 |
Az A. 493. feladat (2009. november) |
A. 493. Bizonyítsuk be, hogy
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n\ \sum_{j=1}^n \frac{a_ia_j}{{(p_i+p_j)}^c}\ge 0 \)
teljesül tetszőleges valós \(\displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_n\), és pozitív \(\displaystyle c,p_1,p_2,\ldots,p_n\) számok esetén.
(5 pont)
A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az A. 447. feladat (KöMaL, 2008. február) megoldását fogjuk általánosítani. (A megoldás a \(\displaystyle c=1\) esetre a KöMaL Ankéton is elhangzott, Páles Zsolt előadásában.) A baloldalon álló összeget egy mindenhol nemnegatív kifejezés integráljaként fogjuk felírni.
Jelöljük az \(\displaystyle \int_0^1 \left(\log\frac1u\right)^{c-1} \, \mathrm{d}u\) integrál értékét \(\displaystyle \Gamma(c)\)-vel. (A jelölés hátterével kapcsolatban lásd a Megyjegyzést.) Először megmutatjuk, hogy \(\displaystyle c>0\) esetén az integrál értéke véges, pozitív szám. Mivel az integrandus minden pontban pozitív, elég egy alkalmas — véges — felső becslést találnunk.
Felhasználjuk azt a jól ismert, de például az \(\displaystyle e^x\ge 1+x\) egyenlőtlenségből közvetlenül is levezhető tényt, hogy tetszőleges \(\displaystyle 0<u<1\) és \(\displaystyle \varepsilon>0\) esetén
\(\displaystyle 1-u < \log\frac1u < \frac1{\varepsilon u^\varepsilon}. \)
Tehát, ha \(\displaystyle 0<c\le1\), akkor a \(\displaystyle (c-1)\) kitevő nempozitív, és
\(\displaystyle \Gamma(c) = \int_0^1 \left(\log\frac1u\right)^{c-1} \, \mathrm{d}u \le \int_0^1 (1-u)^{c-1} \, \mathrm{d}u = \frac1c \, < \infty. \)
Ha pedig \(\displaystyle c>1\), akkor az \(\displaystyle \varepsilon=\frac1{2(c-1)}\) választással
\(\displaystyle \Gamma(c) = \int_0^1 \left(\log\frac1u\right)^{c-1} \, \mathrm{d}u < \int_0^1 \left(\frac1{\varepsilon u^\varepsilon}\right)^{c-1} \, \mathrm{d}u = \frac1{\big(2(c-1)\big)^{c-1}} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{u}} = 2^c\cdot(c-1)^{c-1} < \infty. \)
Ezzel igazoltuk, hogy \(\displaystyle \Gamma(c)\) valóban véges pozitív szám.
A megoldás kulcsa az az észrevétel, hogy tetszőleges \(\displaystyle p>0\) esetén \(\displaystyle \frac1{p^c}\) felírható \(\displaystyle \int x^p \varphi_c(x)\mathrm{d}x\) alakban, ahol \(\displaystyle \varphi_c\) egy alkalmas, nemnegatív értékű függvény. A \(\displaystyle t=u^{1/p}\) helyettesítéssel ugyanis
\(\displaystyle \int_0^1 t^{p-1} \left(\log\frac1t\right)^{c-1} \,\mathrm{d}t = \int_0^1 u^{1-1/p} \left(\log\frac1{u^{1/p}}\right)^{c-1} \, \frac{u^{1/p-1}}{p}\mathrm{d}u = \)
\(\displaystyle = \frac1p \int_0^1 \left(\frac1p\log\frac1u\right)^{c-1} \, \mathrm{d}u = \frac1{p^c} \int_0^1 \left(\log\frac1u\right)^{c-1} \, \mathrm{d}u = \frac{\Gamma(c)}{p^c} . \)
Ezek után a feladat egy lehetséges megoldása:
\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{a_ia_j}{(p_i+p_j)^c} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ia_j \cdot \frac1{\Gamma(c)} \int_0^1 t^{p_i+p_j-1} \left(\log\frac1t\right)^{c-1} \,\mathrm{d}t = \)
\(\displaystyle = \frac1{\Gamma(c)} \int_0^1 \left( \sum_{i=1}^n a_i t^{p_i}\right) \left( \sum_{j=1}^n a_j t^{p_j}\right) \frac{\left(\log\frac1t\right)^{c-1}}{t} \,\mathrm{d}t = \frac1{\Gamma(c)} \int_0^1 \left( \sum_{i=1}^n a_i t^{p_i}\right)^2 \frac{\left(\log\frac1t\right)^{c-1}}{t} \,\mathrm{d}t \ge 0. \)
Megjegyzés. A megoldáshoz nem volt rá szükség, de aki tanulmányai során már találkozott vele, felismerhette, hogy a fentiekben az Euler-féle \(\displaystyle \Gamma\)-függvény bukkant fel. A függvényt sok más formában is felírhatjuk, például az \(\displaystyle u=e^{-x}\) helyettesítéssel \(\displaystyle \displaystyle\Gamma(c) =\int_0^\infty x^{c-1}e^{-x}\mathrm{d}x\). A megoldás a \(\displaystyle \Gamma\)-függvénynek ezzel az alakjával:
\(\displaystyle 0 \le \int_0^\infty \left( \sum_{i=1}^n a_i e^{-p_it} \right)^2 t^{c-1} \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty \left( \sum_{i=1}^n a_i e^{-p_it} \right) \left( \sum_{j=1}^n a_j e^{-p_jt} \right) t^{c-1} \,\mathrm{d}t = \)
\(\displaystyle = \int_0^\infty \left( \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ia_j e^{-(p_i+p_j)t} \right) t^{c-1} \,\mathrm{d}t = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ia_j \int_0^\infty t^{c-1} e^{-(p_i+p_j)t} \,\mathrm{d}t = \)
\(\displaystyle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{a_ia_j}{(p_i+p_j)^c} \int_0^\infty \big((p_i+p_j)t\big)^{c-1} e^{-(p_i+p_j)t} (p_i+p_j)\,\mathrm{d}t = \)
\(\displaystyle = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{a_ia_j}{(p_i+p_j)^c} \int_0^\infty u^{c-1} e^{-u} \,\mathrm{d}u = \Gamma(c) \cdot \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{a_ia_j}{(p_i+p_j)^c}. \)
Statisztika:
4 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Nagy 235 János. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai