A 2005. februári C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

C. 795. Bizonyítsuk be, hogy ha a 10-es számrendszerben felírt $\displaystyle \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}$ szám osztható 7-tel, akkor $\displaystyle \overline{a_6a_1a_2a_3a_4a_5}$ is osztható 7-tel.

Megoldás. Legyen $\displaystyle A=\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$. A feltétel szerint 7|10A+a₆. Emiatt 7|20A+2a₆. Másrészt 7|21 és 7|10⁵+2, és így 7|21A+(10⁵+2)a₆. Ekkor viszont a két szám különbsége, $\displaystyle (21A+(10^5+2)a_6)-(20A+2a_6)=A+10^5a_6=\overline{a_6a_1a_2a_3a_4a_5}$ is osztható 7-tel.

C. 796. Egy derékszögű háromszög beírható körének sugara az átfogóhoz tartozó magasság 0,45-szorosa. Mekkorák a háromszög hegyesszögei?

Megoldás. Legyen a két befogó a és b, az átfogó c, az átfogóhoz tartozó magasság m, a beírt kör sugara pedig $\displaystyle \varrho$. Tudjuk, hogy 2T=ab=mc=$\displaystyle \varrho$(a+b+c). A $\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2}$ képletet felhasználva az ab=mc egyenlőségből $\displaystyle m={ab\over\sqrt{a^2+b^2}}$ adódik. Mivel most $\displaystyle \varrho$=0,45m, ezért az ab=$\displaystyle \varrho$(a+b+c) egyenlőség a következőképpen írható:

$\displaystyle ab=0,45\cdot{ab\over\sqrt{a^2+b^2}}(a+b+\sqrt{a^2+b^2})$

$\displaystyle 1=0,45\left({a+b\over\sqrt{a^2+b^2}}+1\right)$

$\displaystyle {0,55\over0,45}={a+b\over\sqrt{a^2+b^2}}$

$\displaystyle {0,55\over0,45}={1+b/a\over\sqrt{1+(b/a)^2}}$

Ez b/a-ra másodfokú egyenletet ad, amiből b/a=3,7859 vagy ennek a reciproka. Ha a két befogó által bezárt szög $\displaystyle \alpha$, akkor tan $\displaystyle \alpha$=3,7859-ből $\displaystyle \alpha$=75,2^o.

C. 797. Egy négyzet alakú étkezőasztal lábainak hossza valamilyen körüljárás szerinti sorrendben 70 cm, 71 cm, 72,5 cm és 72 cm. Billeg-e az asztal, vagyis van-e két olyan asztalláb, amely soha nem támaszkodik egyszerre a padló síkjára?

Megoldás. Ha a 70 cm hosszú láb 70,5 cm hosszú lenne, akkor az asztal lábainak vége egy síkra illeszkedne. (72,5-72=71-70,5, vagyis a két-két szomszédos lábvéget összekötő szakasz párhuzamos lenne egymással.) Így viszont nincsenek egy síkban, az asztal billeg.

C. 798. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

3^.4^x+(3x-10)2^x+3-x=0.

Megoldás. Ez 2^x-re másodfokú egyenlet:

$\displaystyle 2^x={10-3x\pm\sqrt{9x^2+100-60x+12x-36}\over6}={10-3x\pm(3x-8)\over6}.$

Ebből 2^x=1/3, vagyis $\displaystyle x=\log_2{1\over3}$, vagy 2^x=3-x. Ez utóbbi mindkét oldalán álló függvényt ábrázolva a függvények grafikonjai csak egy pontban metszik egymást, méghozzá x=1 esetén. Tehát a két megoldás: $\displaystyle x_1=\log_2{1\over3}$, x₂=1.

C. 799. Egy tetraéder minden csúcsában ül egy-egy hangya. Egy adott pillanatban mindegyikük elindul egy véletlenszerűen kiválasztott élen, és átmászik rajta a szomszédos csúcsba. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két hangya találkozik útközben vagy az út végén?

Megoldás. Egyszerűbb azt kiszámolni, hogy mi a valószínűsége annak, hogy nem találkoznak sem útközben, sem a csúcsokban. Jelölje a tetraéder csúcsait A, B, C és D. Az A csúcsból induló hangya háromfelé mehet. Ha a B csúcsba megy, akkor az onnan induló hangya a C vagy a D csúcsba mehet, és a többi hangya útiránya már egyértelmű. Tehát 3^.2=6 lehetőség van arra, hogy a hangyák ne találkozzanak egymással. Az összes útvonal-lehetőség 3⁴=81, így a keresett valószínűség $\displaystyle 1-{6\over81}={75\over81}\sim0,9259.$