Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. április

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 760. Egy üzletben 1000 forintossal fizettünk. A blokkon a fizetendő és a visszajáró összeg ugyanazokból a számjegyekből állt, csak más sorrendben. Mennyi a számjegyek összege?

C. 761. Egy háromszög két oldalának hossza adott, továbbá tudjuk, hogy az ezekhez tartozó súlyvonalak merőlegesek egymásra. Számítsuk ki a harmadik oldal hosszát.

C. 762. A K₁ kocka körülírt gömbjének a felszíne kétszer akkora, mint a K₂ kocka beírt gömbjének a felszíne. Jelölje V₁ a K₁ kocka beírt gömbjének a térfogatát, V₂ pedig a K₂ kocka körülírt gömbjének a térfogatát. Mekkora a \(\displaystyle \frac{V_1}{V_2}\) arány?

C. 763. Egy sarokban lévő állványon három, 30 cm x40 cm-es polc van, a szomszédosak távolsága egyenlő. Ahol a két fal és a középső polc találkozik, három pók tanyázott. Egyszer egyikük az egyik falon ferdén felmászott a felső polc sarkához, másikuk a másik falon ferdén lemászott az alsó polc sarkához. A harmadik pók a helyén maradt, és megállapította, hogy arról a helyről társai 120^o-os szögben látszanak. Mekkora a polcok távolsága? (A szomszédos polcok ugyanakkora távolságra vannak egymástól.)

C. 764. Adott az s valós szám. Oldjuk meg a

\(\displaystyle \log_{\frac{1}{s}}\log_s\)\log_s\log_sx ">

egyenlőtlenséget.

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3722. Az O₁ középpontú 4 cm sugarú és az O₂ középpontú 6 cm sugarú körök metszéspontjaira illeszkedő szelő T pontban metszi az O₁O₂ szakaszt, amelyről tudjuk, hogy a hossza nem kisebb 6 cm-nél. A nagyobb kör A pontban, a kisebb kör B pontban metszi az O₁O₂ szakaszt és AT:BT = 1:2. Számítsuk ki az O₁O₂ szakasz hosszát.

(3 pont)

Javasolta: Békéssy Szilvia, Budapest

B. 3723. Ötszögekből és hatszögekből egy olyan konvex testet készítettünk, melynek minden csúcsában 3 lap találkozik, minden ötszögnek 5 hatszöggel és minden hatszögnek 3 ötszöggel van közös éle. Hány lapja van a testnek?

(4 pont)

B. 3724. Melyek azok a p(x) polinomok, amelyekre a p(x)^.p(x+1) és a p(x+p(x)) polinomok azonosak?

(4 pont)

B. 3725. Bizonyítsuk be, hogy ha a és b pozitív számok, akkor

\(\displaystyle 2\sqrt a+3\sqrt[3]{b}\ge5\sqrt[5]{ab}. \)

(3 pont)

B. 3726. Milyen számjegy áll a \(\displaystyle \big(3+\sqrt{7}\,\big)^{2004}\) számban a tizedesvessző előtt?

(4 pont)

B. 3727. Egy konvex négyszög bármely két szemközti oldalára teljesül, hogy az oldalak felezőpontjai közötti távolság négyzete fele a két oldal négyzetösszegének. Bizonyítandó, hogy a négyszög rombusz.

(4 pont)

B. 3728. Tekintsük azt a sorozatot, amelyre a₀=1, továbbá a_2n+1=a_n és a_2n+2=a_n+a_n+1 teljesül minden n\(\displaystyle \ge\)0 egész számra. Bizonyítsuk be, hogy az

\(\displaystyle \left\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\colon n\ge1\right\}=\left\{\frac{1}{1},\frac{1}{2}, \frac{2}{1},\frac{1}{3},\frac{3}{2},\dots\right\} \)

halmazban valamennyi pozitív racionális szám előfordul.

(5 pont)

B. 3729. Az ABC háromszög területe egységnyi. Az E, F és a G pontok rendre a BC, CA illetve AB oldalakon vannak úgy, hogy AE az R pontban felezi BF-et, BF az S pontban felezi CG-t, végül CG a T pontban felezi AE-t. Mekkora az RST háromszög területe?

(5 pont)

B. 3730. Az a sugarú k_a és az (a>b) sugarú k_b körök közös középpontja O. A k_a-n lévő A pontból k_b-hez húzott egyik érintő érintési pontja E. Az OE sugárra annak tetszőleges P pontjában állított merőleges a k_b-t a Q és R pontokban, az AO egyenest pedig a T pontban metszi. Az AO-ra T-ben állított merőlegesre T-ből felmérve a PQ távolságot kapjuk az S₁ és S₂ pontokat. Mi az S_i pontok mértani helye, ha P befutja az OE sugarat?

(4 pont)

Javasolta: Kárpáti Miklós, Bük

B. 3731. Hány olyan \(\displaystyle \overline{a_1a_2\dots a_{2n}}\) pozitív egész szám van, amelyre teljesül, hogy egyik számjegye sem 0 és az

a₁a₂+a₃a₄+...+a_2n-1a_2n

összeg páros?

(5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 344. Létezik-e olyan rácstéglalap, amit fel lehet osztani az ábrán látható mintával egybevágó rácsötszögekre?

Kristóf Miklós, Budapest

A. 345. Legyenek r és s tetszőleges pozitív egészek, és legyen t a \(\displaystyle 2^k\big(\lceil r/2^k \rceil+\lceil s/2^k\rceil-1\big)\) függvény minimuma a nemnegatív egész k értékeken.

Bizonyítsuk be, hogy

(a) \(\displaystyle \binom{t}{j}\) páros, valahányszor t-s<j<r;

(b) t a legkisebb ilyen tulajdonságú szám.

(\(\displaystyle \lceil x\rceil\) az x szám felső egész része; a legkisebb egész szám, amely nem kisebb x-nél.)

A. 346. Határozzuk meg azokat az \(\displaystyle f\:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}\) függvényeket, amelyekre tetszőleges x, y valós számok esetén f(xy)=f(x)f(y) és f(x+y)\(\displaystyle \le\)max (f(x),f(y)).

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2004. május 15.