Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Kiss György

Amit jó tudni a háromszögekről

A lapunkban megjelenő feladatok mintamegoldásainak írása közben sokszor jelent problémát annak eldöntése, hogy egy állítás közismert-e, s ezért nem kell bizonyítani, vagy pedig nem az, és ezért a bizonyítását is le kell írni. Különösen így volt ez a B. 3478. feladatnál, amit nagyon sokféleképpen lehetett megoldani.

E cikknek az a célja, hogy a háromszögekkel kapcsolatos néhány állítás egyszerű bizonyításait összegyűjtse. A háromszögekkel kapcsolatban rengeteg tétel van, mi csak azokkal foglalkozunk, amelyek kapcsolódnak a háromszöghöz tartozó körökhöz. Ezeknek is csak egy részét ismertetjük, egyáltalán nem foglalkozunk pl. a Feuerbach körrel. Az érdeklődő olvasó további szép tételeket találhat az irodalomjegyzékben szereplő könyvekben.

A háromszögben a három oldal, csúcs, szög stb. szerepe szimmetrikus. Ezért állításainkban és bizonyításainkban a rövidség kedvéért sokszor csak a,A,alpha,... szerepel. Ezeket persze úgy kell érteni, hogy a háromszög tetszőleges oldalára, csúcsára, szögére igaz a megfelelő állítás.

Legyenek a háromszög csúcsai A, B, C, oldalai a, b, c, szögei alpha, beta, gamma, a szokásos jelölésekkel a háromszög területét jelölje T, kerületét 2s, a beírható kör sugara legyen r, a hozzáírt körök sugarai ra, rb, rc, a háromszög köré írható kör sugara R, végül ezen körök középpontjai legyenek rendre O, Oa, Ob, Oc és K (1. ábra).

1. ábra

Első állításunkat általánosított szinusztételnek is szokás nevezni.

1. állítás. R=a2sinα=b2sinβ=c2sinγ.

Bizonyítás. Messe a háromszög köré írható körének BK átmérője a kört másodszor az A' pontban. Ekkor BA'=2R. Ha alpha=90o, akkor A'equivC, az állítás nyilvánvaló ( 2/1. ábra). Ha alpha nem derékszög, akkor BA'Cangle=alpha (2/2. ábra), vagy BA'Cangle=alpha'=180o-alpha ( 2/3. ábra), de felhasználva a sin (180o-alpha)=sinalpha összefüggést, valamint azt, hogy a BA'C háromszög C-nél lévő szöge Thalész tétele miatt derékszög, mindig teljesül, hogy \sin\alpha=\frac{BC}{BA'}=\frac{a}{2R}.

2/1. ábra 2/2. ábra 2/3. ábra

2. állítás. R=abc4T.

Bizonyítás. Az ismert területképlet szerint T=\frac{b\cdot
c\cdot\sin\alpha}{2}. Ezért ha az előző állításban belátott R=\frac{a}{2\sin\alpha} összefüggés jobb oldalán lévő törtet b.c-vel bővítjük, akkor éppen a bizonyítandó összefüggést kapjuk.

Ha a T=bcsinα2 területképletben az oldalakat kifejezzük az 1. állításból adódó 2Rsinbeta-val, illetve 2Rsingamma-val, akkor a következőt kapjuk:

3. állítás. T=2R2sinalphasinbetasingamma.

Tudjuk, hogy O a háromszög három belső szögfelezőjének, Oa, Ob és Oc pedig két-két külső- és egy-egy belső szögfelezőjének a metszéspontja. Mivel a háromszög bármely csúcsához tartozó külső és belső szögfelező merőleges egymásra, ezért igaz a következő:

4. állítás. Az OaObOc háromszög magasságpontja O, magasságvonalai pedig megegyeznek az ABC háromszög belső szögfelezőivel.

Ebből következik, hogy az OBOaC négyszög húrnégyszög, mert B-nél és C-nél lévő szögei egyaránt derékszögek. A négyszöget az OOa átló két közös átfogójú derékszögű háromszögre bontja, ezért a négyszög köré írható kör középpontja az OOa szakasz felezőpontja. A négyszög köré írt kört megrajzolva (3. ábra) látszik, hogy OCBangle=OOaBangle és OBCangle=OOaCangle, mert az egy íven nyugvó kerületi szögek egyenlőek. Vagyis BO_aC\angle=OO_aB\angle+OO_aC\angle=\frac{\gamma}{2}+\frac{\beta}{2}. Ezzel bebizonyítottuk a következőt:

5. állítás. Az OaObOc háromszög szögei rendre: β+γ2, \frac{\gamma+\alpha}{2} és \frac{\alpha+\beta}{2}.

