Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. május

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 720. Egy iskolában a tanév során három kirándulást szerveztek. Az első kiránduláson a résztvevő tanulók 75%-a, a másodikon 60%-a volt fiú. A harmadik kirándulásra pontosan azok a tanulók mentek el, akik legalább az egyik kiránduláson részt vettek. Mutassuk meg, hogy a harmadik kiránduláson sem volt kevesebb fiú, mint lány.

C. 721. A 0-tól különböző a, b, c valós számokra kiszámítjuk az

\(\displaystyle \frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{abc}{|abc|} \)

értéket. Hány különböző eredményt kaphatunk?

C. 722. Tetszőleges x valós számra legyen f(x) a 4x+1, x+2, -2x+4 értékek minimuma. Mennyi f(x) legnagyobb értéke?

C. 723. Egy első generációs robotmanó csak egyenesen tud haladni. Irányváltoztatáshoz le kell állítani, majd a kívánt irányba fordítva újból elindítani. Egy 1 méter széles körfolyosón, amelynek belső kerülete 30 méter, legalább hányszor kell leállítani a robotot ahhoz, hogy a folyosót körbejárva visszaérjen kiindulási pontjába? (A robotmanó kiterjedése elhanyagolható.)

C. 724. Egy egyenes hasáb alapja derékszögű háromszög. A háromszög egyik befogója akkora, mint a hasáb magassága. Másik befogójának és átfogójának hossza együtt 8 cm. Legfeljebb mekkora lehet a hasáb térfogata?

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3642. Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyek mindegyikének a felhasználásával hétjegyű számokat készítünk. Lehet-e ezek között két olyan, hogy egyik a másiknak osztója?

(4 pont)

B. 3643. Osszunk fel egy kockát hat egybevágó tetraéderre.

(3 pont)

B. 3644. Egy szabályos háromszög csúcsai körül olyan köröket rajzolunk, amelyek sem egymást, sem a háromszög szemközti oldalegyenesét nem metszik. Hogyan kell megválasztani az egyes körök sugarát, hogy a három kör együttesen a lehető legnagyobb részét fedje le a háromszögnek?

(4 pont)

B. 3645. Határozzuk meg azokat a 0-tól különböző egészeken értelmezett f valós függvényeket, amelyekre minden lehetséges x és y esetén teljesül, hogy

\(\displaystyle f\left(\frac{x+y}{3}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}. \)

(3 pont)

B. 3646. Egy háromszög egy oldalához ,,hozzáírt háromszög'' csúcsai azok a pontok, amelyekben az adott oldalhoz hozzáírt kör érinti a háromszög oldalegyeneseit. A háromszög oldalai a, b, c. Mennyi az a és a b oldalakhoz ,,hozzáírt háromszögek'' területének aránya?

(4 pont)

Kiss Sándor (Szatmárnémeti) javaslata nyomán

B. 3647. Az ABC háromszög AB oldalának egy belső pontja X, BC egy belső pontja Y. AY és CX metszéspontja Z. Bizonyítsuk be, hogy ha AY=YC és AB=ZC, akkor a B, X, Y, Z pontok egy körön vannak.

(4 pont)

B. 3648. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

2y+x-x²-y² = 0

z-x+y-y(x+z) = 0

-2y+z-y²-z² = 0.

(4 pont)

B. 3649. Legyen a₀=5 és a_n+1=2a_n+1. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számhoz létezik tőle különböző k, hogy a_n|a_k.

(4 pont)

B. 3650. Egy háromszög \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\) szögeire teljesül, hogy

cos 3\(\displaystyle \alpha\)+ cos 3\(\displaystyle \beta\)+ cos 3\(\displaystyle \gamma\)=1.

Bizonyítsuk be, hogy a háromszögnek van 120^o-os szöge.

(5 pont)

B. 3651. A pozitív egész n számot osztatlannak nevezzük, ha abból, hogy 1<k<n és (k,n)=1, következik, hogy k prímszám.

Hány 2-nél nagyobb osztatlan szám van?

(5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 320. A négyzet alakú medencében úszkáló Jerry el szeretne menekülni a parton rá leső Tom elől. Tom nem tud úszni, lassabban fut, mint Jerry, viszont p-szer olyan gyorsan fut, mint ahogy Jerry úszik. A p szám milyen értékei esetén tud Jerry - Tom tetszőleges stratégiája esetén - megmenekülni?

A. 321. Adott 2n-1 irracionális szám. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható közülük n darab, x₁,...,x_n a következő tulajdonsággal: ha a₁,...,a_n tetszőleges nemnegatív racionális számok úgy, hogy nem mindegyik 0, akkor a₁x₁+...+a_nx_n irracionális.

Bolgár versenyfeladat

A. 322. Egy liter 0 fokos ,,hideg'' vizet szeretnénk felmelegíteni minél nagyobb hőmérsékletre egy liter 100 fokos ,,meleg'' víz felhasználásával.

A hideg és a meleg vizet is több, tetszés szerinti részre osztjuk. (A részek nem feltétlenül egyforma mennyiségűek.) Ezután a következő lépést ismételgetjük: kiválasztjuk mind a hideg, mind a meleg víz valamelyik részét, és ezeket úgy helyezzük el, hogy a hőmérsékletük kiegyenlítődjék. Kellő számú lépés után összekeverjük a hideg, illetve a meleg víz összes alkotórészét.

Legfeljebb hány fokosra tudjuk a hideg vizet felmelegíteni?

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2003. június 15.