A 2004. decemberi K-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

K. 19. Vegyünk egy kétjegyű számot, szorozzuk össze a számjegyeit, majd a kapott számmal ezt addig ismételjük, míg egy egyjegyű számot kapunk. Hány olyan kétjegyű szám van, amelynél a végén kapott egyjegyű szám 0?

Megoldás. Ha egy lépésben meg akarjuk kapni a 0-t, akkor a kétjegyű számnak tartalmaznia kell a 0 számjegyet, tehát 0-ra kell végződnie. Ha két lépésben akarjuk megkapni a 0-t, akkor az első lépés után olyan számot kell kapnunk, amely 0-ra végződik. Ha három lépésben akarjuk megkapni a 0-t, akkor az első lépésben olyan számot kell kapnunk, amelyből két lépéssel kapjuk meg a 0–t, és így tovább. Ennek alapján az alábbi láncokat lehet felállítani:

Mivel az alsó sorban szereplő számok egyike sem áll elő két számjegy szorzataként, ezért olyan számot már nem találunk, amelyből négy vagy több lépésben kapjuk meg a 0-t. Ennek megfelelően összesen 24 db, a feltételeknek megfelelő kétjegyű szám létezik.

K. 20. Ököritófülpös-felső vasútállomásán minden évben állítanak karácsonyfát. Az állomásfőnöknek van hét különböző színű karácsonyfa-lámpácskája, amelyek egymástól függetlenül kapcsolhatók fel és le; szépérzéke azonban nem engedi, hogy a rózsaszín és a lila lámpácska egyszerre legyen a fán. Az állomásfőnök december 7-én felhelyez néhány lámpát a fára. Hányféleképpen választhatja ki őket, ha azt akarja, hogy a felhelyezett lámpák január 6-ig minden nap más kombinációban világítsanak a fán a megadott feltétel szerint?

Megoldás. December 7-től január 6-ig a két szélső időpontot is beleértve 31 nap van. Úgy kell tehát kiválasztani a lámpákat, hogy azok legalább 31-féle kombinációban tudjanak világítani. Minden lámpa vagy ég, vagy nem ég, ennek megfelelően egy lámpa esetén 2 lehetőség van a kivilágításra, két lámpa esetén 2^.2, három lámpa esetén 2^.2^.2, stb. Ebből látszik, hogy legalább öt lámpát ki kell választani a hétből ahhoz, hogy a feltételek teljesüljenek. Öt lámpa választása esetén három lehetőségünk van: vagy a rózsaszínt hagytuk ki, vagy a lilát, vagy mindkettőt. Mindkettőt kihagyva 1 lehetőséget kapunk; ha a rózsaszínt kihagyjuk és a lilát nem, akkor a másik kihagyott 5-féle lehet, ez 5 lehetőség a lámpák kiválasztására; hasonlóan 5-féleképpen tehetjük meg, hogy kihagyjuk a lilát, s a rózsaszínt pedig nem. Ez összesen 11 lehetőség. Ha 6 lámpát választunk ki, akkor két lehetőséget kapunk: egyszer a lilát, egyszer a rózsaszínt hagyjuk ki. Mind a hét pedig nem szerepelhet együtt a fán. Tehát összesen 13-féleképpen lehet kiválasztani a lámpákat megfelelő módon.

K. 21. 19 darab szabályos dobókockát egy olyan alakzattá ragasztunk össze, melyet egy 3x3x3-as kocka sarokkockáinak elhagyásával kaphatunk meg. Úgy ragasztottuk össze a dobókockákat, hogy a kapott testen kívülről a lehető legkevesebb pötty legyen látható. Mennyi pöttyöt számolhatunk össze ekkor? (A szabályos dobókocka bármely két szemközti lapján összesen 7 pötty van.)

Megoldás.

Az ábrán látható az elkészített alakzat vázlatos rajza. Látható, hogy lényegében két típusú kockából épül fel (a középső, láthatatlan kockát nem számolva): 6 db olyanból, melynek 1-1 oldala látszik, és 12 db olyanból, melynek 4-4 oldala látszik. Az utóbbiaknál két szemközti oldal van a 4 között, melyen a pöttyök összege mindenképpen 7, így a további két, szomszédos, látható oldalon kell a lehető legkevesebb pöttynek, azaz 1-nek és 2-nek látszania. Tehát ezeken a kockákon darabonként legkevesebb 7 + 1 + 2 = 10 pötty látható. Az 1 oldalas kockákon legkevesebb 1 pötty látszik, így a lehető legkevesebb látható pöttyök összes száma 12^.10+6^.1=126.

K. 22. Egy négyzetes oszlopnak van 49 cm² és 84 cm² területű lapja. Mekkora a térfogata?

Megoldás. Mivel egy négyzetes oszlopot legfeljebb kétféle téglalap határol, ezért két eset van: A) A négyzetes oszlop alaplapja – ami négyzet – 49 cm² területű. Ebben az esetben az alapél hossza 7 cm. A térfogatot kiszámolhatjuk az oldallap és a hozzá tartozó magasság (vagyis az alapél) szorzataként: 84^.7 = 588 cm³. B) A négyzetes oszlop alaplapja – ami négyzet – 84 cm² területű. Ebben az esetben az alapél hossza cm. A térfogatot kiszámolhatjuk az oldallap és a hozzá tartozó magasság (vagyis az alapél) szorzataként: cm³.

K. 23. A táblázat az ezévi naptár decemberi lapját mutatja.

A táblázatban valamely 3x3-as négyzetcsoportban álló számok összege 160. Mennyi ezen számok közül a legkisebb?

Megoldás. Ha egy olyan 3x3-as négyzetcsoportot nézünk, melyek mindegyikében van szám, akkor az alábbi sémát láthatjuk:

Ezen számok összege 9a, vagyis a középső szám 9-szerese. 160 azonban nem osztható 9-cel, tehát csak azok a 3x3-as négyzetcsoportok lehetnek megfelelők, melyekben nincs minden négyzetben szám. Azok a csoportok eleve kiesnek, melyek a napok neveinek celláit tartalmazzák, mert a mellettük levő többi szám összege 100 alatt van. A napok celláit nem tartalmazó, de számokkal nem teljesen kitöltött 3x3-as négyzetcsoportból 4 van (kettő a felső számsortól indul, kettő pedig az alsó számsorban végződik), és az összeg bennük 64, 72, 184 illetve 160. Ez utóbbi az általunk keresett összeg. Ez az összeg abból a négyzetcsoportból származik, melynek bal felső sarkában 17 áll, tehát a keresett szám a 17.

K. 24. Két, henger alakú, egyforma magasságú tartály áll egymás mellett. Az egyik 4 m átmérőjű, és 12,5 m magasan áll benne a víz. A másik 3 m átmérőjű és üres. Az első tartályból a másodikba szivattyúzzuk át a vizet egy 10 m³/perc teljesítményű szivattyúval. Hány perc múlva lesz egyforma magasan a két tartályban a víz?

Megoldás. Tekintsük azt a helyzetet, amikor mindkét tartályban egyforma magasságban áll a víz, legyen ekkor a víz magassága x méter. Az első tartályból hiányzó, 12,5 – x méter magasságú vízoszlop került át a második tartályba, tehát 2^2..(12,5-x)=1,5^2..x. Innen x = 8 méter. Az átkerült folyadék térfogata közelítőleg 56,6 m³, amit 5,66 perc, vagyis 5 perc 40 másodperc alatt szivattyúzunk át.