Az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium matematika munkaközössége
1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \qquad\qquad (13~pont) \)
2. a) Tízes számrendszerben hány jegyű szám az \(\displaystyle 5^{29}\)? (3 pont)
b) Egy mértani sorozat első tagja \(\displaystyle 5^{-29}\), kvóciense 5. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell összeszorozni ebben a sorozatban, hogy a szorzat értéke elérje \(\displaystyle 5^{29}\)-t? (8 pont)
c) Apáczai Csere János éppen 400 éve született. Írja fel a tudós születési évszámát ötös számrendszerben! (2 pont)
3. Egy 34-fős osztályban senki sem született februárban.
a) Bizonyítsa be, hogy van olyan hónap, amelyben az osztályból legalább négy diák született! (3 pont)
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy lesz két olyan diák ebben az osztályban, aki ugyanazon a napon született? (6 pont)
c) Az iskolához közeli fagyizóban tízféle fagylaltot árulnak. Legalább hányszor kellett a teljes osztálynak elmennie a fagyizóba, ha biztosak lehetünk abban, hogy a fagyizások alatt volt két pontosan ugyanolyan rendelés, ha mindenki legfeljebb két gombóc fagyit vehet? (Két fagyirendelés különböző, ha a két tölcsérben az alsó vagy a felső gombóc íze eltér rendelésekben.) (5 pont)
4. Egy osztály nyári buliján az osztály egy része a strandon a büfében vásárol. Lujzi csak egy lángost vesz magának, de kifizeti Sanyi, Szöszi, Kati és Béla tea-sültkrumpli menüjét is (négy teát és négy sültkrumplit), ezért végül \(\displaystyle 7130~\mathrm{Ft}\)-ot fizet. Jani is összegyűjtött pár rendelést, nyolc teát, öt lángost és két sültkrumplit vesz, amiért \(\displaystyle 12\;790~\mathrm{Ft}\)-ot fizet. Armand csak Zsuzsit és Amandát hívja meg most, azt tervezi, vesz mindhármuknak egy-egy teát, sültkrumplit, lángost, de rájön, hogy ő így éhes maradna, így végül hozzácsap még a rendeléshez két sültkrumplit; egy tízezressel fizet, és még vissza is kap \(\displaystyle 230~\mathrm{Ft}\)-ot.
a) Mennyibe kerül a tea, a lángos és a sültkrumpli ebben a büfében? (8 pont)
b) Hányféle sorrendben adhatják ki a kiadópulton az előbb kifizetett összes italt és ételt, ha az azonos termékek között nem teszünk különbséget? (3 pont)
5. Az \(\displaystyle \mathbf{a}\) és \(\displaystyle \mathbf{b}\) vektorokra teljesül, hogy \(\displaystyle \lvert\mathbf{a}\rvert=\lvert\mathbf{b}\rvert=\lvert\mathbf{a}+\mathbf{b}\rvert=1\).
a) Mekkora \(\displaystyle \mathbf{a}\) és \(\displaystyle \mathbf{b}\) vektorok skaláris szorzata? (4 pont)
b) Mekkora \(\displaystyle 2\mathbf{a}+\mathbf{b}\) vektor abszolútértéke? (4 pont)
Adott az \(\displaystyle \mathbf{a}(3;4)\) vektor. Az origó középpontú \(\displaystyle 6\) egység sugarú kör \(\displaystyle \mathbf{a}\) vektorral párhuzamos érintője az \(\displaystyle y\) tengelyt a \(\displaystyle (0;p)\) pontban metszi.
c) Adja meg \(\displaystyle p\) lehetséges értékeit! (8 pont)
6. Zsigri tanár úr egy magánnyugdíj-megtakarítási konstrukcióban vesz részt: 2001 első banki napján, és azóta is minden hónap első banki napján befizetett \(\displaystyle 40\;000~\mathrm{Ft}\)-ot. A nyugdíjpénztár mindvégig havi \(\displaystyle 0{,}4\%\)-os kamatot biztosít. Az állam, hogy támogassa az öngondoskodást, az adott évben befizetett összeg \(\displaystyle 5\%\)-át, de legfeljebb évi \(\displaystyle 25\;000~\mathrm{Ft}\)-ot, a következő év első banki napján befizeti a pénztártag számlájára.
a) Mekkora összeg lesz a tanár úr számláján 2026 első banki napján? (2026-ban már nem fizet be tanár úr és már nem is számol kamatot a bank, csak az állami jóváírást 2025-re.) (7 pont)
A 2026-ra összegyűlt pénz egy részéből Zsigri tanár úr világkörüli utazásba kezd, de 12 millió Ft-ot a számlán hagy majd, hogy abból havi állandó összegű nyugdíj kiegészítést kapjon pont 20 éven keresztül. (A pénztár minden hónap első napján jóváírja a kamatot, majd díjmentesen átvezeti a tanár úr normál bankszámlájára a nyugdíjkiegészítés összegét.)
