A 2002. novemberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

C. 690. Lehet-e három egész élhosszúságú kocka térfogatának az összege 2002 egység?

Megoldás. Nem lehet. Ehhez megmutatjuk, hogy egy c³ köbszám 9-cel osztva csak 0-t, 1-et vagy (-1)-et adhat maradékul. Ha c osztható 3-mal, akkor a maradék nyilván 0. Ha c=3k+1, akkor c³-1=(3k+1)³-1=27k³+27k²+9k+1-1=9(3k³+3k²+k) osztható 9-cel, azaz c³ maradéka 1. Hasonlóan, ha c=3k-1, akkor c³+1=(3k-1)³+1=27k³-27k²+9k-1+1=9(3k³-3k²+k) osztható 9-cel, azaz c³ maradéka -1. Így három köbszám összegének 9-cel való lehetséges osztási maradékai: 3=1+1+1, 2=1+1+0, 1=1+0+0, 0=0+0+0, 8$\displaystyle equiv$-1=-1+0+0, 7$\displaystyle equiv$-2=(-1)+(-1)+0, 6$\displaystyle equiv$-3=(-1)+(-1)+(-1). Mivel 2002 maradéka 2+0+0+2=4, azért 2002 nem lehet három köbszámnak az összege.

C. 691. Hány mm² Magyarország területe egy 25 cm átmérőjű földgömbön?

Megoldás. Magyarország területe T$\displaystyle approx$93000 km², a Föld (egyenlítői) sugara R$\displaystyle approx$6378 km, így az r=12.5 cm sugarű földgömbön Magyarország területe $\displaystyle t=T\cdot{r^2\over{R^2}}\approx93\cdot10^{15}\cdot{125^2\over{6378^2\cdot10^{12}}}\approx36$ mm².

C. 692. Az x, y, z valós számokra teljesül, hogy x+2y+4z3 és y-3x+2z$\displaystyle \ge$5. Igazoljuk, hogy ekkor y-x+2z$\displaystyle \ge$3.

Megoldás. Ha x+2y+4z$\displaystyle ge$3 és y-3x+2z$\displaystyle ge$5, akkor $\displaystyle {2\over{7}}(x+2y+4z)\ge{2\over{7}}\cdot3$ és $\displaystyle {3\over{7}}(y-3x+2z)\ge{3\over{7}}\cdot5$, tehát

$\displaystyle 3={2\over{7}}\cdot3+{3\over{7}}\cdot5\le{2\over{7}}(x+2y+4z)+{3\over{7}}(y-3x+2z)=y-x+2z.$

C. 693.Mekkora lehet egy olyan egyenlő szárú háromszög szárszöge, amelynek magasságaiból mint oldalakból háromszög szerkeszthető?

Megoldás. Legyen a háromszög szárszöge 2x (0^o<2x<180^o) szára pedig b=1; ekkor az alapon fekvő szögek mindegyike 90^o-x, a háromszög alapja a=2sinx. Az alaphoz tartozó magasság m_a=bcosx=cosx, a szárakhoz tartozó magasságok: m_b=asin(90^o-x)=2sinxcosx.

Az m_a, m_b, m_b hosszúságú szakaszokból pontosan akkor szerkeszthető (egyenlő szárú) háromszög, ha m_a<2m_b, azaz cosx<4sinxcosx, vagyis (cosx>0 lévén) $\displaystyle \sin${1\over{4}}">.

Az egyenlő szárú háromszög szárszöge tehát 2^. arc $\displaystyle \sin{1\over{4}}\approx24.96^{\circ}$ és 180^o között lehet.

C. 694.Mekkora az [log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+...+[log₂2002] összeg értéke?

Javasolta: Besenyei Ádám, Budapest

Megoldás. A 2002-nél nem nagyobb 2-hatványok: 2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1024. Így az összeg:

$\displaystyle (0+2\cdot1+4\cdot2+8\cdot3+\ldots+512\cdot9)+979\cdot10=\sum_{k=1}^{9}{k\cdot2^k}+9790=$

=(8^.2¹⁰+2)+9790=17984.