Kiss György
Amit jó tudni a háromszögekről
A lapunkban megjelenő feladatok mintamegoldásainak írása közben sokszor jelent problémát annak eldöntése, hogy egy állítás közismert-e, s ezért nem kell bizonyítani, vagy pedig nem az, és ezért a bizonyítását is le kell írni. Különösen így volt ez a B. 3478. feladatnál, amit nagyon sokféleképpen lehetett megoldani.
E cikknek az a célja, hogy a háromszögekkel kapcsolatos néhány állítás egyszerű bizonyításait összegyűjtse. A háromszögekkel kapcsolatban rengeteg tétel van, mi csak azokkal foglalkozunk, amelyek kapcsolódnak a háromszöghöz tartozó körökhöz. Ezeknek is csak egy részét ismertetjük, egyáltalán nem foglalkozunk pl. a Feuerbach körrel. Az érdeklődő olvasó további szép tételeket találhat az irodalomjegyzékben szereplő könyvekben.
A háromszögben a három oldal, csúcs, szög stb. szerepe szimmetrikus. Ezért állításainkban és bizonyításainkban a rövidség kedvéért sokszor csak a,A,alpha,... szerepel. Ezeket persze úgy kell érteni, hogy a háromszög tetszőleges oldalára, csúcsára, szögére igaz a megfelelő állítás.
Legyenek a háromszög csúcsai A, B, C, oldalai a, b, c, szögei alpha, beta, gamma, a szokásos jelölésekkel a háromszög területét jelölje T, kerületét 2s, a beírható kör sugara legyen r, a hozzáírt körök sugarai ra, rb, rc, a háromszög köré írható kör sugara R, végül ezen körök középpontjai legyenek rendre O, Oa, Ob, Oc és K (1. ábra).
1. ábra
Első állításunkat általánosított szinusztételnek is szokás nevezni.
1. állítás. R=a2sinα=b2sinβ=c2sinγ.
Bizonyítás. Messe a háromszög köré írható körének BK
átmérője a kört másodszor az A' pontban. Ekkor
BA'=2R. Ha alpha=90o, akkor A'C, az
állítás nyilvánvaló ( 2/1. ábra). Ha
nem derékszög,
akkor BA'Cangle=alpha (2/2. ábra), vagy BA'C
=
'=180o-alpha ( 2/3. ábra), de
felhasználva a sin (180o-alpha)=sinalpha összefüggést, valamint azt, hogy a
BA'C háromszög C-nél lévő szöge Thalész tétele
miatt derékszög, mindig teljesül, hogy
.
![]() |
![]() |
![]() |
2/1. ábra | 2/2. ábra | 2/3. ábra |
2. állítás. R=abc4T.
Bizonyítás. Az ismert területképlet szerint . Ezért ha az előző állításban belátott
összefüggés jobb oldalán lévő törtet
b.c-vel bővítjük, akkor éppen a bizonyítandó
összefüggést kapjuk.
Ha a T=b⋅c⋅sinα2 területképletben az
oldalakat kifejezzük az 1. állításból adódó 2Rsin-val, illetve
2Rsingamma-val, akkor a következőt kapjuk:
3. állítás. T=2R2sinsin
sin
.
Tudjuk, hogy O a háromszög három belső szögfelezőjének, Oa, Ob és Oc pedig két-két külső- és egy-egy belső szögfelezőjének a metszéspontja. Mivel a háromszög bármely csúcsához tartozó külső és belső szögfelező merőleges egymásra, ezért igaz a következő:
4. állítás. Az OaObOc háromszög magasságpontja O, magasságvonalai pedig megegyeznek az ABC háromszög belső szögfelezőivel.
Ebből következik, hogy az OBOaC
négyszög húrnégyszög, mert B-nél és C-nél lévő szögei
egyaránt derékszögek. A négyszöget az
OOa átló két közös átfogójú derékszögű
háromszögre bontja, ezért a négyszög köré írható kör középpontja az
OOa szakasz felezőpontja. A négyszög
köré írt kört megrajzolva (3. ábra) látszik, hogy
OCBangle=OOaB és
OBCangle=OOaC
, mert az
egy íven nyugvó kerületi szögek egyenlőek. Vagyis
.
Ezzel bebizonyítottuk a következőt:
5. állítás. Az
OaObOc
háromszög szögei rendre: β+γ2, és
.