b) Mekkora havi nyugdíjkiegészítéssel számolhat ebből a tanár úr, ha a pénztár továbbra is fix \(\displaystyle 0{,}4\%\)-os havi kamatot biztosít a számlán maradó pénzre? (6 pont)
Minden egyes évben \(\displaystyle 0{,}002\) annak a valószínűsége, hogy ez a nyugdíjpénztár kamatot csökkent.
c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a teljes folyamat 45 éve alatt egyszer sem fog kamatot csökkenteni a pénztár? (3 pont)
7. Egy szellemvasút olyan szörnyszáj alakú cégért készít, amely terveinek határvonalait a koordináta-rendszerben az \(\displaystyle y=x+5\) egyenletű egyenes, illetve az
\(\displaystyle f(x)=2x^2-4x+2\quad \text{és a}\quad g(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{13}{8} x+\frac{3}{4} \)
függvények görbéi határozzák meg.
Hány deciliter piros festéket kell használni a nyelvhez és hány deciliter szürke festéket a száj belsejének befestéséhez, ha négyzetméterenként \(\displaystyle 7~\mathrm{dl}\) festék szükséges mindkét színből, és a koordináta-rendszer tengelyein a terveken az egységek valóságban \(\displaystyle 50~\mathrm{cm}\)-nek felelnek meg? (A fogakat egy fehér ledlámpa szolgáltatja majd, de az alatta lévő területet is befestik szürkére.) Válaszait egészre kerekítve adja meg! (16 pont)
8. Egy egyenlő szárú háromszög alapja \(\displaystyle 10\) egység, szárai \(\displaystyle 13\) egység hosszúak. A háromszögbe téglalapokat írunk, amelyeknek egyik oldala a háromszög alapjára esik, a másik két csúcsa pedig a háromszög egy-egy szárára.
a) Mekkora a téglalap területe, ha háromszög alapjára eső oldalhossza \(\displaystyle 8\) egység? (5 pont)
b) Mekkorák a maximális területű beírható téglalap oldalai? (5 pont)
A háromszöget kétféleképpen megforgatjuk: A) az alapja körül, B) az egyik szára körül.
c) Mekkora az A), illetve a B) esetben keletkezett testek felszíneinek aránya? Az arány pontos értékét adja meg! (6 pont)
9. Egy ellenőrzés során azt vizsgálták, hogy az \(\displaystyle 1~\mathrm{kg}\)-os csomagolású rizs tömege valójában mennyire tér el az \(\displaystyle 1000\) grammtól. Két sorozatban \(\displaystyle 8\)-\(\displaystyle 8\) mérést csináltak, az eredményeket az alábbi táblázatba foglalták.
a) Hány gramm az első méréssorozat átlaga és szórása? Válaszát egy tizedesjegy pontossággal adja meg! (3 pont)
b) Készítsen sodrófa (boxplot) diagramot az első méréssorozat adatairól! (5 pont)
A második méréssorozat szórása \(\displaystyle 1{,}5\) gramm.
c) Mi lehetett a táblázat hiányzó adata? (8 pont)
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket.
a) \(\displaystyle \dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x+1}{x+1}=\dfrac{3x+5}{x^{2}-1}\), (5 pont)
b) \(\displaystyle \cos 2x+2\sin x+3=0\). (5 pont)
1. Határozza meg a természetes számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amely értelmezési tartománya lehet az alábbi kifejezéseknek.
a) \(\displaystyle \log_x(-2x^2-7x+15)\) (6 pont)
b) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-2x}{-2x^2- 7x+15}}\) (6 pont)
1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám?
2. Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\).
A KöMaL 2025 szeptemberi számában (Tait tétele és a 3-reguláris gráfok – a B. 5403. feladat háttere) kimondtuk Tait alábbi tételét.
Tétel (Tait tétele). Legyen \(\displaystyle G\) egy 3-reguláris, hídélmentes, síkbarajzolt gráf. Ekkor \(\displaystyle G\) tartományai \(\displaystyle 4\)-színezhetők akkor és csak akkor, ha élei \(\displaystyle 3\)-színezhetők.
A tételben \(\displaystyle k\)-színezésen olyan színezést értünk, amely \(\displaystyle k\)-féle színt használ, és az egymással szomszédos tartományok (illetve élszínezés esetén az egy csúcsban találkozó élek) mindig különböző színűek.
A szeptemberi számba nem került be a tétel bizonyítása (azzal a céllal, hogy akinek van kedve, gondolkodhasson rajta), ezt most pótoljuk.
