Amit jó tudni a projektív geometriáról, I. rész

Kiss György, ELTE Geometriai Tanszék

Ennek a kétrészes cikknek az a célja, hogy megismertesse az olvasót a projektív geometria néhány olyan alapvető fogalmával és tételével, amelyek nem igényelnek mély előismereteket, középiskolás tudással tárgyalhatók és segítséget nyújthatnak középiskolások számára kitűzött feladatok megoldásához is.

A projektív geometria eredete a reneszánsz idejére tehető, amikor nem matematikusok, hanem festők kezdték tanulmányozni a valósághű ábrázolás és ezen keresztül a középpontos vetítés szabályait.

Hogyan dolgozik a Félszemű Festő?

A félszemű festő szerencsére nem volt gyakori a reneszánsz idején sem. De az igen, hogy egy festő egyik szemével hunyorítva nézte a tájat, tárgyakat, így próbálván felderíteni a perspektivikus képüket. Ennek a „hunyorításnak” az absztrakt megfelelője lesz most a Félszemű Festő, \(\displaystyle FF\), aki szeretne realista képet készíteni a vásznára (jelölje \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)) az Alföld (jelölje \(\displaystyle \mathcal{A}\)) egy darabjáról. Mit kell tennie? Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy \(\displaystyle \mathcal{V}_0\) valamilyen átlátszó anyagból készült téglalap, \(\displaystyle \mathcal{A}\) egy \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t nem tartalmazó sík, \(\displaystyle FF\) egyetlen szeme, \(\displaystyle E\) pedig egy olyan pont, amely sem \(\displaystyle \mathcal{A}\)-ra, sem a \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t tartalmazó \(\displaystyle \mathcal{V}\) síkra nem illeszkedik. A festőnek szeme sem rebben, tehát az \(\displaystyle E\) pont helye rögzített.

1. ábra

Amikor \(\displaystyle FF\) az Alföldet \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-n keresztül nézi, az \(\displaystyle \mathcal{A}\) sík egy konkrét \(\displaystyle P\) pontja esetén egy fénysugár érkezik a szemébe. Ez a fénysugár \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t az \(\displaystyle EP\) szakasz valamely \(\displaystyle P'\) pontjában döfi. Ha a \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-n lévő \(\displaystyle P'\) pontot \(\displaystyle FF\) a \(\displaystyle P\) pont színére festi, akkor a \(\displaystyle P\) pont a festék takarásába kerül, de ezt \(\displaystyle FF\) nem veszi észre, mert a \(\displaystyle P\)-ből a szemébe érkező fénysugár szerepét átveszi egy \(\displaystyle P'\)-ből érkező fénysugár, amely a szemében ugyanazt a hatást váltja ki. Ha ezt az eljárást az ábrázolni kívánt alakzat összes látható pontjára elvégzi, akkor \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-n az alakzat egy élethű képét kapja, hiszen festményére, vagyis a kapott színes pontok összességére ránézve ugyanazt látja, mintha az eredeti alakzatra nézne.

Ez a nagyon leegyszerűsített eljárás azt mutatja, hogy az élethű képek készítésekor fontos szerepet játszik az euklidészi tér valamely síkjának a tér egy másik síkjára való középpontos vetítése.

Hogyan írja le mindezt egy matematikus?

Legyen \(\displaystyle \mathcal{A}\) és \(\displaystyle \mathcal{V}\) két egymást metsző sík az euklidészi térben, \(\displaystyle E\) pedig egy olyan pont, amely sem \(\displaystyle \mathcal{A}\)-ra, sem \(\displaystyle \mathcal{V}\)-re nem illeszkedik. A \(\displaystyle \Phi \)-vel jelölt \(\displaystyle E\) középpontú centrális vetítés \(\displaystyle \mathcal{A}\)-ról \(\displaystyle \mathcal{V}\)-re legyen az a transzformáció, amely egy tetszőleges \(\displaystyle {P\in \mathcal{A}}\) pont esetén \(\displaystyle P\)-hez az \(\displaystyle EP\) egyenesnek a \(\displaystyle \mathcal{V}\) síkkal vett metszéspontját rendeli hozzá, feltéve, hogy a metszéspont létezik. Azoknak a \(\displaystyle P\) pontoknak, amelyekre \(\displaystyle EP\) párhuzamos \(\displaystyle \mathcal{V}\)-vel, nyilván nincs képük a \(\displaystyle \mathcal{V}\)-n. Ezek a pontok egy egyenest alkotnak (\(\displaystyle m\)). Látható, hogy az \(\displaystyle m\) egyenes az \(\displaystyle E\)-n átmenő \(\displaystyle \mathcal{V}\)-vel párhuzamos sík és az \(\displaystyle \mathcal{A}\) sík metszésvonala.

Vizsgáljuk meg, hogy mi lesz egy \(\displaystyle f\) egyenes képe a centrális vetítésnél. Ha \(\displaystyle {f=m}\), akkor persze egyetlen pontjának sincs képe.