3. ábra 4. ábra

Következő állításunk az eddigieknél kevésbé ismert (bár megtalálható a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetében).

6. állítás. A háromszög köré írható kör felezi a beírható kör középpontját a hozzáírható körök középpontjaival összekötő szakaszokat.

Bizonyítás. Messe a köré írható kör az OOa szakaszt P-ben (4. ábra). (Mivel COaB=β+γ2<180α=180CAB, ezért Oa a köré írható körön kívül helyezkedik el, vagyis P mindig létrejön.) Ekkor PCBangle=PABangle, mert mindkettő a PB ívhez tartozó kerületi szög. Ezért PCO\angle=PCB\angle+BCO\angle=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}. Az OCOa háromszögben C-nél derékszög van, az Oa-nál lévő szögről már láttuk, hogy \frac{\beta}{2}, ezért az O-nál lévő szög 90β2=α2+γ2. Vagyis POCangle=PCOangle, tehát a POC háromszög egyenlő szárú, PO=PC. Ugyanígy láthatjuk be, hogy PO=PB. Ez azt jelenti, hogy az OBC háromszög köré írható kör középpontja P. Ez a kör azonban megegyezik az OBOaC húrnégyszög köré írható körrel, hiszen mindkét sokszögnek csúcsa O, B és C. Azt viszont a 4. állítás után beláttuk, hogy az OBOaC köré írható kör középpontja az OOa szakasz felezőpontja. Tehát P felezi OOa-t.

7. állítás. A hozzáírt körök középpontjai által meghatározott háromszög köré írható körének sugara 2R.

Bizonyítás. Ha az O pontból kétszeresére nagyítjuk a köré írható kört, akkor a keletkezett 2R sugarú kör az 5. állítás miatt átmegy az Oa, Ob és Oc pontok mindegyikén (5. ábra).

5. ábra

(A 6. és 7. állításokat a fentieknél egyszerűbben beláthatja az, aki ismeri a Feuerbach-kör tulajdonságait -- lásd pl. [2], 69--70. oldal --, a 3. állításból ugyanis következik, hogy az OaObOc háromszög Feuerbach-köre megegyezik az ABC háromszög körülírt körével. Ebből pedig nemcsak 6. és 7. következik, hanem az is, hogy a körülírt kör felezi a hozzáírt körök középpontjai által meghatározott szakaszokat.)

A továbbiakban a beírt és a hozzáírt körök sugarait fejezzük ki az oldalakkal és a területtel. Ehhez először meghatározzuk ezen körök és az oldalegyenesek érintési pontjainak a háromszög csúcsaitól való távolságát. Jelöljük az érintési pontokat a 6. ábrán látható módon D, E, F, G, H, I-vel. Mivel egy külső pontból egy körhöz húzott két érintőszakasz hossza egyenlő, ezért AH=AI, BG=BI és CH=CG, továbbá a 6. ábra jelöléseinek megfelelően AE=AF=x, BD=BF=y és CD=CE=z.

6. ábra

Az x+y=c, y+z=a és z+x=b összefüggésekből következik, hogy 2x+2y+2z=a+b+c=2s, azaz x+y+z=s, és így

(1)x=s-a,      y=s-b,      z=s-c.

A hozzáírt körhöz húzott érintőszakaszokra pedig

2AH=AH+AI=(AC+CG)+(AB+BG)=AC+AB+BC=2s,

tehát

(2)AH=AI=s,      BG=BI=s-c,      CH=CG=s-b.

8. állítás. T=r.s=ra(s-a)=rb(s-b)=rc(s-c).

Bizonyítás. Az ABC háromszög területe megegyezik az OAB, OBC és OCA háromszögek területének összegével. E három háromszög O-hoz tartozó magasságai r hosszúak, így területeik rendre \frac{c\cdot
r}{2}, ar2 és br2. Ezeket összeadva kapjuk, hogy T=r.s.

