Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. december

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 740. Határozzuk meg azokat a pozitív egész számokat, amelyek másfélszer akkorák, mint a számjegyeik szorzata.

C. 741. Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldala, a és b, továbbá tudjuk, hogy (a szokásos jelölésekkel) \(\displaystyle \alpha\)=2\(\displaystyle \beta\).

C. 742. Szeretnénk egy kerítés elkorhadt léceit 2,5 méter hosszú szakaszon 3 cm vastag új lécekre kicserélni. Az egyik fa törzse éppen megfelelő magasságú, és belőle egy 30 cm átmérőjű kör alapú egyenes henger használható fel. A kapott léceket szorosan egymás mellett szeretnénk felállítani úgy, hogy a szélesebb oldaluk nézzen befelé.

Elkészíthető-e a kerítés, ha veszteség nélkül tudjuk méretre szabni a fatörzset?

C. 743. Oldjuk meg az \(\displaystyle \log_x\left(2{,}5-\frac{1}{x}\right\)1 "> egyenlőtlenséget.

C. 744. Hányféleképpen helyezhető el a 8x8-as sakktáblán egy 5 egységnyi oldalú négyzet úgy, hogy minden csúcsa egy-egy mező középpontjába essék? (A tükrözéssel és forgatással egymásba vihető megoldásokat nem tekintjük különbözőknek.)

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3682. Két pozitív egész, a és b legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének az összege egyenlő (a+b)-vel. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az a és b számok közül valamelyik osztható a másikkal.

(3 pont)

B. 3683. Melyek azok a szabályos sokszögek, amelyek hézag és átfedés nélkül összerakhatók más, ugyanolyan oldalhosszúságú szabályos sokszögekből?

(4 pont)

XII. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny, 2003

B. 3684. Szerkeszünk háromszöget, ha adott két oldala, a és b, továbbá tudjuk, hogy (a szokásos jelölésekkel) \(\displaystyle \alpha\)=3\(\displaystyle \beta\).

(3 pont)

B. 3685. Egy számítógépes játékban minden egyes játék alkalmával egész pontszámot érhetünk el. A legjobb 30 eredményt számon tartó listán a játék megalkotója egy-egy fantázianév mellett a 30, 29,28,..., 1 pontszámokat tüntette fel. Egy játék során elért eredményünk - saját nevünk alatt - akkor kerül fel a listára, ha pontszámunk nagyobb, mint az aktuális listán szereplő legkisebb pontszám, amely ezután értelemszerűen lekerül a listáról. Egyenlő pontszámok esetén az utoljára felkerült pontszám kerül le a listáról. A besorolás ``alulról'' történik, tehát csak azokat az eredményeket fogjuk megelőzni a listán, amelyeknél nagyobb pontszámot értünk el. Feltéve, hogy minden egyes játék után feljutunk a listára, legalább hány játékot kell lejátszanunk ahhoz, hogy biztosan a mi nevünk szerepeljen a listán valamennyi pontszám mellett?

(4 pont)

B. 3686. Az ABCD tetraéderben az ABD és ACD szögek tompaszögek. Mutassuk meg, hogy ekkor AD>BC.

(3 pont)

B. 3687. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:

\(\displaystyle \root5\of{x^3+2x}=\root3\of{x^5-2x}.\)

(5 pont)

B. 3688. Keressünk olyan egész számot, amelynek a négyzetgyökében a tizedesvessző után közvetlenül a 414213462 számjegysorozat áll.

(4 pont)

Holló Gábor (Budapest) javaslata alapján

B. 3689. Keressük meg az összes olyan x valós számot, amelyre \(\displaystyle \mathop{\rm tg}\left(\frac{\pi}{12}-x\right)\), \(\displaystyle \mathop{\rm tg} \frac{\pi}{12}\) és \(\displaystyle \mathop{\rm tg}\left(\frac{\pi}{12}+x\right)\) (valamilyen sorrendben) egy mértani sorozat három szomszédos tagja.

(4 pont)

B. 3690. Adott az \(\displaystyle \cal E\) ellipszis nagytengelyének két végpontja, az ellipszis e érintője és azon egy P pont. Szerkesszük meg a P-ből \(\displaystyle \cal E\)-hez húzható másik érintőt.

(5 pont)

B. 3691. Legfeljebb milyen nagy lehet egy 3x4x12 méretű téglatest merőleges vetületének a területe?

(5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 332. Az ABCD húrnégyszögben az AC átló felezőpontja E, a BD átló felezőpontja F. Igazoljuk, hogy ha AEB\(\displaystyle \angle\)=AED\(\displaystyle \angle\), akkor BFA\(\displaystyle \angle\)=BFC\(\displaystyle \angle\).

A. 333. Igazoljuk, hogy az n=x_n^.(x_n-1+x_n+x_n+1), n=1,2,..., x₀=0 rekurziónak egyetlen nemnegatív megoldása van.

Schweitzer-verseny, 2003

A. 334. Legyenek p és q rögzített relatív prím pozitív egészek. A nemnegatív egészek egy S részhalmazát ideális részhalmaznak nevezzük, ha a következő két feltétel egyszerre teljesül:

- S tartalmazza a 0-t;

- ha n eleme S-nek, akkor n+p és n+q is eleme S-nek.

Határozzuk meg az ideális részhalmazok számát.

Javasolta: Dobos Sándor (Olimpiai válogatóverseny, 2001)

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2004. január 15.