Amit jó tudni a projektív geometriáról, I. rész

Kiss György, ELTE Geometriai Tanszék

Ennek a kétrészes cikknek az a célja, hogy megismertesse az olvasót a projektív geometria néhány olyan alapvető fogalmával és tételével, amelyek nem igényelnek mély előismereteket, középiskolás tudással tárgyalhatók és segítséget nyújthatnak középiskolások számára kitűzött feladatok megoldásához is.

A projektív geometria eredete a reneszánsz idejére tehető, amikor nem matematikusok, hanem festők kezdték tanulmányozni a valósághű ábrázolás és ezen keresztül a középpontos vetítés szabályait.

Hogyan dolgozik a Félszemű Festő?

A félszemű festő szerencsére nem volt gyakori a reneszánsz idején sem. De az igen, hogy egy festő egyik szemével hunyorítva nézte a tájat, tárgyakat, így próbálván felderíteni a perspektivikus képüket. Ennek a „hunyorításnak” az absztrakt megfelelője lesz most a Félszemű Festő, \(\displaystyle FF\), aki szeretne realista képet készíteni a vásznára (jelölje \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)) az Alföld (jelölje \(\displaystyle \mathcal{A}\)) egy darabjáról. Mit kell tennie? Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy \(\displaystyle \mathcal{V}_0\) valamilyen átlátszó anyagból készült téglalap, \(\displaystyle \mathcal{A}\) egy \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t nem tartalmazó sík, \(\displaystyle FF\) egyetlen szeme, \(\displaystyle E\) pedig egy olyan pont, amely sem \(\displaystyle \mathcal{A}\)-ra, sem a \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t tartalmazó \(\displaystyle \mathcal{V}\) síkra nem illeszkedik. A festőnek szeme sem rebben, tehát az \(\displaystyle E\) pont helye rögzített.

1. ábra

Amikor \(\displaystyle FF\) az Alföldet \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-n keresztül nézi, az \(\displaystyle \mathcal{A}\) sík egy konkrét \(\displaystyle P\) pontja esetén egy fénysugár érkezik a szemébe. Ez a fénysugár \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-t az \(\displaystyle EP\) szakasz valamely \(\displaystyle P'\) pontjában döfi. Ha a \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-n lévő \(\displaystyle P'\) pontot \(\displaystyle FF\) a \(\displaystyle P\) pont színére festi, akkor a \(\displaystyle P\) pont a festék takarásába kerül, de ezt \(\displaystyle FF\) nem veszi észre, mert a \(\displaystyle P\)-ből a szemébe érkező fénysugár szerepét átveszi egy \(\displaystyle P'\)-ből érkező fénysugár, amely a szemében ugyanazt a hatást váltja ki. Ha ezt az eljárást az ábrázolni kívánt alakzat összes látható pontjára elvégzi, akkor \(\displaystyle \mathcal{V}_0\)-n az alakzat egy élethű képét kapja, hiszen festményére, vagyis a kapott színes pontok összességére ránézve ugyanazt látja, mintha az eredeti alakzatra nézne.

Ez a nagyon leegyszerűsített eljárás azt mutatja, hogy az élethű képek készítésekor fontos szerepet játszik az euklidészi tér valamely síkjának a tér egy másik síkjára való középpontos vetítése.

Hogyan írja le mindezt egy matematikus?

Legyen \(\displaystyle \mathcal{A}\) és \(\displaystyle \mathcal{V}\) két egymást metsző sík az euklidészi térben, \(\displaystyle E\) pedig egy olyan pont, amely sem \(\displaystyle \mathcal{A}\)-ra, sem \(\displaystyle \mathcal{V}\)-re nem illeszkedik. A \(\displaystyle \Phi \)-vel jelölt \(\displaystyle E\) középpontú centrális vetítés \(\displaystyle \mathcal{A}\)-ról \(\displaystyle \mathcal{V}\)-re legyen az a transzformáció, amely egy tetszőleges \(\displaystyle {P\in \mathcal{A}}\) pont esetén \(\displaystyle P\)-hez az \(\displaystyle EP\) egyenesnek a \(\displaystyle \mathcal{V}\) síkkal vett metszéspontját rendeli hozzá, feltéve, hogy a metszéspont létezik. Azoknak a \(\displaystyle P\) pontoknak, amelyekre \(\displaystyle EP\) párhuzamos \(\displaystyle \mathcal{V}\)-vel, nyilván nincs képük a \(\displaystyle \mathcal{V}\)-n. Ezek a pontok egy egyenest alkotnak (\(\displaystyle m\)). Látható, hogy az \(\displaystyle m\) egyenes az \(\displaystyle E\)-n átmenő \(\displaystyle \mathcal{V}\)-vel párhuzamos sík és az \(\displaystyle \mathcal{A}\) sík metszésvonala.

