A 2003. októberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

C. 730. Hány megoldása van az $\displaystyle \left[\frac{x}{10}\right]= \left[\frac{x}{11}\right]+1$ egyenletnek az egész számok körében?

Megoldás. Írjuk fel x-et 11k+r alakban, ahol 0$\displaystyle \le$r$\displaystyle \le$10. Ekkor az eredeti egyenlet

$\displaystyle \left[{11k+r\over10}\right]=\left[{11k+r\over11}\right]+1$

alakban írható. Ebből

$\displaystyle k+\left[{k+r\over10}\right]=k+\left[{r\over11}\right]+1,$

vagyis

$\displaystyle \left[{k+r\over10}\right]=1$

adódik.

Ebből $\displaystyle 1\le{k+r\over10}<2$, 10$\displaystyle \le$k+r$\displaystyle \le$19. Tekintetbe véve, hogy 0$\displaystyle \le$r$\displaystyle \le$10, 110 ilyen számpár létezik.

C. 731. Az ABCD trapéz AB alapjára, mint átmérőre írt kör érinti a CD alapot és felezi az AD és BC szárakat. Mekkorák a trapéz szögei?

XII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

Megoldás. A trapéz szimmetrikus. Jelölje az AB alap középpontját O, CD-ét P; messe a kör az AD szárat E-ben, az OD-t F-ben.

<<\epsfbox>>

E rajta van az AB és a CD egyeneseinek középpárhuzamosán (ez jelenti azt, hogy a kör a szárakat a felezőpontjukban metszi), így az EPO háromszög tengelyesen szimmetrikus, EO=EP. Mivel OE és OP is a kör sugara, így OE=OP, tehát az OEP háromszög egyenlő oldalú, szögei 60^o -osak.

A BAD szög eszerint 75^o -os.

C. 732. Igazoljuk, hogy tetszőleges a és b nemnegatív valós számokra fennáll az $\displaystyle a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}$ egyenlőtlenség.

Megoldás. A feladatbeli kifejezés ekvivalens a $\displaystyle \left(\sqrt a-{1\over2}\right)^2+\left(\sqrt b-{1\over2}\right)^2\ge0$ egyenlőtlenséggel, amely nyilvánvaló.

C. 733. Egy szabályos háromszög oldalait (azonos körüljárás szerint) felosztottuk p:q arányban. Az osztópontok összekötésével kapott háromszög területe az eredeti háromszög területének $\displaystyle \frac{19}{64}$-ed része. Mekkora a p:q arány?

Javasolta: Koncz Levente, Budapest

Megoldás. Feltehető, hogy a háromszög oldalainak hossza 1, és ezeket osztottuk q és p hosszúságú részekre, azaz p+q=1.

A kisebb háromszögön kívül megmaradó három háromszög együttes területe $\displaystyle {p\cdot q\cdot\sin60^{\circ}\over2}\cdot3$, ez a teljes területnek, $\displaystyle (p+q)^2\cdot{\sqrt3\over2}\cdot{1\over2}={\sqrt3\over2}\cdot{1\over2}$-nek a $\displaystyle {45\over64}$ része:

$\displaystyle {p\cdot q\cdot\sin60^{\circ}\over2}\cdot3={45\over64}\cdot{\sqrt3\over2}\cdot{1\over2}.$

Mivel $\displaystyle \sin60^{\circ}={\sqrt3\over2}$, azért

$\displaystyle {p\cdot q}\cdot3={45\over64},$

azaz $\displaystyle pq={15\over64}$. A p+q=1 összefüggésből az egyik érték $\displaystyle {3\over8}$, a másik $\displaystyle {5\over8}$, a p:q arány tehát 3/5 vagy 5/3.

C. 734. Ábrázoljuk a koordinátarendszerben azokat a P(x;y) pontokat, amelyek koordinátáira $\displaystyle \frac{2+y}{x}<\frac{4-x}{y}$.

Megoldás.

x,y$\displaystyle \ne$0

A feladatot két részre bontjuk x és y előjelétől függően:

1. x>0, y>0 vagy x<0, y<0

Az eredeti kifejezés az (x-2)²+(y+1)²<5 egyenlőtlenséggel ekvilvalens. A (2;-1) középpontú, $\displaystyle \sqrt5$ sugarú körnek az I., illetve a III. síknegyedbe eső belső pontjai tartoznak a megoldáshalmazhoz.

2. x<0, y>0 vagy x>0, y<0

Az eredetivel ekvivalens (x-2)²+(y+1)²>5 kifejezés a (2;-1) középpontú $\displaystyle \sqrt5$ sugarú kör külső pontjai, tehát a II. és a IV. síknegyedbe eső, ezen a körön kívül található pontok lesznek megfelelőek. A kör nem metsz bele a II. síknegyedbe (mert átmegy az origón), ott tehát minden pont megoldás.