![]() |
![]() |
3. ábra | 4. ábra |
Következő állításunk az eddigieknél kevésbé ismert (bár megtalálható a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetében).
6. állítás. A háromszög köré írható kör felezi a beírható kör középpontját a hozzáírható körök középpontjaival összekötő szakaszokat.
Bizonyítás. Messe a köré írható kör az
OOa szakaszt P-ben
(4. ábra). (Mivel COaB∠=β+γ2<180∘−α=180∘−CAB∠,
ezért Oa a köré írható körön kívül
helyezkedik el, vagyis P mindig létrejön.) Ekkor PCB=PAB
, mert
mindkettő a PB ívhez tartozó kerületi szög. Ezért
. Az
OCOa háromszögben C-nél derékszög van,
az Oa-nál lévő szögről már láttuk, hogy
,
ezért az O-nál lévő szög 90∘−β2=α2+γ2. Vagyis
POCangle=PCOangle, tehát a POC háromszög egyenlő szárú,
PO=PC. Ugyanígy láthatjuk be, hogy
PO=PB. Ez azt jelenti, hogy az OBC háromszög köré
írható kör középpontja P. Ez a kör azonban megegyezik az
OBOaC húrnégyszög köré írható körrel,
hiszen mindkét sokszögnek csúcsa O, B és C. Azt
viszont a 4. állítás után beláttuk, hogy az
OBOaC köré írható kör középpontja az
OOa szakasz felezőpontja. Tehát P
felezi OOa-t.
7. állítás. A hozzáírt körök középpontjai által meghatározott háromszög köré írható körének sugara 2R.
Bizonyítás. Ha az O pontból kétszeresére nagyítjuk a köré írható kört, akkor a keletkezett 2R sugarú kör az 5. állítás miatt átmegy az Oa, Ob és Oc pontok mindegyikén (5. ábra).
5. ábra
(A 6. és 7. állításokat a fentieknél egyszerűbben beláthatja az, aki ismeri a Feuerbach-kör tulajdonságait -- lásd pl. [2], 69--70. oldal --, a 3. állításból ugyanis következik, hogy az OaObOc háromszög Feuerbach-köre megegyezik az ABC háromszög körülírt körével. Ebből pedig nemcsak 6. és 7. következik, hanem az is, hogy a körülírt kör felezi a hozzáírt körök középpontjai által meghatározott szakaszokat.)
A továbbiakban a beírt és a hozzáírt körök sugarait fejezzük ki az oldalakkal és a területtel. Ehhez először meghatározzuk ezen körök és az oldalegyenesek érintési pontjainak a háromszög csúcsaitól való távolságát. Jelöljük az érintési pontokat a 6. ábrán látható módon D, E, F, G, H, I-vel. Mivel egy külső pontból egy körhöz húzott két érintőszakasz hossza egyenlő, ezért AH=AI, BG=BI és CH=CG, továbbá a 6. ábra jelöléseinek megfelelően AE=AF=x, BD=BF=y és CD=CE=z.
6. ábra
Az x+y=c, y+z=a és z+x=b összefüggésekből következik, hogy 2x+2y+2z=a+b+c=2s, azaz x+y+z=s, és így
(1) | x=s-a, y=s-b, z=s-c. |
A hozzáírt körhöz húzott érintőszakaszokra pedig
2AH=AH+AI=(AC+CG)+(AB+BG)=AC+AB+BC=2s,
tehát
(2) | AH=AI=s, BG=BI=s-c, CH=CG=s-b. |
8. állítás. T=r.s=ra(s-a)=rb(s-b)=rc(s-c).
Bizonyítás. Az ABC háromszög területe megegyezik az
OAB, OBC és OCA háromszögek területének
összegével. E három háromszög O-hoz tartozó magasságai
r hosszúak, így területeik rendre , a⋅r2 és b⋅r2. Ezeket összeadva kapjuk,
hogy T=r.s.
A hozzáírt kör esetén azt kell felhasználnunk, hogy az ABC háromszög területe megegyezik az OaAB és OaCA háromszögek területei összegének és az OaBC háromszög területének különbségével, azaz
T=c⋅ra2+b⋅ra2−a⋅ra2=ra(s−a).
9. állítás. A beírt kör sugarának reciproka megegyezik a hozzáírt körök sugarának reciprokösszegével.
Bizonyítás. A 8. állítás szerint
1ra+1rb+1rc=s−aT+s−bT+s−cT=3s−(a+b+c)T=sT=1r.
10. állítás (Héron képlete). .
Bizonyítás. A 6. ábrán látható OBF és
BOaI háromszögek hasonlóak, mert
F-nél illetve I-nél derékszögük van, a külső és a belső
szögfelezők merőlegessége miatt pedig OBF és
BOaI
merőleges szárú hegyesszögek. Ezért
a két háromszög megfelelő oldalainak aránya megegyezik:
OFFB=BIIOa.
Ezt (1), (2) és a 8. állítás felhasználásával átalakítva:
rs−b=s−cra, azaz
amiből T2=s(s-a)(s-b)(s-c) adódik.
11. állítás. 4R=ra+rb+rc-r.
Bizonyítás. A 2. és a 8. állítás alapján elegendő azt megmutatnunk, hogy
(3) | ![]() |
Mindkét oldalt T-vel szorozva és felhasználva Héron képletét:
(4) | abc=s(s-b)(s-c)+s(s-a)(s-c)+s(s-a)(s-b)-(s-a)(s-b)(s-c). |
Ez az egyenlőség a jobb oldal átalakításával könnyen belátható:
[s-(s-a)](s-b)(s-c)+s(s-a)[(s-c)+(s-b)]=
=a⋅14(a2−(b−c)2)+14((b+c)2−a2)⋅a=14a⋅4bc=abc.
Vagyis (4), s így a vele ekvivalens (3) is igaz.
12. állítás. A háromszög köré írható kör sugara legalább kétszerese a beírható kör sugarának.
Bizonyítás. Azt kell megmutatnunk, hogy R2r, vagyis
a 2. és 8. állításokat felhasználva azt, hogy
(5) | ![]() |
Szorozzuk meg mindkét oldalt T/2-vel, alkalmazzuk Héron képletét és egyszerűsítsünk a jobb oldalon s-sel:
abc8≥(s−a)(s−b)(s−c).
Írjuk át a bizonyítandó egyenlőtlenséget az (1) összefüggéseket felhasználva az x, y, z változókra:
(y+z)(z+x)(x+y)8≥x⋅y⋅z.
Ez viszont azonnal adódik a számtani és mértani közepek közti
y+z2≥√yz,z+x2≥√zx és x+y2≥√xy
egyenlőtlenségek összeszorzásából. Ezért az ezzel ekvivalens (5) egyenlőtlenség is teljesül. Az is látható, hogy egyenlőség csak akkor van, ha x=y=z, azaz ha a háromszög szabályos.
Héron képletét valamint a számtani és a mértani közepek közti egyenlőtlenséget felhasználva kapjuk, hogy
(6) | T2=s(s−a)(s−b)(s−c)≤s((s−a)+(s−b)+(s−c)3)3=s⋅s327=s427. |
Vagyis minden háromszögben igaz, hogy 12√3≤(2s)2T, azaz a kerület négyzetének és a területnek a hányadosa alulról korlátos. Ez a tört minimális értékét akkor veszi fel, ha (6)-ban egyenlőség van, tehát amikor a háromszög szabályos. Ebből azonnal adódik a következő két, szélsőértékekre vonatkozó állítás.
13. állítás. Adott területű háromszögek közül a szabályosnak a legkisebb a kerülete.
14. állítás. Adott kerületű háromszögek közül a szabályosnak a legnagyobb a területe.
A továbbiakban a háromszög szögeinek és félszögeinek szögfüggvényeit fejezzük ki az oldalakkal majd ezeknek a képleteknek néhány alkalmazását mutatjuk meg.
15. állítás.
tgα2=√(s−b)(s−c)s(s−a),
tgβ2=√(s−a)(s−c)s(s−b)
és
tgγ2=√(s−a)(s−b)s(s−c).
Bizonyítás. A 6. ábrán látható AFO derékszögű háromszög A-nál lévő szöge α2. Ezért a 8. állítást, Héron képletét és (1)-et felhasználva:
tgα2=OFAF=rx=Tsx=√s(s−a)(s−b)(s−c)s(s−a)=√(s−b)(s−c)s(s−a).