Vizsgáljuk meg, hogy mi lesz egy \(\displaystyle f\) egyenes képe a centrális vetítésnél. Ha \(\displaystyle {f=m}\), akkor persze egyetlen pontjának sincs képe. Ha \(\displaystyle f\) különbözik \(\displaystyle m\)-től, akkor a képe biztosan része a \(\displaystyle \mathcal{V}\) sík egy egyenesének, hiszen miközben egy \(\displaystyle P\) pont végigfut az \(\displaystyle f\) egyenesen, az \(\displaystyle EP\) vetítő egyenes az \(\displaystyle E\) pont és az \(\displaystyle f\) egyenes által meghatározott \(\displaystyle \mathcal{S}\) síkban forog \(\displaystyle E\) körül. Az \(\displaystyle f\) minden pontjának a képe rajta lesz az \(\displaystyle \mathcal{S}\) és az \(\displaystyle \mathcal{A}\) síkok \(\displaystyle f'\) metszésvonalán.

2. ábra

Kivéve azt az esetet, amikor \(\displaystyle f\) metszi \(\displaystyle m\)-et, hiszen ekkor e két egyenes \(\displaystyle Q\) metszéspontjának nem lesz képe \(\displaystyle \mathcal{V}\)-n. De \(\displaystyle f'\)-nek sem kapjuk meg minden pontját, hiszen az az \(\displaystyle R\) pont, amelyre az \(\displaystyle R\)-en és \(\displaystyle E\)-n átmenő egyenes párhuzamos az \(\displaystyle \mathcal{A}\) síkkal, semelyik \(\displaystyle f\)-en lévő pontnak nem lesz a képe.

Szeretnénk a \(\displaystyle Q\) és az \(\displaystyle R\) pontok kivételes szerepét – vagyis azt, hogy \(\displaystyle Q\)-nak nincs képe, \(\displaystyle R\)-nek pedig nincs „őse” a \(\displaystyle \Phi \) leképezés szerint – megszüntetni. Mivel alkalmas „képpont”, illetve „ős pont” nincs a \(\displaystyle \mathcal{V}\), illetve az \(\displaystyle \mathcal{A}\) síkon, ezért ezt csak úgy tudjuk megtenni, ha újabb, képzeletbeli, „ideális” pontokat veszünk a síkokhoz. Hogy ezt hogyan tegyük, arra ötletet ad, ha észrevesszük, hogy ha a \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle f\) egyenesen tart a \(\displaystyle Q\) ponthoz, akkor a képe – \(\displaystyle P'\) – valamelyik irányban kiszalad a végtelenbe. Hogy melyik irányban, az attól függ, hogy \(\displaystyle P\)-vel egyik vagy másik oldaláról tartunk-e \(\displaystyle Q\)-hoz. Ennek mintegy fordítottjaként, ha \(\displaystyle P\)-vel az \(\displaystyle f\) egyenes mentén kiszaladunk a végtelenbe (teljesen mindegy, hogy melyik irányban), akkor viszont a \(\displaystyle P'\) képpont az \(\displaystyle R\) ponthoz fog tartani. Ha tehát az \(\displaystyle f\) és az \(\displaystyle f'\) egyenest is kiegészítjük egy-egy \(\displaystyle F_\infty\), illetve \(\displaystyle F'_\infty\) ,,végtelen távoli'' ponttal, akkor \(\displaystyle \Phi \)-t kiterjeszthetjük úgy, hogy minden pont képe maradjon ugyanaz, mint eddig, de a \(\displaystyle Q\)-nak is legyen képe, mégpedig az \(\displaystyle F'_\infty\), és az \(\displaystyle R\)-nek is legyen őse, mégpedig az \(\displaystyle F_\infty\). Ez a \(\displaystyle \Phi \) már kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle f'\) – „végtelen távoli” pontokkal kibővített – egyenesek között.

