Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2004. december

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A K pontversenyben kitűzött gyakorlatok A K-jelű feladatokat csak 9-edik osztályosok küldhetik be. Minden K-jelű feladat helyes megoldásáért 6 pont jár.

K. 19. Vegyünk egy kétjegyű számot, szorozzuk össze a számjegyeit, majd a kapott számmal ezt addig ismételjük, míg egy egyjegyű számot kapunk. Hány olyan kétjegyű szám van, amelynél a végén kapott egyjegyű szám 0?

K. 20. Ököritófülpös-felső vasútállomásán minden évben állítanak karácsonyfát. Az állomásfőnöknek van hét különböző színű karácsonyfa-lámpácskája, amelyek egymástól függetlenül kapcsolhatók fel és le; szépérzéke azonban nem engedi, hogy a rózsaszín és a lila lámpácska egyszerre legyen a fán. Az állomásfőnök december 7-én felhelyez néhány lámpát a fára. Hányféleképpen választhatja ki őket, ha azt akarja, hogy a felhelyezett lámpák január 6-ig minden nap más kombinációban világítsanak a fán a megadott feltétel szerint?

K. 21. 19 darab szabályos dobókockát egy olyan alakzattá ragasztunk össze, melyet egy 3x3x3-as kocka sarokkockáinak elhagyásával kaphatunk meg. Úgy ragasztottuk össze a dobókockákat, hogy a kapott testen kívülről a lehető legkevesebb pötty legyen látható. Mennyi pöttyöt számolhatunk össze ekkor? (A szabályos dobókocka bármely két szemközti lapján összesen 7 pötty van.)

K. 22. Egy négyzetes oszlopnak van 49 cm² és 84 cm² területű lapja. Mekkora a térfogata?

K. 23. A táblázat az ezévi naptár decemberi lapját mutatja.

A táblázatban valamely 3x3-as négyzetcsoportban álló számok összege 160. Mennyi ezen számok közül a legkisebb?

K. 24. Két, henger alakú, egyforma magasságú tartály áll egymás mellett. Az egyik 4 m átmérőjű, és 12,5 m magasan áll benne a víz. A másik 3 m átmérőjű és üres. Az első tartályból a másodikba szivattyúzzuk át a vizet egy 10 m³/perc teljesítményű szivattyúval. Hány perc múlva lesz egyforma magasan a két tartályban a víz?

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 785. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik oszható 111-gyel és az utolsó négy jegye 2004?

C. 786. Rögzíteni szeretnénk a függönyt a karnisra. Az egyenlő távolságokat akkor tudjuk egyszerűen biztosítani, ha a két szélső csipesz odacsíptetése után a maradékban van középső, sőt azt is megköveteljük, hogy ez minden további kettéosztásnál, a középső csipesz rögzítése után is teljesüljön. Hány csipeszt tehetünk a karnisra, ha így szeretnénk rögzíteni a függönyt?

Javasolta: Zentai Gábor - Kiss Géza, Budapest

C. 787. Igazoljuk, hogy ha x és y pozitív számok, akkor

\(\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{xy}}\le\frac{x}{y}+\frac{y}{x}. \)

C. 788. Ábrázoljuk az

x⁵-10x³y²+5xy⁴=0

egyenlet megoldáshalmazát a derékszögű koordinátarendszerben.

Javasolta: Hraskó András, Budapest

C. 789. Vízszintes síkra helyeztünk 8 darab r sugarú golyót úgy, hogy középpontjaik egy szabályos 8-szög csúcsaiban vannak, a szomszédos golyók pedig érintik egymást. Mekkora annak a gömbnek a sugara, amelyik érinti a síkot és a golyókat?

Javasolta: Németh László, Fonyód

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3772. Hány olyan (n;k) számpár van, amelyre n>k, továbbá az n és k oldalú szabályos sokszögek belső szögének az eltérése 1^o?

(4 pont)

B. 3773. Osztható-e

20²⁰⁰⁴+16²⁰⁰⁴-3²⁰⁰⁴-1

323-mal?

(3 pont)

B. 3774. Az egyenlő szárú derékszögű ABC háromszög AB átfogóján adottak a K és az M pontok. K az A és az M között van, továbbá KCM\(\displaystyle \angle\)=45^o. Bizonyítsuk be, hogy AK²+MB²=KM².

(3 pont)

B. 3775. Oldjuk meg az

y³=x³+8x²-6x+8

egyenletet a nemnegatív egészek körében.

(4 pont)

B. 3776. Az ABCD húrnégyszög BD átlója egyben a körülírt kör átmérője. Az ABC háromszög oldalainak a hossza legalább 1. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög területe nagyobb, mint \(\displaystyle \frac{1}{2}\) területegység.

(4 pont)

Klein Eszter és Terry Tao (Sidney, Ausztrália)

B. 3777. Az ABC egyenlő szárú háromszög szárszöge BAC\(\displaystyle \angle\)=\(\displaystyle \alpha\). A BC alapot B-től C felé haladva n egyenlő részre osztó pontok D₁, D₂,..., D_n-1. Az AB szárat 1:(n-1) arányban osztó pont E. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle AD_1E\sphericalangle+AD_2E\sphericalangle+\dots+AD_{n-1}E\sphericalangle= \frac{\alpha}{2}. \)

(4 pont)

B. 3778. Az ABCD konvex négyszög átlói az E pontban metszik egymást. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \big|t(ABE\triangle)-t(CDE\triangle)\big|\le\frac{1}{2}AD\cdot BC. \)

(4 pont)

B. 3779. Tekintsük azokat a síkokat, amelyek a 2 egység élű kocka egy-egy csúcsából kiinduló élek felezőpontján mennek át. Mekkora a síkok által határolt konvex test térfogata?

(3 pont)

B. 3780. Igazoljuk, hogy az x, y, z pozitív számokra teljesül az alábbi egyenlőtlenség:

\(\displaystyle \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\le\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}. \)

(5 pont)

Elemente der Mathematik, Basel

B. 3781. Határozzuk meg a \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\mathop{\rm arcctg}\,(2n^2)\) összeg értékét.

(5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 359. Az \(\displaystyle f\colon R\to R\) monoton függvényre és c₁, c₂>0 konstansokra teljesül, hogy

f(x)+f(y)-c₁\(\displaystyle \le\)f(x+y) \(\displaystyle \le\)f(x)+f(y)+c₂

minden x, y valós számra. Mutassuk meg, hogy létezik olyan k szám, melyre f(x)-kx korlátos függvény.

A. 360. 50 szenátor szavaz három alternatív javaslatról, mindegyikük pontosan az egyikre szavaz. El kell készíteni a ,,forgatókönyvet'', azaz megmondani, hogy a szavazás alapján melyik alternatíva győz. Ehhez egy 51 soros és 3⁵⁰ oszlopos táblázatot készítünk, az első ötven sorban a szenátorok lehetséges szavazataival, az utolsó sorban pedig a szavazatok ilyen alakulása mellett a nyertes alternatívával. A táblázatnak a következő tulajdonságokkal kell rendelkeznie: