Tatár Zsuzsanna Mária (Esztergom)
1. Határozza meg a természetes számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amely értelmezési tartománya lehet az alábbi kifejezéseknek.
a) \(\displaystyle \log_x(-2x^2-7x+15)\) (6 pont)
b) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-2x}{-2x^2- 7x+15}}\) (6 pont)
Jócsik Csilla (Győr)
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
Az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium matematika munkaközössége
1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \)
2. a) Tízes számrendszerben hány jegyű szám az \(\displaystyle 5^{29}\)?
b) Egy mértani sorozat első tagja \(\displaystyle 5^{-29}\), kvóciense 5. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell ...
Kozma Katalin Abigél
1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám?
2. Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\).
Németh László (Fonyód)
Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket.
a) \(\displaystyle \dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x+1}{x+1}=\dfrac{3x+5}{x^{2}-1}\), (5 pont)
b) \(\displaystyle \cos 2x+2\sin x+3=0\). (5 pont)
Bíró Bálint
1. a) Oldja meg a valós számok halmazán a \(\displaystyle \cos\Bigl(\dfrac{\pi}{6}\cos{x}\Bigr)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) egyenletet. (5 pont)
b) Határozza meg a \(\displaystyle px+ry=28\) egyenletben szereplő \(\displaystyle p\), \(\displaystyle r\) pozitív prímszámokat, ha az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számpár a \(\displaystyle \sqrt{3x+y+5}=4x-20\); \(\displaystyle x^2+y=29\) egyenletrendszer megoldása. (7 pont)
Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
Megoldás. Az értelmezési tartomány a logaritmikus kifejezés miatt \(\displaystyle 9-x>0\), így \(\displaystyle x<9\), továbbá a négyzetgyökös kifejezés miatt \(\displaystyle x^2-5x-14\ge 0\), amiből \(\displaystyle x\leq -2\) vagy \(\displaystyle x\geq 7\) ...
Kozma Katalin Abigél (Győr)
1. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket.
Polák Péter, Budapest
1. a) Egy számtani sorozat három egymást követő tagja (ebben a sorrendben): \(\displaystyle y\), \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle 4x-5\). Határozza meg ezeket a számokat, ha összegük \(\displaystyle 1500\).
b) Hány olyan mértani sorozat van, amelynek első \(\displaystyle 5\) tagja között szerepel a \(\displaystyle 2\), a \(\displaystyle 8\) és a \(\displaystyle 32\), ha számít a tagok sorrendje is?
c) Rendezze növekvő sorrendbe az alábbi halmazok számosságát! Válaszát indokolja!
\(\displaystyle A=\{\text{Az }x^2+2x+1=2\text{ egyenlet racionális megoldásai}\}\);
\(\displaystyle B=\{\text{A~\(\displaystyle 40\) pozitív osztói}\}\);
\(\displaystyle C=\left\{n \;\Big|\; 3^{-n+1}>\dfrac{1}{27^3}, n\in\mathbb{N}\right\}\). (5 pont)
2. a) Bizonyítsa be az alábbi állítást:
,,Ha egy derékszögű háromszög mindhárom oldalának hossza pozitív egész szám, akkor az átfogóhoz tartozó magasságának hossza racionális.''
b) Írja fel az a) feladatban szereplő állítás megfordítását, és döntse el róla, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!
c) Összeadtuk \(\displaystyle 27\) különböző prímszám négyzetét, és eredményül \(\displaystyle 155\;787\)-et kaptunk. Szerepelhetett-e a prímek között a 3?
Horváth Eszter, Budapest
1. a) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert:
b) Egy kétjegyű szám \(\displaystyle 5\)-tel osztva \(\displaystyle 2\)-t, \(\displaystyle 6\)-tal osztva \(\displaystyle 3\)-at, \(\displaystyle 9\)-cel osztva \(\displaystyle 6\)-ot ad maradékul. Melyik ez a kétjegyű szám?
2. Szatmári Ferenc családjával egy meleg nyári napon autóval Budapestről Kisvárdára utazott. \(\displaystyle 7\) óra \(\displaystyle 50\) perckor indult. \(\displaystyle 25\) perc alatt, \(\displaystyle 12~\mathrm{km}\)-t haladva érte el az M3-as autópályát. \(\displaystyle 10\) óra \(\displaystyle 55\) perckor a 403-as útra tért le az autópályáról, majd \(\displaystyle 40~\mathrm{km}\) megtétele után, összesen \(\displaystyle 284\) kilométert vezetve \(\displaystyle 11{:}35\) perckor ért Kisvárdára.
a) Mekkora volt az autó átlagsebessége az autópályán? (3 pont)
Az M3-ason öt alkalommal összesen \(\displaystyle 20~\mathrm{km}\)-en volt útjavítás miatt sebességkorlátozás. Ezeken a szakaszokon a megengedett maximális sebesség \(\displaystyle 80~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) volt, de az autósok ezeken a szakaszokon csak \(\displaystyle 50~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel tudtak vezetni.
Tatár Zsuzsanna Mária, Esztergom
a) \(\displaystyle \log_x(-2x^2-7x+15)\); b) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-2x}{-2x^2- 7x+15}}\).
Megoldás. a) Az alap miatt \(\displaystyle x>0\) és \(\displaystyle x\ne1\), az argumentum miatt \(\displaystyle -2x^2-7x+15>0\). Az egyenlőtlenség megoldása \(\displaystyle -5<x<1{,}5\), ezért a természetes számok halmazán nincs értelmezve a kifejezés, hiszen \(\displaystyle x\neq1\) és \(\displaystyle x\neq0\).
b) A négyzetgyök definíciója miatt \(\displaystyle {\dfrac{x^2-2x}{-2x^2+9x-9}}\geq0\). A számláló pozitív, ha \(\displaystyle x<0\), vagy \(\displaystyle x>2\), negatív, ha \(\displaystyle 0<x<2\), nulla az értéke, ha \(\displaystyle x=0\) vagy \(\displaystyle x=2\). A nevező pozitív, ha \(\displaystyle -5<x<1{,}5\), negatív, ha \(\displaystyle x<-5\), vagy \(\displaystyle x>1{,}5\). Ezért a kifejezés a következő természetes számokon értelmezhető: \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 2\). Ekvivalens átalakításokat végeztünk.
(9 pont)
b) Egy kétjegyű szám \(\displaystyle 5\)-tel osztva \(\displaystyle 2\)-t, \(\displaystyle 6\)-tal osztva \(\displaystyle 3\)-at, \(\displaystyle 9\)-cel osztva \(\displaystyle 6\)-ot ad maradékul. Melyik ez a kétjegyű szám? (5 pont)
