A P. 5619. feladat (2025. január)

P. 5619. A Föld felszínéről függőlegesen felfelé az első kozmikus sebességgel elindítunk egy űrszondát.

a) Milyen magasra emelkedik a szonda?

b) Mennyi idő múlva esik vissza a földre?

A légellenállástól és a Föld forgásától tekintsünk el.

(Segítség: Mesterséges égitestek mozgásával kapcsolatos problémák és feladatok c. cikk a honlapon.)

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. február 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle R$ sugarú Föld felszínéhez viszonylag közeli körpályán keringő $\displaystyle m$ tömegű űrszonda sebessége (az első kozmikus sebesség)

$\displaystyle m\frac{v_1^2}{R}=mg$

mozgásegyenletnek megfelelően

Az $\displaystyle M$ tömegű Föld felszínénél a nehézségi gyorsulás:

$\displaystyle g=\gamma\frac{M}{R^2},$

ahonnan

a) Az űrszonda $\displaystyle H$ emelkedési magassága az energiamegmaradás törvényéből kapható meg:

$\displaystyle \frac{1}{2}mv_1^2-\gamma\frac{Mm}{R}=0-\gamma\frac{Mm}{R+H}.$

Innen (1) és (2) ismeretében adódik, hogy

$\displaystyle \frac{Rg}{2}=gR^2\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+H}\right),$

ahonnan $\displaystyle H=R$ következik. A szonda tehát földsugárnyi magasságig emelkedik a Föld felszíne fölé.

b) A szonda pályája egy olyan ellipszis feleként fogható fel, aminek fél nagytengelye $\displaystyle R$, a fél kistengelye ($\displaystyle \varepsilon)$ pedig sokkal kisebb $\displaystyle R$-nél. Egy ilyen ellipszispályán mozgó űrszonda teljes keringési ideje (ha a Földet egy $\displaystyle M$ tömegű tömegponttal helyettesítenénk) Kepler 3. törvénye szerint ugyanakkora lenne, mint a földközeli körpályán mozgó műholdé:

$\displaystyle T_\textrm{ellipszis}=\frac{2R\pi}{v_1}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\approx 84\,\mathrm{min}.$

A feladatban szereplő űrszonda azonban csak az ellipszis felét futja be, mozgásának ideje tehát (Kepler 2. törvénye szerint)

$\displaystyle T_\textrm{félellipszis}= \frac{\tfrac{1}{2}R\varepsilon\pi+R\varepsilon}{R\varepsilon\pi}T_\textrm{ellipszis}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\right)\cdot 84\,\mathrm{min}\approx 68\,\mathrm{min}.$

Az utolsó lépésben felhasználtuk, hogy az ,,elfajult ellipszis'' fókuszpontja határesetben a nagytengely végpontjához kerül, a vezérsugár által súrolt terület pedig az ellipszis félterületének és egy $\displaystyle 2\varepsilon$ alapú, $\displaystyle R$ magasságú háromszög területének az összege.

Megjegyzés. A b) kérdésre integrálszámítás alkalmazásával is válaszolhatunk. A felfelé emelkedő szonda sebessége a Föld középpontjától $\displaystyle xR$ távolságban ($\displaystyle 1\le x\le 2$) az energiamegmaradás tétele szerint

$\displaystyle v(x)=\sqrt{Rg\left(2/x-1\right)},$

és így a felfelé mozgás ideje

$\displaystyle \frac{1}{2}T_\textrm{félellipszis}=\int_1^2\frac{1}{v(x)}\,\mathrm{d}(Rx)=\sqrt{\frac{R}{g}}\int_1^2\frac{1}{\sqrt{2/x-1}}\,\mathrm{d}x.$

A Geogebra program szerint

$\displaystyle \int_1^2\frac{1}{\sqrt{2/x-1}}\,\mathrm{d}x\approx 2{,}57,$

a WolframAlpha pedig a ,,pontos'' $\displaystyle 1+\frac{\pi}{2}$ értéket is megadja. Ennek megfelelően $\displaystyle T_\textrm{félellipszis}\approx 68\,\mathrm{min}$.

Statisztika:

36 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Beke Márton Csaba, Bencze Mátyás, Benyó Júlia , Bús László Teodor, Csiszár András, Fekete Lúcia, Gyenes Károly, Masa Barnabás, Simon János Dániel, Tóth Hanga Katalin, Tóthpál-Demeter Márk, Ujpál Bálint.
4 pontot kapott:	Kovács Tamás.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. januári fizika feladatai