt az úton végiggördítve számláló mutatja, hogy a kerék hányszor fordult körbe, vagyis hány méter az út hossza. Mennyit mutat a számláló, ha - nem éppen rendeltetésszerűen használva - az útmérőt egy 100-fokú lépcsősoron toljuk fel? Minden lépcsőfok 20 cm magas és 30 cm hosszú. (A kerék csúszásmentesen gördül.)

C. 716. Adott a K, L és M pont, továbbá az ezekre nem illeszkedő e egyenes. Legyen N az e egyenes tetszőleges pontja. A KL felezőpontja P, az MN felezőpontja Q, a PQ felezőpontja R. Mi az R pontok mértani helye?

C. 717. Egy tálcán összesen 58 szelet bejgli van, diós és mákos vegyesen. Három dióst ugyanannyiféleképpen lehet kiválasztani közülük, mint két mákost és egy dióst. Hány mákos bejgli van a tálcán?

C. 718. Oldjuk meg a (9-3x)^.3^x-(x-2)(x²-5x+6)=0 egyenletet a valós számok halmazán.

C. 719. Oldjuk meg az

\(\displaystyle \frac{1}{\log_{\frac{1}{2}}x}+ \frac{1}{\log_{\frac{2}{3}}x}+\dots+ \frac{1}{\log_{\frac{9}{10}}x}=1 \)

egyenletet a valós számok halmazán.

Hajdú-Bihar megyei középiskolák matematika versenye 2002/2003

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3632. Oldjuk meg az x²⁰⁰³- [x]²⁰⁰³= (x-[x])²⁰⁰³ egyenletet a valós számok körében.

(3 pont)

B. 3633. Egy konvex négyszöget átlói négy olyan háromszögre darabolnak, melyek mindegyikének egész szám a területe.

Lehet-e ezek közül három szám 2001, 2002 és 2003?

(3 pont)

Hajdú-Bihar megyei középiskolák matematika versenye 2002/2003

B. 3634. Legyen k(n) az n legnagyobb páratlan osztója és

\(\displaystyle f(n)=\sum_{i=1}^nk(i). \)

Bizonyítsuk be, hogy f(2n)-f(n)=n².

(4 pont)

B. 3635. Egy konvex poliédernek c csúcsa van. Mutassuk meg, hogy a poliéder lapjain levő belső szögek összege együttesen (c-2)^.360^o.

(4 pont)

B. 3636. Mi a feltétele annak, hogy létezzék olyan hat szakaszból álló zárt töröttvonal, amelynek oldalai adott sorrendben a, b, c, d, e, f, és a szemközti oldalak merőlegesek egymásra?

(5 pont)

B. 3637. Fel lehet-e venni a kocka minden élén egy-egy pontot úgy, hogy a 12 pont konvex burkának térfogata éppen a kocka térfogatának fele legyen?

(4 pont)

B. 3638. A sík egy \(\displaystyle \ell\) egyeneséről azt mondjuk, hogy érinti a H ponthalmazt, ha H-nak pontosan egy pontja illeszkedik \(\displaystyle \ell\)-re. Adjunk meg a síkon olyan ponthalmazt, melynek minden pontjában pontosan egy érintője van és a sík minden egyenesén van legalább egy pontja.

(5 pont)

B. 3639. Vegyünk fel az AB szakasz A-n túli meghosszabbításán egy C pontot. A C pontban az AB egyenesre állított merőleges legyen e. Legyen D az e tetszőleges pontja és állítsunk AD-re merőlegest az A pontban. Ennek és DB-nek a metszéspontja legyen P.

Mi a P pontok mértani helye?

(4 pont)

Javasolta: Blahota István, Nyíregyháza

B. 3640. Legyen

a₁=1 és \(\displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac{1}{s_n}\),

ahol s_n=a₁+a₂+...+a_n. Korlátos-e az a_n sorozat?

(5 pont)

B. 3641. Van-e olyan p₁(x), p₂(x),...,p_n(x),... végtelen polinomsorozat, ahol p_k(x) pontosan k-adfokú, p_i(p_j(x))= p_j (p_i(x)) minden (i,j) párra és

a) p₂(x)=x²-2,

b) p₂(x)=x²-3?

(5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 317. Az A={igen,nem} halmazon értelmezett f:Aⁿ\(\displaystyle \to\)A függvényt döntési függvénynek mondjuk, ha

(a) mindegyik argumentumát megváltoztatva a függvényérték is megváltozik,

valamint

(b) tetszőlegesen választott argumentuma helyébe a függvényértéket helyettesítve a függvényérték nem változik meg.

Egy h: Aⁿ\(\displaystyle \to\)A függvényt hatalmi függvénynek nevezünk, ha van olyan i index, hogy a függvény értéke mindig az i-edik argumentummal egyezik meg.

Azt az m: A³\(\displaystyle \to\)A függvényt, amelynek értéke mindig az, ami az argumentumok között legalább kétszer fellép, nevezzük demokratikus függvénynek.

Mutassuk meg, hogy minden döntési függvény előállítható hatalmi és demokratikus függvényekből összetett függvényként.

Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny, 2002

A. 318. Legyen n tetszőleges pozitív egész szám.

a) Mutassunk példát olyan n-edfokú p polinomra, amelyre bármely x\(\displaystyle \in\)[0,1/2] esetén

\(\displaystyle \left|p(x)-\frac{1}{1-x}\right|<\frac{4}{\big(1+\sqrt2\,\big)^{2n+2}}. \)

b) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n-edfokú q polinomhoz létezik olyan x\(\displaystyle \in\)[0,1/2] valós szám, amelyre

\(\displaystyle \left|q(x)-\frac{1}{1-x}\right\)\frac{1}{\big(1+\sqrt2\,\big)^{2n+2}}. ">

A. 319. Létezik-e olyan valós számokból álló a₁,a₂,... sorozat, amelyre tetszőleges k pozitív egész esetén a \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^{4k-3}\) sor konvergens, a \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^{4k-1}\) sor pedig divergens?

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2003. május 15.