Csatoljunk tehát minden euklidészi egyeneshez egy ,,végtelen távoli'' pontot. Ha \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) az \(\displaystyle \mathcal{A}\) sík két egyenese, akkor a velük párhuzamos, \(\displaystyle E\)-n átmenő \(\displaystyle f_0\) és \(\displaystyle g_0\) egyenesek pontosan akkor egyeznek meg, ha \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) párhuzamosak. Azaz két egyeneshez pontosan akkor kell ugyanazt a ,,végtelen távoli'' pontot csatolnunk, ha az egyenesek párhuzamosak. Ez a szabály a \(\displaystyle Q\) ponton átmenő egyenesek esetén is működik, olyan értelemben, hogy ha az \(\displaystyle \mathcal{A}\) sík \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) egyenesei átmennek \(\displaystyle Q\)-n, akkor a \(\displaystyle \mathcal{V}\) síkon lévő képeik párhuzamosak az \(\displaystyle EQ\) egyenessel, és így egymással is.

3. ábra		4. ábra

Az egyenesek ,,végtelen távoli'' pontjai nem az euklidészi tér pontjai, ahogy a matematikában sok helyen használt \(\displaystyle + \infty\) és \(\displaystyle - \infty\) szimbólumok sem valós számok. Mivel a ,,végtelen távoli'' pontok nem az euklidészi térben helyezkednek el, így nem lehet „megfogni” azokat. Emiatt a ,,végtelen távoli'' pontokat ideális pontoknak is szokták nevezni, utalva e pontok gondolatiságára. Ha az euklidészi tér pontjait meg akarjuk különböztetni az ideális pontoktól, akkor közönséges pontoknak nevezzük őket.

Mivel \(\displaystyle \Phi \) kiterjesztése az \(\displaystyle m\) egyenest pontonként a \(\displaystyle \mathcal{V}\) sík ideális pontjaiba viszi, ezért bevezetjük a \(\displaystyle \mathcal{V}\) sík \(\displaystyle m'\) ideális egyenesét, amelyre gondolhatunk úgy, mint a \(\displaystyle \mathcal{V}\) sík ideális pontjainak összességére, és úgy is, mint az \(\displaystyle m\) egyenes \(\displaystyle \Phi \) szerinti képére. Ennek az egyenesnek nincs közönséges pontja.

Megfordítva pedig ha \(\displaystyle \mathcal{A}\) ideális egyenesét, \(\displaystyle h\)-t tekintjük, akkor ez nem más, mint \(\displaystyle \mathcal{A}\) ideális pontjainak az összessége, tehát amiket a kibővített \(\displaystyle \Phi\) az \(\displaystyle E\)-n átmenő, \(\displaystyle \mathcal{A}\)-val párhuzamos \(\displaystyle \mathcal{A}'\) sík és a \(\displaystyle \mathcal{V}\) sík \(\displaystyle n\) metszésvonalába visz. Vagyis \(\displaystyle h\) képe \(\displaystyle n\).

Az ideális pontokkal és ideális egyenessel kiegészített \(\displaystyle \mathcal{A}\) és \(\displaystyle \mathcal{V}\) síkok közt tehát a \(\displaystyle \Phi \) középpontos vetítés kiterjesztése egy olyan kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés a két sík pontjai közt, ami egyenest egyenesbe visz és illeszkedéstartó, vagyis ha \(\displaystyle \mathcal{A}\) egy pontja rajta van \(\displaystyle \mathcal{A}\) egy egyenesén, akkor a képpont rajta van az egyenes képén.

A projektív geometria a geometriának az az ága, amely az alakzatoknak a középpontos vetítéskor megmaradó tulajdonságait vizsgálja. Mivel a távolságok és szögek a vetítésnél megváltozhatnak, az euklidészi geometriában fontos fogalmak egy része idegen a projektív geometriától. Mivel a középpontos vetítésnél közönséges pontok ideális pontokba képződhetnek és ideális pontok képe lehet közönséges is, ezért a projektív geometriában a közönséges és ideális pontokat egyenrangúnak tekintjük. Ebből adódik a projektív geometria egy másik fontos vonása, a párhuzamosság fogalmának eltűnése. (Az euklideszi geometriában például két egyenes párhuzamos volt, ha egy síkban voltak és nem volt közös pontjuk. A projektív geometriában ha két egyenes egy síkban van, akkor biztosan van – vagy közönséges vagy ideális – közös pontjuk.)

