Kiss György, ELTE Geometriai Tanszék
A 3-dimenziós euklidészi térben vegyünk fel egy \(\displaystyle O\) kezdőpontú, \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) tengelyű derékszögű koordináta-rendszert. Legyen \(\displaystyle \mathcal{S}\) a \(\displaystyle Z=1\) egyenletű – vagyis az \(\displaystyle (x,y)\) síkkal párhuzamos, a \(\displaystyle z\) tengelyt az 1 pontjában metsző – euklidészi sík. Egészítsük ki \(\displaystyle \mathcal{S}\)-et az előző részben leírt módon ideális pontokkal és egy ideális egyenessel, így kapjuk a \(\displaystyle \Pi\) projektív síkot. Először megadjuk a projektív sík \(\displaystyle O\)-pont modelljét.
A projektív geometria eredete a reneszánsz idejére tehető, amikor nem matematikusok, hanem festők kezdték tanulmányozni a valósághű ábrázolás és ezen keresztül a középpontos vetítés szabályait.
A félszemű festő szerencsére nem volt gyakori a reneszánsz idején sem. De az igen, hogy egy festő egyik szemével hunyorítva nézte a tájat, tárgyakat, így próbálván felderíteni a perspektivikus képüket. Ennek a „hunyorításnak” az absztrakt megfelelője lesz most a Félszemű Festő, \(\displaystyle FF\), aki szeretne realista képet készíteni a vásznára (jelölje \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)) az Alföld (jelölje \(\displaystyle \mathcal{A}\)) egy darabjáról. Mit kell tennie? Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy \(\displaystyle \mathcal{V}_0\) valamilyen átlátszó anyagból készült téglalap, \(\displaystyle \mathcal{A}\) egy \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t nem tartalmazó sík, \(\displaystyle FF\) egyetlen szeme, \(\displaystyle E\) pedig egy olyan pont, amely sem \(\displaystyle \mathcal{A}\)-ra, sem a \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t tartalmazó \(\displaystyle \mathcal{V}\) síkra nem illeszkedik. A festőnek szeme sem rebben, tehát az \(\displaystyle E\) pont helye rögzített.
