Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. február

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 750. Egy vonat a menetrend szerint indul ki az állomásról. 8 kilométer megtétele után a mozdonyvezető az órájára néz és látja, hogy az óra- és a percmutató pontosan fedi egymást. Az első 8 kilométeren a vonat 33 kilométeres óránkénti átlagsebességgel haladt. Mikor indult el a vonat az állomásról?

C. 751. Egy deltoid oldalai a és b (a\(\displaystyle \ne\)b). A különböző hosszúságú oldalak derékszöget zárnak be. Mekkora annak a körnek a sugara, amely a deltoid mind a négy oldalának meghosszabbítását érinti?

C. 752. Igazoljuk, hogy ha az a, b, c pozitív számok egy mértani sorozat egymást követő elemei, akkor az a+b+c, \(\displaystyle \sqrt{3(ab+bc+ca)}\) és \(\displaystyle \root3\of{27abc}\) is egy mértani sorozat elemei.

C. 753. Másfél literes ásványvizes palackok övszerűen el vannak keskenyítve, hogy jobban meg lehessen őket fogni. A palack normál kerülete 27,5 cm, a derekánál - ami 1 cm magas hengerpalást - csak 21,6 cm. A különböző kerületű hengerpalástokat az öv felett és alatt egyaránt 2 cm magas csonkakúp palástok kötik össze. Mennyivel magasabbak az ilyen palackok, mint az ugyanolyan űrtartalmú és normál kerületű, öv nélküli társaik?

C. 754. Oldjuk meg a \(\displaystyle \frac{2003x}{2004}=2003^{\log_x2004}\) egyenletet.

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3702. Ketten játsszák a következő játékot. 110 zsetonból felváltva vesznek el legalább egyet és legfeljebb kilencet. A soronkövetkező játékos nem ismételheti meg ellenfele lépését. A játékban az veszít, aki nem tud lépni. Melyik játékosnak van nyerő stratégiája?

(4 pont)

B. 3703. Az a_n sorozat elemeire teljesül, hogy a₁=1337, továbbá, hogy a_2n+1= a_2n=n-a_n minden n pozitív egész számra. Határozzuk meg a₂₀₀₄ értékét.

(3 pont)

B. 3704. Szerkesszünk háromszöget, ha adott a három oldalfelező merőlegesének az egyenese és egyik oldalegyenesének egy pontja.

(4 pont)

B. 3705. Az a és b pozitív egészek relatív prímek, az A=8a+3b és a B=3a+2b számok legnagyobb közös osztója viszont nem 1. Mennyi A és B legnagyobb közös osztója?

(3 pont)

B. 3706. Egy egységnyi élű kocka minden élére egy-egy olyan síkot helyezünk, amely az élre illeszkedő két lap mindegyikével 45^o-os szöget zár be és a kockát nem metszi. Mekkora annak a konvex testnek a térfogata, amelyet ez a 12 sík határol?

(3 pont)

B. 3707. Az ABCD tetraéder élei rendre AB=c, BC=a, CA=b, DA=a₁, DB=b₁, végül DC=c₁. Legyen h a tetraéder D csúcsából induló súlyvonalának a hossza. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle h^2=\frac{1}{3}\big(a_1^2+b_1^2+c_1^2\big)-\frac{1}{9} \big(a^2+b^2+c^2\big). \)

(4 pont)

B. 3708. Adott a P pont, a k kör és a P-n átmenő AB szelő, amelyre PA=AB=1. A P-ből a k-hoz húzott érintők a C és a D pontban érintik a k kört, AB és CD metszéspontja M. Mekkora a PM távolság?

(4 pont)

B. 3709. Tekintsük az ax²+bx+c=0 másodfokú egyenletet, amelynek együtthatóira

2a+3b+6c=0.

Bizonyítsuk be, hogy az egyenletnek van olyan x gyöke, amelyre 0<x<1.

(4 pont)

B. 3710. Az A₁A₂A₃ hegyesszögű, nem egyenlő szárú háromszög A_i csúcsából induló magasságának talppontja T_i. Legyen B_i az A_jA_k és a T_jT_k egyenesek metszéspontja (ahol i, j és k között nincsenek egyenlők). Mutassuk meg, hogy a B₁, B₂, B₃ pontok egy egyenesen vannak.

(5 pont)

B. 3711. Az s₁, s₂,...,s₂₀₀₄ nemnegatív valós számok összege 2, továbbá tudjuk, hogy

s₁s₂+s₂s₃+...+s₂₀₀₃s₂₀₀₄+s₂₀₀₄s₁=1.

Határozzuk meg ezen feltételek mellet az S=s₁²+s₂²+...+s₂₀₀₄² kifejezés lehetséges legkisebb és legnagyobb értékét.

(5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 338. Tetszőleges pozitív egész n számra jelölje f(n) a \(\displaystyle \sqrt{n}\)-hez legközelebb eső egészt. Számítsuk ki a

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{f(n)}+2^{-f(n)}}{2^n} \)

összeg értékét.

A. 339. Egy 28-elemű halmazból 4-elemű részhalmazokat akarunk kiválasztani a következő tulajdonságokkal:

a) Bármelyik két kiválasztott négyesnek legfeljebb két közös eleme legyen;

b) Ha x egy tetszőleges elem és A egy olyan négyes, amely nem tartalmazza x-et, akkor létezzen legalább egy olyan B négyes is, amely az x-et tartalmazza, és A-val pontosan két közös eleme van.

Lehetséges-e ilyen négyeseket kiválasztani?

A. 340. Lehet-e egy egységnyi sugarú kör belsejében fekvő parabolaív hossza 4 egységnél nagyobb?

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2004. március 15.