A hozzáírt kör esetén azt kell felhasználnunk, hogy az ABC háromszög területe megegyezik az OaAB és OaCA háromszögek területei összegének és az OaBC háromszög területének különbségével, azaz

T=cra2+bra2ara2=ra(sa).

9. állítás. A beírt kör sugarának reciproka megegyezik a hozzáírt körök sugarának reciprokösszegével.

Bizonyítás. A 8. állítás szerint

1ra+1rb+1rc=saT+sbT+scT=3s(a+b+c)T=sT=1r.

10. állítás (Héron képlete). T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.

Bizonyítás. A 6. ábrán látható OBF és BOaI háromszögek hasonlóak, mert F-nél illetve I-nél derékszögük van, a külső és a belső szögfelezők merőlegessége miatt pedig OBFangle és BOaIangle merőleges szárú hegyesszögek. Ezért a két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik:

OFFB=BIIOa.

Ezt (1), (2) és a 8. állítás felhasználásával átalakítva:

rsb=scra, azaz (s-b)(s-c)=r\cdot
r_a=\frac{T}{s}\cdot\frac{T}{s-a},

amiből T2=s(s-a)(s-b)(s-c) adódik.

11. állítás. 4R=ra+rb+rc-r.

Bizonyítás. A 2. és a 8. állítás alapján elegendő azt megmutatnunk, hogy

(3)\frac{abc}{T}=\frac{T}{s-a}+\frac{T}{s-b}+\frac{T}{s-c}-\frac{T}{s}.

Mindkét oldalt T-vel szorozva és felhasználva Héron képletét:

(4)abc=s(s-b)(s-c)+s(s-a)(s-c)+s(s-a)(s-b)-(s-a)(s-b)(s-c).

Ez az egyenlőség a jobb oldal átalakításával könnyen belátható:

[s-(s-a)](s-b)(s-c)+s(s-a)[(s-c)+(s-b)]=

=a14(a2(bc)2)+14((b+c)2a2)a=14a4bc=abc.

Vagyis (4), s így a vele ekvivalens (3) is igaz.

12. állítás. A háromszög köré írható kör sugara legalább kétszerese a beírható kör sugarának.

Bizonyítás. Azt kell megmutatnunk, hogy Rge2r, vagyis a 2. és 8. állításokat felhasználva azt, hogy

(5)\frac{abc}{4T}\ge2\cdot\frac{T}{s}.

Szorozzuk meg mindkét oldalt T/2-vel, alkalmazzuk Héron képletét és egyszerűsítsünk a jobb oldalon s-sel:

abc8(sa)(sb)(sc).

Írjuk át a bizonyítandó egyenlőtlenséget az (1) összefüggéseket felhasználva az x, y, z változókra:

(y+z)(z+x)(x+y)8xyz.

Ez viszont azonnal adódik a számtani és mértani közepek közti

y+z2yz,z+x2zx és x+y2xy

egyenlőtlenségek összeszorzásából. Ezért az ezzel ekvivalens (5) egyenlőtlenség is teljesül. Az is látható, hogy egyenlőség csak akkor van, ha x=y=z, azaz ha a háromszög szabályos.

Héron képletét valamint a számtani és a mértani közepek közti egyenlőtlenséget felhasználva kapjuk, hogy

(6)T2=s(sa)(sb)(sc)s((sa)+(sb)+(sc)3)3=ss327=s427.

Vagyis minden háromszögben igaz, hogy 123(2s)2T, azaz a kerület négyzetének és a területnek a hányadosa alulról korlátos. Ez a tört minimális értékét akkor veszi fel, ha (6)-ban egyenlőség van, tehát amikor a háromszög szabályos. Ebből azonnal adódik a következő két, szélsőértékekre vonatkozó állítás.

13. állítás. Adott területű háromszögek közül a szabályosnak a legkisebb a kerülete.

14. állítás. Adott kerületű háromszögek közül a szabályosnak a legnagyobb a területe.

A továbbiakban a háromszög szögeinek és félszögeinek szögfüggvényeit fejezzük ki az oldalakkal majd ezeknek a képleteknek néhány alkalmazását mutatjuk meg.

15. állítás.

tgα2=(sb)(sc)s(sa),

tgβ2=(sa)(sc)s(sb)

és

tgγ2=(sa)(sb)s(sc).