A klasszikus projektív sík illeszkedési tulajdonságai

A továbbiakban (klasszikus) projektív síknak nevezzük az ideális pontokkal és az ideális egyenessel kibővített euklidészi síkot. A projektív síkon a pontok és egyenesek illeszkedési tulajdonságait a következő táblázatban foglalhatjuk össze.

ILLESZKEDÉS	közönséges pont	ideális pont
közönséges egyenes	pontosan akkor, amikor az euklidészi síkon	akkor, ha az egyenes benne van a megfelelő párhuzamossági osztályban
ideális egyenes	soha	mindig

1. Tétel. A klasszikus projektív síkon

• [S1:] bármely két különböző pontnak egyértelműen létezik összekötő egyenese;
• [S2:] bármely két különböző egyenesnek egyértelműen létezik metszéspontja.

Bizonyítás. Az euklidészi sík jól ismert illeszkedési tulajdonságait használjuk. Az első állítás esetén három esetet különböztetünk meg:

• Ha két közönséges pontunk van, akkor az euklidészi síkon egyértelműen létezik közönséges összekötő egyenesük, az ideális egyenes pedig egyikükre sem illeszkedik.
• Ha egy közönséges pontunk, \(\displaystyle P\), és egy ideális pontunk, \(\displaystyle I\), adott, akkor az euklidészi síkon egyértelműen létezik \(\displaystyle P\)-n átmenő, az \(\displaystyle I\) által meghatározott párhuzamossági osztályba tartozó egyenes, az ideális egyenes pedig nem illeszkedik \(\displaystyle P\)-re.
• Ha két ideális pontunk van, akkor az ideális egyenes megfelelő, közönséges egyenes pedig nem kötheti össze őket, mert minden közönséges egyenes pontosan egy ideális pontra illeszkedik.

A második rész bizonyításánál is három esetet különböztetünk meg:

• Ha két közönséges egyenes metsző az euklidészi síkon, akkor különböző párhuzamossági osztályokba tartoznak, tehát nincs közös ideális pontjuk, viszont egyértelműen létezik közönséges metszéspontjuk.
• Két közönséges egyenesnek, amelyek párhuzamosak az euklidészi síkon, nincs közös közönséges pontjuk, viszont ugyanaz az ideális pontjuk.
• Egy közönséges egyenesnek, \(\displaystyle e\)-nek, és az ideális egyenesnek nincs közönséges metszéspontja, mert az ideális egyenes nem tartalmaz egyetlen közönséges pontot sem, viszont pontosan egy közös ideális pontjuk van, az \(\displaystyle e\) ideális pontja.   \(\displaystyle \Box\)

Érdemes észrevennünk, hogy S1-ből megkapjuk S2-t, és viszont, S2-ből megkapjuk S1-et, ha az állításokban a pontok és az egyenesek szerepét felcseréljük.

A klasszikus projektív tér illeszkedési tulajdonságai

Az euklidészi tér minden síkján elvégezhetjük a kiegészítést az ideális pontokkal és a síkhoz rendelt ideális egyenessel. A projektív síkon két egyeneshez akkor rendeltük ugyanazt az ideális pontot, ha párhuzamosak voltak. Ezt a tér esetén is így definiáljuk. Ebből az is következik, hogy párhuzamos síkokhoz ugyanazt az ideális egyenest rendeljük, mert két sík pontosan akkor párhuzamos, ha az egyiken lévő bármelyik egyenessel van párhuzamos egyenes a másik síkon is. Tehát két különböző sík ideális egyenese akkor és csak akkor egyezik meg, ha a két sík párhuzamos.

