A számítástechnika-versenyben kitűzött feladatok 2004. október

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Az I pontversenyben kitűzött gyakorlatok

I. 88. Adottak a w₁, w₂, ..., w_n vektorok. Az n mélységű bináris fa gyökerétől elmegyünk valamelyik leveléhez. Ha a k-adik elágazásnál balra megyünk, kiválasztjuk a w_k vektort, ha jobbra, akkor nem. A levélhez érve összeadjuk a kiválasztott vektorokat.

Készítsünk programot (i88.pas, ...), amely megadott n természetes szám és megadott w₁, w₂, ..., w_n vektorok esetén egy közös ábrán megjeleníti az n mélységű bináris fa egyes leveleihez tartozó összegvektorok végpontjait.

A w₁, w₂, ..., w_n vektorokat polárkoordinátás alakban adjuk meg:

\(\displaystyle \mathbf{w}_{k}=\left[\big(1/\sqrt{2}\,\big)^{k};k\cdot\frac{3\pi}{4}\right], \)

és tudjuk, hogy a w=[r,\(\displaystyle \alpha\)] vektor Descartes koordinátái w=(r^.cos \(\displaystyle \alpha\); r^.sin \(\displaystyle \alpha\)). Az ábrát érdemes elkészíteni n=4,..., 15 esetére.

(10 pont)

I. 89. Figyeljük meg: 5 első néhány hatványa felírható négyzetszámok összegeként: 5¹=5=1+4=1²+2², 5²=25=9+16=3²+4², 5³=125=100+25= 10²+5².

a) Program vagy táblázatkezelő segítségével keressük meg az egész számok körében (k=2,..., 9, n=1,..., 10) rögzített k és n esetén a kⁿ=x²+y² egyenlet összes megoldásainak számát.

b) Az eredmények alapján keressünk képletet a megoldások számára.

c) Készítsünk olyan programot, amely ellenőrzi a sejtés helyességét akár n=15, 30, 50, vagy pl. 100 esetén.

Beküldendő a program, ill. a számolótábla (i89.pas, i89.xls, ...).

(Az a) és b) pontokra, korrekt sejtés esetén 10 pont, a c) pontra a program kialakításától és annak indoklásától függően további 10 pont adható.)

I. 90. Adott a síkon néhány pont a koordinátáival.

Készítsünk táblázatot, amelynek első három oszlopába beírhatjuk a pontok nevét (pl.: P, Q, A, B, C, M_a), x és y koordinátáját, és erre a hatodik sor 7., 8., 9. és 10. mezőjében megjelenik a megadott pontok közül az origótól legtávolabbi neve, x és y koordinátája, valamint az origótól mért távolsága.

Beküldendő a táblázat (i90.xls).

(10 pont)

Az I-jelű feladatok megoldásai a következő címre küldendők:

Az S pontversenyben kitűzött feladat

S. 3. Alexandra és Bendegúz a következő játékot játsszák: felváltva mondanak szavakat úgy, hogy a következő szónak mindig azzal a betűvel kell kezdődnie, mint amivel az előző végződött. (A kettős betűket az egyszerűség kedvéért tekintsük két különálló betűnek.) A játék elején megállapodnak, hogy milyen szavakat engednek meg (pl. városok, állatok stb.). Nem lehet olyan szót mondani, amely egyszer már elhangzott; ha valaki nem tud új szót mondani, veszít.

Írjunk programot, ami segít a kezdő játékosnak: megmondja, hogy milyen szavak választása esetén van nyerő stratégiája. A program bemenete a megengedett szavak listája. Az első sorban a szavak száma - legfeljebb 20 - áll, ezután minden sorban egy-egy szó. A kimenet hasonlóképpen épüljön fel: a program az első sorban írja ki, hogy hány nyerő szó van, utána pedig sorolja fel ezeket. Ha nincs nyerő szó, akkor az első sorba írjon 0-t.

Példa:

(10 pont)

Az S-jelű feladatok megoldásai a következő címre küldendők:

A beküldési határidő: 2004. november 15.