Az AFO háromszögben Pitagorasz tétele szerint
AO2=AF2+OF2=(s−a)2+T2s2=s−as[s(s−a)+(s−b)(s−c)]=
=s−a4s[((b+c)2−a2)+(a2−(b−c)2)]=bcs−as.
Ennek ismeretében a tangenshez hasonlóan kifejezhetjük α2 szinuszát és koszinuszát is:
(7) | sinα2=OFAO=Ts⋅AO=√s(s−a)(s−b)(s−c)s⋅√bcs−as=√(s−b)(s−c)bc |
(8) | cosα2=AFAO=s−a√bcs−as=√s(s−a)bc. |
Ezekből a sinα=2sinα2cosα2 és a cosα=cos2α2−sin2α2 trigonometrikus azonosságokat felhasználva kapjuk, hogy
sinα=2√(s−b)(s−c)bc√s(s−a)bc=2Tbc,
ami az ismert területképlet átrendezett alakja, valamint hogy
cosα=s(s−a)bc−(s−b)(s−c)bc=14bc[((b+c)2−a2)−(a2−(b−c)2)]=
=b2+c2−a22bc,
ami a koszinusztétel egy átrendezett alakja.
A tangenseket (feltéve, hogy a szög nem derékszög), a tgφ=sinφcosφ azonosság alapján kifejezve egy kevésbé ismert összefüggést kapunk:
(9) | 4T=tgalpha(b2+c2-a2)=tgbeta(a2+c2-b2)=tggamma(a2+b2-c2). |
Ebből azonnal adódik, hogy
ctgα+ctgβ+ctgγ=b2+c2−a24T+a2+c2−b24T+a2+b2−c24T=a2+b2+c24T.
Következő állításunk már nem ilyen nyilvánvaló.
16. állítás. Ha a háromszög nem derékszögű, akkor
tgalpha+tgbeta+tggamma=tgalpha.tgbeta.tggamma.
Bizonyítás. Felhasználva (9)-et, azt kell megmutatnunk, hogy
4Tb2+c2−a2+4Ta2−b2+c2+4Ta2+b2−c2=
=64T3(b2+c2−a2)(a2+c2−b2)(a2+b2−c2).
Ha a háromszög nem derékszögű, akkor ez ekvivalens a nevezőkkel való szorzás és 4T-vel való osztás után kapott
(a2+b2-c2)(a2+c2-b2)+(a2+b2-c2)(b2+c2-a2)+(b2+c2-a2)(a2+c2-b2)=16T2
összefüggéssel. A jobb oldalra beírva Héron képletét és mindkét oldalt rendezve:
(a2+b2-c2).2c2+(b2+c2-a2)(a2+c2-b2)=[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2].
Átalakítva:
2c2[(a2+b2-c2)+(b2+c2-a2)]+(b2+c2-a2)(a2-b2-c2)=
=(b2+c2-a2+2bc)(a2-b2-c2+2bc),
4b2c2+(b2+c2-a2)(a2-b2-c2)=
(b2+c2-a2)(a2-b2-c2)+2bc[(b2+c2-a2)+(a2-b2-c2)]+4b2c2.
Ez az azonosság bizonyítja állításunkat.
A 15. állítást, a (7) és (8) képleteket (és megfelelőiket β2 és γ2 szögfüggvényeire) valamint Héron képletét felhasználva triviális számolással kapjuk a következő azonosságokat.
17. állítás.
tgα2⋅tgβ2⋅tgγ2=Ts2,
ctgα2⋅ctgβ2⋅ctgγ2=s2T,
sinα2⋅sinβ2⋅sinγ2=T2s⋅abc,
cosα2⋅cosβ2⋅cosγ2=s⋅Tabc.
Ezeket felhasználva sok egyenlőtlenség könnyen belátható, ezek közül egyet mutatunk meg példaként.
18. állítás. sinα2⋅sinβ2⋅sinγ2≤18.
Bizonyítás. A 17. állítás alapján elegendő belátnunk, hogy
T2s⋅abc≤18, azaz T2s≤abc8.
Héron képletét felhasználva ez (s−a)(s−b)(s−c)≤abc8 alakba is írható. Ezt az egyenlőtlenséget viszont már beláttuk a 12. állítás bizonyítása során.
Irodalom
[1] Coxeter, H. S. M.: A geometriák alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.
[2] Reiman I.: A geometria és határterületei, Gondolat Könyvkiadó, Budapest, 1986.