A továbbiakban klasszikus projektív térnek nevezzük az euklidészi tér kiterjesztését az előzőekben bevezetett ideális pontokkal és ideális egyenesekkel, valamint egy ideális síkkal, amit most vezetünk be. A tér összes ideális pontjából – és csak azokból – álló halmazt nevezzük így, amely tehát tartalmazza minden közönséges sík ideális egyenesét is. Definícióink alapján a klasszikus projektív térben

• egy ideális pont akkor és csak akkor illeszkedik egy ideális egyenesre, ha a pontnak megfelelő párhuzamossági egyenesosztály elemei párhuzamosak az egyenesnek megfelelő párhuzamossági síkosztály síkjaival;
• egy ideális egyenes akkor és csak akkor illeszkedik egy közönséges síkra, ha a közönséges sík benne van az ideális egyenesnek megfelelő párhuzamossági síkosztályban.

2. Tétel. A klasszikus projektív térben

• [T1:] bármely két különböző pontnak egyértelműen létezik összekötő egyenese;
• [T2:] két különböző egyenes vagy egy síkban van és metszi egymást, vagy kitérő;
• [T3:] ha három pont nincs egy egyenesen, akkor pontosan egy sík illeszkedik rájuk;
• [T4:] ha egy sík nem tartalmaz egy egyenest, akkor a síknak és az egyenesnek pontosan egy közös pontja van;
• [T5:] bármely két különböző sík metszete egy egyenes.

Az 1. Tételhez hasonlóan az euklidészi tér illeszkedési tulajdonságait felhasználva ezeket az állításokat is lehet esetszétválasztással bizonyítani. Ezt a hosszadalmas, de nem nehéz munkát feladatnak hagyjuk. Cikkünk végén lineáris algebrai eszközöket felhasználva megadjuk majd a tétel egy rövid bizonyítását.

A következőkben a 2. Tétel felhasználásával bebizonyítunk két egyszerűbb állítást, majd pedig a projektív geometria egyik alapvető tételét, a Desargues-tételt.

3. Tétel. Ha a projektív térben három sík páronkénti metszésvonalai nem esnek egybe, akkor a három metszésvonal egy ponton megy át.

Bizonyítás. Legyen a három sík \(\displaystyle S_1,\) \(\displaystyle S_2\) és \(\displaystyle S_3\), az \(\displaystyle S_1\) és \(\displaystyle S_2\) metszésvonalát jelölje \(\displaystyle e_3,\) az \(\displaystyle S_2\) és \(\displaystyle S_3\) metszésvonalát \(\displaystyle e_1\), \(\displaystyle S_1\) és \(\displaystyle S_3\)-ét pedig \(\displaystyle e_2\). Mivel az \(\displaystyle e_1\) és \(\displaystyle e_2\) egyenesek benne vannak \(\displaystyle S_3\)-ban, ezért a T2 tulajdonság miatt létezik a \(\displaystyle P=e_1\cap e_2\) pont. A \(\displaystyle P\) pont rajta van az \(\displaystyle e_1\) egyenesen, ezért benne van az \(\displaystyle S_2\) síkban, de az \(\displaystyle e_2\) egyenesen is rajta van, ezért benne van az \(\displaystyle S_1\) síkban is. A T5 tulajdonság miatt \(\displaystyle S_1\) és \(\displaystyle S_2\) közös pontjai megegyeznek \(\displaystyle e_3\) pontjaival, azaz \(\displaystyle P\) rajta van az \(\displaystyle e_3\) egyenesen is, tehát a három egyenes egy ponton megy át.   \(\displaystyle \Box\)

Érdemes megjegyezni, hogy a 3. Tétel jól láthatóan mutatja a projektív geometria előnyét az euklidészi geometriával szemben az illeszkedési tulajdonságok vizsgálatánál. A tétel euklidészi változatát úgy kapjuk, hogy megkülönböztetjük azt a két esetet, amikor a síkok metszésvonalainak közös pontja közönséges, illetve ideális pont:

3'. Tétel. Ha az euklidészi térben három sík páronkénti metszésvonalai nem esnek egybe, akkor a három metszésvonal vagy egy ponton megy át, vagy párhuzamos.

Ennek a tételnek az ideális térelemek bevezetése nélküli szép, de hosszadalmas bizonyítása (majd pedig ennek felhasználásával Desargues tételének egy bizonyítása) található a [4] cikkben.

