Horváth Eszter, Budapest
1. a) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert:
(9 pont)
b) Egy kétjegyű szám \(\displaystyle 5\)-tel osztva \(\displaystyle 2\)-t, \(\displaystyle 6\)-tal osztva \(\displaystyle 3\)-at, \(\displaystyle 9\)-cel osztva \(\displaystyle 6\)-ot ad maradékul. Melyik ez a kétjegyű szám? (5 pont)
2. Szatmári Ferenc családjával egy meleg nyári napon autóval Budapestről Kisvárdára utazott. \(\displaystyle 7\) óra \(\displaystyle 50\) perckor indult. \(\displaystyle 25\) perc alatt, \(\displaystyle 12~\mathrm{km}\)-t haladva érte el az M3-as autópályát. \(\displaystyle 10\) óra \(\displaystyle 55\) perckor a 403-as útra tért le az autópályáról, majd \(\displaystyle 40~\mathrm{km}\) megtétele után, összesen \(\displaystyle 284\) kilométert vezetve \(\displaystyle 11{:}35\) perckor ért Kisvárdára.
a) Mekkora volt az autó átlagsebessége az autópályán? (3 pont)
Az M3-ason öt alkalommal összesen \(\displaystyle 20~\mathrm{km}\)-en volt útjavítás miatt sebességkorlátozás. Ezeken a szakaszokon a megengedett maximális sebesség \(\displaystyle 80~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) volt, de az autósok ezeken a szakaszokon csak \(\displaystyle 50~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel tudtak vezetni.
b) Ferenc úgy gondolta, hogy ha itt \(\displaystyle 120~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel haladhatott volna, akkor legalább fél órával hamarabb ért volna Kisvárdára. Igaza van-e Ferencnek? (3 pont)
A család három gyereke, Péter, Anna és Lilla az autó hátsó ülésén utazott, ahol szabály szerint három ember ülhet. Péter azt kérte, hogy ne ő üljön középre, nem szeret a két lány között utazni.
c) Hányféle módon ülhettek be a kocsi hátsó három ülésére, ha Péter kérését figyelembe vették? (3 pont)
Az erre a napra készült óránkénti időjárás-előrejelzést mutatja az Időkép applikáció grafikonja:
d) Mekkora az óránkénti hőmérsékleti értékek módusza, illetve mediánja ezen a napon? Mekkora az óránkénti adatok alapján az átlaghőmérséklet? (4 pont)
3. A \(\displaystyle 30\) fős \(\displaystyle 11\). a osztály tanulói sokféle nyári programon vettek rész. Többek között külföldre (\(\displaystyle K\)) utaztak, balatoni táborban (\(\displaystyle T\)) voltak, könnyűzenei fesztiválon (\(\displaystyle F\)) vettek részt. Az alábbi halmazábra mutatja, hogy melyik programon hány diák volt.
b) Véletlenszerűen kiválasztunk az osztály tanulói közül egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy volt külföldön vagy táborban, de nem vett részt fesztiválon? (3 pont)
A kötelező és ajánlott olvasmányok elolvasása nem mindig könnyű. Egy tanévben akár \(\displaystyle 15\) irodalmi alkotás is szerepelhet az olvasmányok listáján.
c) Egy \(\displaystyle 405\) oldalas kötelező olvasmányt Soma az alábbi terv szerint kíván elolvasni pontosan \(\displaystyle 15\) nap alatt. A második naptól kezdve minden nap egy oldallal többet olvas el, mint az előző nap. Hány oldal elolvasását tervezi az első napra és hányat a tizenötödikre? (5 pont)
Az egyik matematikaszakkörön 7 tanuló jelent meg. Matematikatanáruk beszélgetéssel szokta kezdeni a nyolcadik órában tartott szakkört.