Bizonyítás. A 6. ábrán látható AFO derékszögű háromszög A-nál lévő szöge α2. Ezért a 8. állítást, Héron képletét és (1)-et felhasználva:

tgα2=OFAF=rx=Tsx=s(sa)(sb)(sc)s(sa)=(sb)(sc)s(sa).

Az AFO háromszögben Pitagorasz tétele szerint

AO2=AF2+OF2=(sa)2+T2s2=sas[s(sa)+(sb)(sc)]=

=sa4s[((b+c)2a2)+(a2(bc)2)]=bcsas.

Ennek ismeretében a tangenshez hasonlóan kifejezhetjük α2 szinuszát és koszinuszát is:

(7)sinα2=OFAO=TsAO=s(sa)(sb)(sc)sbcsas=(sb)(sc)bc

(8)cosα2=AFAO=sabcsas=s(sa)bc.

Ezekből a sinα=2sinα2cosα2 és a cosα=cos2α2sin2α2 trigonometrikus azonosságokat felhasználva kapjuk, hogy

sinα=2(sb)(sc)bcs(sa)bc=2Tbc,

ami az ismert területképlet átrendezett alakja, valamint hogy

cosα=s(sa)bc(sb)(sc)bc=14bc[((b+c)2a2)(a2(bc)2)]=

=b2+c2a22bc,

ami a koszinusztétel egy átrendezett alakja.

A tangenseket (feltéve, hogy a szög nem derékszög), a tgφ=sinφcosφ azonosság alapján kifejezve egy kevésbé ismert összefüggést kapunk:

(9)4T=tgalpha(b2+c2-a2)=tgbeta(a2+c2-b2)=tggamma(a2+b2-c2).

Ebből azonnal adódik, hogy

ctgα+ctgβ+ctgγ=b2+c2a24T+a2+c2b24T+a2+b2c24T=a2+b2+c24T.

Következő állításunk már nem ilyen nyilvánvaló.

16. állítás. Ha a háromszög nem derékszögű, akkor

tgalpha+tgbeta+tggamma=tgalpha.tgbeta.tggamma.

Bizonyítás. Felhasználva (9)-et, azt kell megmutatnunk, hogy

4Tb2+c2a2+4Ta2b2+c2+4Ta2+b2c2=

=64T3(b2+c2a2)(a2+c2b2)(a2+b2c2).

Ha a háromszög nem derékszögű, akkor ez ekvivalens a nevezőkkel való szorzás és 4T-vel való osztás után kapott

(a2+b2-c2)(a2+c2-b2)+(a2+b2-c2)(b2+c2-a2)+(b2+c2-a2)(a2+c2-b2)=16T2

összefüggéssel. A jobb oldalra beírva Héron képletét és mindkét oldalt rendezve:

(a2+b2-c2).2c2+(b2+c2-a2)(a2+c2-b2)=[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2].

Átalakítva:

2c2[(a2+b2-c2)+(b2+c2-a2)]+(b2+c2-a2)(a2-b2-c2)=

=(b2+c2-a2+2bc)(a2-b2-c2+2bc),

4b2c2+(b2+c2-a2)(a2-b2-c2)=

(b2+c2-a2)(a2-b2-c2)+2bc[(b2+c2-a2)+(a2-b2-c2)]+4b2c2.

Ez az azonosság bizonyítja állításunkat.

A 15. állítást, a (7) és (8) képleteket (és megfelelőiket β2 és γ2 szögfüggvényeire) valamint Héron képletét felhasználva triviális számolással kapjuk a következő azonosságokat.

17. állítás.

tgα2tgβ2tgγ2=Ts2,

ctgα2ctgβ2ctgγ2=s2T,

sinα2sinβ2sinγ2=T2sabc,

cosα2cosβ2cosγ2=sTabc.

Ezeket felhasználva sok egyenlőtlenség könnyen belátható, ezek közül egyet mutatunk meg példaként.

18. állítás. sinα2sinβ2sinγ218.

Bizonyítás. A 17. állítás alapján elegendő belátnunk, hogy

T2sabc18, azaz T2sabc8.

Héron képletét felhasználva ez (sa)(sb)(sc)abc8 alakba is írható. Ezt az egyenlőtlenséget viszont már beláttuk a 12. állítás bizonyítása során.

Irodalom

[1] Coxeter, H. S. M.: A geometriák alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.

[2] Reiman I.: A geometria és határterületei, Gondolat Könyvkiadó, Budapest, 1986.