4. Tétel (Veblen–Young-lemma). Ha a projektív térben az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle CD\) egyenesek metszik egymást, akkor az \(\displaystyle AC\) és a \(\displaystyle BD\) egyenesek is metszik egymást.

Bizonyítás. A T2 és T3 tulajdonságok alapján az egymást metsző \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) egyenesekhez egyértelműen létezik a mindkettőjüket tartalmazó \(\displaystyle S\) sík. Az \(\displaystyle S\) sík az \(\displaystyle AC\) és a \(\displaystyle BD\) egyeneseknek is legalább két pontját tartalmazza, ezért a T4 tulajdonság miatt mindkét egyenes teljes egészében \(\displaystyle S\)-ben van. Ha viszont két egyenes egy síkban van, akkor a T2 tulajdonság miatt metszik egymást.   \(\displaystyle \Box\)

Desargues tételének kimondásához szükségünk van a perspektív háromszögek fogalmának bevezetésére.

Definíció. A \(\displaystyle P_1P_2P_3\) és \(\displaystyle R_1R_2R_3\) csúcsokkal adott háromszögek az \(\displaystyle E\) pontra nézve perspektívek, ha a \(\displaystyle P_1R_1\), \(\displaystyle P_2R_2\) és \(\displaystyle P_3R_3\) egyenesek mindegyike átmegy az \(\displaystyle E\) ponton.

A \(\displaystyle p_1p_2p_3\) és \(\displaystyle r_1r_2r_3\) oldalegyenesekkel adott háromszögek az \(\displaystyle e\) egyenesre nézve perspektívek, ha a \(\displaystyle p_1\cap r_1\), \(\displaystyle p_2\cap r_2\) és \(\displaystyle p_3\cap r_3\) pontok mindegyike létezik és rajta van az \(\displaystyle e\) egyenesen.

5. ábra		6. ábra

A definíció feltételezi, hogy a két háromszög csúcsai, illetve oldalai között van egy rögzített megfeleltetés, de nem teszi fel, hogy a háromszögek egysíkúak lennének.

Desargues tétele. Két háromszög akkor és csak akkor perspektív egy pontra nézve, ha perspektív egy egyenesre nézve.

Most a tételnek csak az egyik irányát bizonyítjuk be, a másik irány bizonyítására cikkünk második részében kerül majd sor. Azt mutatjuk meg, hogy ha két háromszög perspektív egy pontra nézve, akkor perspektív egy egyenesre nézve is.

7. ábra

Először abban az esetben bizonyítjuk be az állítást, amikor az \(\displaystyle E\) pontra nézve perspektív \(\displaystyle P_1P_2P_3\) és \(\displaystyle R_1R_2R_3\) háromszögek két különböző síkban vannak.

Legyen \(\displaystyle \Pi\) és \(\displaystyle \Pi'\) ez a két különböző sík, metszésvonaluk pedig az \(\displaystyle e\) egyenes. A \(\displaystyle P_iP_j\cap R_iR_j\) (\(\displaystyle i,j\in \{ 1,2,3\}\)) metszéspontok a Veblen–Young-lemma miatt léteznek, mert a \(\displaystyle P_1R_1\), \(\displaystyle P_2R_2\) és \(\displaystyle P_3R_3\) egyenesek az \(\displaystyle E\) pontban metszik egymást. Ezek a metszéspontok rajta vannak egyrészt a \(\displaystyle \Pi \) síkon, mert a \(\displaystyle P_iP_j\) egyenes \(\displaystyle \Pi\)-beli, másrészt a \(\displaystyle \Pi'\) síkon is, mert az \(\displaystyle R_iR_j\) egyenes pedig \(\displaystyle \Pi'\)-beli. Tehát a metszéspontok rajta vannak a két sík metszésvonalán, az \(\displaystyle e=\Pi\cap \Pi'\) egyenesen (7. ábra).