d) Megkérdezte a jelenlévőktől, hogy hány embert hívtak fel mobiltelefonon az előző héten a jelenlévő diákok közül. Ezeket a számokat mondták: Péter \(\displaystyle 4\), Sári \(\displaystyle 1\), Balázs \(\displaystyle 0\), Sanyi \(\displaystyle 2\), Bori \(\displaystyle 2\), Ernő \(\displaystyle 4\), Miki \(\displaystyle 2\). Tanáruk erre azt mondta, valaki rosszul emlékszik. Mire alapozta a véleményét a matematikatanár? (2 pont)
4. Bizonyítsa be az alábbi állításokat:
a) \(\displaystyle \dbinom{2024}{10}+2\cdot\dbinom{2024}{11}+\dbinom{2024}{12}=\dbinom{2026}{12}\). (4 pont)
b) Ha \(\displaystyle n\) pozitív egész szám, akkor \(\displaystyle (n-1)!+n!+(n+1)!=(n+1)!\cdot \dfrac{n+1}{n}\). (4 pont)
c) \(\displaystyle \dfrac{3^{150}-{2\cdot 3}^{149}+3^{148}}{3^{147}+3^{146}}=9\). (4 pont)
5. a) Oldja meg a valós számok halmazán a \(\displaystyle \left(\sin(x)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\cos(x)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=0\) egyenletet. (7 pont)
b) Határozza meg az \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(\displaystyle x\mapsto \dfrac{1}{{\sin(x)}+2}\) függvény értékkészletét! (4 pont)
Egy üzletben négyféle zsebszámológépet árusítanak, \(\displaystyle 9500\), illetve \(\displaystyle 6100\) forintért PÖPEC típusút, \(\displaystyle 5800\), illetve \(\displaystyle 7100\) forintért SPICC típusút. Az üzlet statisztikája szerint a vevők \(\displaystyle 60\%\)-a PÖPEC márkát vásáról, \(\displaystyle 40\%\) SPICC-et választ. A PÖPEC számológépet vásárlók \(\displaystyle 40\%\)-a a drágább típust választja, a SPICC típus esetében \(\displaystyle 65\%\) dönt a drágább mellett.
c) A vásárlók hány százaléka vásárol \(\displaystyle 7000\) forintnál olcsóbb számológépet? (5 pont)
6. Értelmezzük az \(\displaystyle f\) függvényt az alábbi módon:
\(\displaystyle f\colon \left[0;4\right]\to \mathbb{R},\qquad x\mapsto \frac{1}{4}\left({x-4}\right)^2. \)
a) Határozza meg a függvény grafikonjának és a koordinátatengelyek közös pontjainak koordinátáit! (4 pont)
b) Mekkora az a terület, amelyet a függvény grafikonja és a koordinátatengelyek közrefognak? (6 pont)
c) Adja meg az \(\displaystyle f\) függvény inverzét! (6 pont)
7. Az \(\displaystyle e\) egyenes egyenlete \(\displaystyle 4x+3y=120\), az \(\displaystyle f\) egyenes egyenlete \(\displaystyle 3{x-4}y=-60\). Az \(\displaystyle ABCD\) négyszögben az \(\displaystyle A\) csúcs a \(\displaystyle (0;0)\) pont, a \(\displaystyle B\) csúcs az \(\displaystyle x\) tengelyen, a \(\displaystyle D\) csúcs az \(\displaystyle y\) tengelyen van. A \(\displaystyle BC\) oldal az \(\displaystyle e\) egyenesre, a \(\displaystyle CD\) oldal az \(\displaystyle f\) egyenesre illeszkedik.
a) Számítsa ki a négyszög \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) csúcsainak a koordinátáit! (4 pont)
b) Bizonyítsa be, hogy a négyszög húrnégyszög! (5 pont)
c) Írja fel a négyszög köré írható körének az egyenletét! (4 pont)
Az interneten találtunk egy \(\displaystyle 25\) feladatot tartalmazó gyakorló feladatsort. A feladatok közül \(\displaystyle 8\) a sorozatok, \(\displaystyle 6\) a függvények, \(\displaystyle 4\) a kombinatorika, \(\displaystyle 7\) a koordinátageometria témakörbe tartozik.
