Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2005. január
Kérjük, olvassa el a versenykiírást.
![]() |
A K pontversenyben kitűzött gyakorlatokA K-jelű feladatokat csak 9-edik osztályosok küldhetik be. Minden K-jelű feladat helyes megoldásáért 6 pont jár. |
K. 25. Az ábrán egy városrész térképvázlata látható. A körök az utcasarkokat (kereszteződéseket), a vonalak az őket összekötő útszakaszokat jelzik. Minden útszakasznál feltüntettük, hogy gyalog hány perc alatt tehetők meg. Mennyi a lehetséges legkisebb időtartam, amely ahhoz szükséges, hogy eljussunk A pontból B pontba, feltéve, hogy az ábrán mindig csak jobbra vagy felfelé haladunk?
K. 26. Sanyi és apja beszélgetnek:
- Fiam, hány oldalas a könyv, amit el kell olvasnod?
- 1000-nél kevesebb.
- Elkezdted már?
- Igen, vasárnap már túl is jutottam a százötvenedik oldalon.
- És ma mennyit haladtál?
- Nagyon sokat! A ma olvasott oldalak sorszámának 2761 az összege.
A beszélgetés napján hányadik oldalon kezdte az olvasást, és hány oldalt olvasott Sanyi?
K. 27. Van-e olyan legalább kétjegyű négyzetszám, amelyik különböző számjegyekből áll, és igaz rá, hogy számjegyeit bármilyen sorrendben írjuk le, a kapott szám is négyzetszám?
Halász Tamás (Budapest) javaslata alapján
K. 28. Adjuk meg az összes olyan p prímszámot, amelyre 2p2 +13 is prímszám.
K. 29. Bizonyítsuk be, hogy ha a 121 szám jegyei közé mindkét helyen ugyanannyi nullát írunk (pl. 10 201, 1 002 001 stb.), akkor mindig egy egész szám négyzetét kapjuk.
K. 30. Igazoljuk, hogy egy tetszőleges konvex négyszög átlóinak összege nagyobb, mint a kerületének a fele, de kisebb, mint a kerülete.
![]() |
A C pontversenyben kitűzött gyakorlatokMinden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár. |
C. 790. Egy konkáv négyszög oldalainak felezőpontjait összekötöttük az ábrán látható módon. Hogyan aránylik az így kapott négyszög területe az eredeti négyszög területéhez?
C. 791. Egy 9-szer 9-es táblázat mezőibe 460-tól 540-ig beírtuk egymás után az egész számokat a bal felső sarokból indulva, soronként balról jobbra haladva. Elhelyezhető-e ezen a táblán egy négy négyzetből álló, L betűt formázó kartonlap úgy, hogy 4 olyan számot fedjen le, amelyek összege 2005?
C. 792. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget:
√x2+x+x<12.
C. 793. Mennyi
4010√12(19+6√10)⋅2005√3√2−2√5
pontos értéke?
C. 794. Egy gömb két párhuzamos síkmetszetének területe 9π és 16π. A síkok távolsága egységnyi. Mekkora a gömb felszíne?
![]() |
A B pontversenyben kitűzött feladatokA B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe. |
B. 3782. Az A=¯xyzu és a B=¯uzyx tízes számrendszerben felírt négyjegyű számok szorzatának utolsó három számjegye 0. Keressük meg az összes ilyen tulajdonságú A, B számpárt.
(3 pont)
B. 3783. Az ABCDE konvex ötszögben ABC∠= CDE∠= 90o, BC=CD=AE=1, AB + ED = 1. Mekkora az ötszög területe?
(3 pont)
B. 3784. Igazoljuk, hogy ha a, b, c pozitív számok, akkor
6a+4b+5c≥5√ab+7√ac+3√bc.
(3 pont)
B. 3785. Egy számot szerencsésnek nevezünk, ha előáll olyan pozitív egészek összegeként, amelyek reciprokösszege 1. A 11 = 2 + 3 + 6 és a 4 = 2 + 2 például szerencsés számok, hiszen
12+13+16=12+12=1.
Szerencsés szám-e a 2005?
(4 pont)
B. 3786. Adott 200 darab különböző valós szám. A számokat két csoportra osztjuk és mindkét csoportban nagyság szerint növekvően rendezzük az elemeket. Így kapjuk az a1<a2<...<a100 és a b1<b2<...<b100 sorozatokat. Ugyanezekből a számokból két újabb rendezett százas csoportot készítve az a1'<a2'< ...<a100' és a b1'<b2'<...<b100' sorozatokat kapjuk.
Bizonyítsuk be, hogy
|a1-a1'|+|a2-a2'|+...+|a100-a100'|=|b1-b1'|+|b2-b2'|+...+|b100-b100'|.
(5 pont)
B. 3787. Az ABC háromszög belső pontja K, az AK, BK, CK egyenesek az A1, B1, C1 pontokban metszik a szemközti oldalakat. Bizonyítsuk be, hogy
AKKA1+BKKB1+CKKC1≥6.
(4 pont)
B. 3788. Adott az ABC háromszög. Mi azon P pontok mértani helye a háromszög belsejében, amelyeknek az AB oldal egyenesétől mért távolsága számtani közepe a BC és a CA oldalak egyenesétől mért távolságának?
(4 pont)
B. 3789. Hány olyan sík van, amely egy kockának legalább három élfelező pontján átmegy?
(4 pont)
B. 3790. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x2−4√3x−2+10=2y,
y2−6√4y−3+11=x.
(5 pont)
Javasolta: Lorántfy László, Dabas
B. 3791. A hegyesszögű ABC háromszög belsejében levő P pontra igaz, hogy APB∠=BPC∠= CPA∠. A BP és CP egyenesek az AC és AB oldalakat rendre D-ben és E-ben metszik. Mutassuk meg, hogy AB+AC≥4DE.
(5 pont)
Olimpiai válogatóverseny feladata
![]() |
Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatokMinden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár. |
A. 362. Az x1, x2,..., xn valós számokról tudjuk, hogy
n∑i=1xi≥nésn∑i=1x2i≥n2,
ahol n≥3. Mutassuk meg, hogy max (x1, x2,..., xn)≥2.
A. 363. Ki lehet-e rakni a 2005 oldalú kockát 2, 3 és 7 oldalú kockák felhasználásával?
Javasolta: Egri Attila, Hajdúszoboszló
A. 364. Adott a 25!-nak 19 osztója. Bizonyítsuk be, hogy található közöttük néhány úgy, hogy a szorzatuk köbszám.
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:
- KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32. 1518
- megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő
beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)
A beküldési határidő:
A K-jelű feladatoknál 2005. február 10.,
Az A-, B- és C-jelű feladatoknál 2005. február 15., kivéve a C.792., C.793. és B.3785. feladatokat, ezek határideje egy hónappal csúszik.