Most tegyük fel, hogy az \(\displaystyle E\) pontra nézve perspektív \(\displaystyle P_1P_2P_3\) és \(\displaystyle R_1R_2R_3\) háromszögek ugyanabban a \(\displaystyle \Pi\) síkban vannak. Legyen \(\displaystyle f\) egy olyan \(\displaystyle E\)-n átmenő egyenes, ami nincs benne \(\displaystyle \Pi\)-ben. Vegyünk fel az \(\displaystyle f\) egyenesen két \(\displaystyle E\)-től különböző pontot, \(\displaystyle F\)-et és \(\displaystyle G\)-t. Mivel az \(\displaystyle FR_i\) és a \(\displaystyle GP_i\) (\(\displaystyle i=1\), 2, 3) egyenesek benne vannak az \(\displaystyle f\) és a \(\displaystyle P_iR_i\) egyenesek által meghatározott síkban, ezért a Veblen–Young-lemma miatt metszik egymást. Legyen \(\displaystyle O_i=FR_i\cap GP_i\). Ekkor a \(\displaystyle P_1P_2P_3\) és \(\displaystyle O_1O_2O_3\) háromszögek \(\displaystyle G\)-re nézve, az \(\displaystyle R_1R_2R_3\) és \(\displaystyle O_1O_2O_3\) háromszögek pedig \(\displaystyle F\)-re nézve perspektívek (8. ábra).

8. ábra

Az \(\displaystyle O_1O_2O_3\) háromszög nincs benne a \(\displaystyle \Pi \) síkban, mert ha benne lenne, akkor az \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\) pontok is \(\displaystyle \Pi \)-ben lennének. Tehát a különböző síkokban lévő háromszögekre vonatkozó, már bizonyított állítás alapján ha \(\displaystyle i, j \in \{1, 2, 3\}\) és \(\displaystyle i \neq j\), akkor a \(\displaystyle P_iP_j\cap O_iO_j\) pontok is és az \(\displaystyle R_iR_j\cap O_iO_j\) pontok is egy egyenesen vannak. Viszont az \(\displaystyle O_1O_2O_3\) háromszög bármely oldalegyenesének csak egy pontja van \(\displaystyle \Pi \)-ben, ezért ezek a döféspontok megegyeznek ezen oldalegyenesek és a \(\displaystyle P_1P_2P_3\), valamint az \(\displaystyle R_1R_2R_3\) háromszögek megfelelő oldalegyeneseinek metszéspontjaival. Ezek szerint viszont a \(\displaystyle P_1P_2\cap R_1R_2\), \(\displaystyle P_2P_3\cap R_2R_3\) és \(\displaystyle P_3P_1\cap R_3R_1\) pontok ugyanezek a metszéspontok, ezért a \(\displaystyle P_1P_2P_3\) és \(\displaystyle R_1R_2R_3\) háromszögek egyenesre nézve is perspektívek.   \(\displaystyle \Box\)

Desargues tételének fontos szerepe van a projektív geometria több területén. Szorosan kapcsolódik különböző kollineációk (a sík pontjainak olyan permutációi, amelyek egyeneseket egyenesekbe visznek) létezéséhez, valamint az absztrakt projektív síkok algebrai struktúrákkal való leírásához. Az első témakörről a [3] cikkben, a másodikról pedig a [2] könyv 2. és 3. fejezetében és a [7] cikkben talál részletes leírást az érdeklődő olvasó. Érdemes megemlítenünk, hogy Desargues tételét nem lehet csak a projektív síkok S1 és S2 illeszkedési tulajdonságait felhasználva bizonyítani, vannak olyan absztrakt projektív síkok, amelyeken nem igaz Desargues tétele.

Irodalomjegyzék

[1] Csikós B. és Kiss Gy.: Projektív geometria, Polygon Kiadó, Szeged, 2011.

[2] Kiss Gy. és Szőnyi T.: Véges geometriák, Polygon Kiadó, Szeged, 2001.

[3] Kiss Gy.: Desargues tétele, Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok 57 (2007), 130–137.

[4] Kós G.: Térbe kilépő bizonyítások I, Projektív geometriai tételek, Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok 69 (2019), 389–397.

[5] Kós R.: Kúpszeletek és Dandelin gömbjeik, Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, https://www.komal.hu/cikkek/dandelin/dandelin.h.shtml

[6] Reiman I.: Geometria és határterületei, Gondolat Kiadó, Budapest, 1999.

[7] Schmidt T.: Geometriai terek az algebra szemszögéből, Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok 54 (2004), 199–206.

A cikk II. része ITT olvasható.