d) Találomra egyszerre választunk ezek közül öt feladatot úgy, hogy minden feladatot ugyanakkora eséllyel választunk ki. Mennyi a valószínűsége annak, hogy \(\displaystyle 3\) sorozatos és \(\displaystyle 2\) koordinátageometriai feladat lesz a választottak között? (3 pont)
8. Egy fenyőfatermesztéssel foglalkozó vállalkozás a \(\displaystyle 2025\) és \(\displaystyle 2027\) közötti három évre tervet készített. Becslésük szerint \(\displaystyle 2025\) szeptemberében \(\displaystyle 10\;000\) fenyőfájuk volt a területen. Minden évben október közepén \(\displaystyle 2000\) új fát akarnak elültetni és decemberben az állomány \(\displaystyle 10\%\)-át kivágni.
a) Összesen hány fa kivágását tervezik ebben a három évben? (5 pont)
Jelölje \(\displaystyle a_n\) az \(\displaystyle n\)-edik év végén, azaz a \(\displaystyle (2024+n)\)-es év végén a faállomány tervezett mennyiségét. Feltételezzük, hogy ugyanilyen elvek szerint gazdálkodnak a következő években is.
b) Adja meg az \(\displaystyle a_n\) sorozat általános tagját! (6 pont)
Az egyik piacon karácsony előtt évek óta háromféle fenyő verseng a vásárlók kegyeiért: a nordmannfenyő, a lucfenyő és az ezüstfenyő. A nordmannfenyőt \(\displaystyle 45\), a lucfenyőt \(\displaystyle 37\), míg az ezüstfenyőt a vásárlók \(\displaystyle 13\) százaléka választja. \(\displaystyle 5\) százalék más fenyőfajták részesedése az eladásokban.
c) Ha véletlenszerűen megkérdezünk hat fenyőfát vásárló embert, hogy milyen fát vett, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy közülük három nordmannfenyőt, kettő lucfenyőt és egy ezüstfenyőt vásárolt? A valószínűség értékét három tizedesjegy pontosággal adja meg. (Feltételezzük, hogy mindenki pontosan egy fenyőfát vásárolt.) (5 pont)
9. a) Oldja meg a valós számok halmazán a \(\displaystyle \lg\bigl(36+2^{\sqrt{3x}}\bigr)>2\) egyenlőtlenséget (7 pont)
b) Fogalmazza meg az alábbi állítás megfordítását! Döntse el, hogy igaz-e az állítás és annak megfordítása!
Ha egy valós szám nagyobb, mint \(\displaystyle 5\), akkor értelmezhető a valós szám tízes alapú logaritmusa. (3 pont)
Egy emelt szintű érettségi feladatsor II. részében öt feladat van, \(\displaystyle 5\)–\(\displaystyle 9\)-ig számozva. Ezekből csak négyet kell megoldania a vizsgázónak.
c) Egy \(\displaystyle 17\)-fős matematika csoportból mindenki emelt szinten írta az érettségi dolgozatát. Péter és Anna beszélgetnek:
Péter: Biztos, hogy közülünk legalább négy ember ugyanazt a feladatot hagyta ki.
Anna: Biztos, hogy volt olyan feladat, amelyet pontosan négyen hagytak ki.
Melyikük állítása igaz? Indokolja a választ! (4 pont)
Az alábbi táblázat mutatja, hogy az egyes feladatokat hányan választották és ha foglalkoztak vele, hányan oldották meg hibátlanul, \(\displaystyle 16\) pontra.
d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy dolgozatot véletlenszerűen kiválasztva a \(\displaystyle 17\) közül, abban azt látjuk, hogy az érettségiző a 8. feladatot \(\displaystyle 16\) pontra oldotta meg? (2 pont)
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \)
2. a) Tízes számrendszerben hány jegyű szám az \(\displaystyle 5^{29}\)?
b) Egy mértani sorozat első tagja \(\displaystyle 5^{-29}\), kvóciense 5. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell ...
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
