Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire (2026/4)

Polák Péter, Budapest

I. rész

1. a) Egy számtani sorozat három egymást követő tagja (ebben a sorrendben): \(\displaystyle y\), \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle 4x-5\). Határozza meg ezeket a számokat, ha összegük \(\displaystyle 1500\).   (4 pont)

b) Hány olyan mértani sorozat van, amelynek első \(\displaystyle 5\) tagja között szerepel a \(\displaystyle 2\), a \(\displaystyle 8\) és a \(\displaystyle 32\), ha számít a tagok sorrendje is?   (5 pont)

c) Rendezze növekvő sorrendbe az alábbi halmazok számosságát! Válaszát indokolja!

\(\displaystyle A=\{\text{Az }x^2+2x+1=2\text{ egyenlet racionális megoldásai}\}\);

\(\displaystyle B=\{\text{A~\(\displaystyle 40\) pozitív osztói}\}\);

\(\displaystyle C=\left\{n \;\Big|\; 3^{-n+1}>\dfrac{1}{27^3}, n\in\mathbb{N}\right\}\).   (5 pont)

2. a) Bizonyítsa be az alábbi állítást:

,,Ha egy derékszögű háromszög mindhárom oldalának hossza pozitív egész szám, akkor az átfogóhoz tartozó magasságának hossza racionális.''   (4 pont)

b) Írja fel az a) feladatban szereplő állítás megfordítását, és döntse el róla, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja!   (3 pont)

c) Összeadtuk \(\displaystyle 27\) különböző prímszám négyzetét, és eredményül \(\displaystyle 155\;787\)-et kaptunk. Szerepelhetett-e a prímek között a 3?

3. Egy táborban \(\displaystyle 90\) diák vett részt, akiket faházakban szállásoltak el. A faházak mindegyike négy-, nyolc- vagy kilencágyas volt, a nyolcágyasból pontosan öt darab. Miután a diákok elfoglalták a házakat, nem maradt üres ágy.

a) Érkezéskor a szállásadó odaadta az egyik kísérőtanárnak egyesével a kulcsokat. Először a négyágyasokét, utána a nyolcágyasokét, végül pedig a kilencágyasokét. Hányféle sorrendben tehette ezt meg, ha minden faháznak egy kulcsa van, és a kulcsok különbözőek?    (4 pont)

Egyik délután a diákok több különböző túralehetőségből választhattak. Összesen \(\displaystyle 6\) csoport alakult a \(\displaystyle 90\) főből. A hat csoport létszámáról a következőket tudjuk:

1. minden csoport létszáma osztható hattal,
2. van olyan csoport, amelyikben éppen feleannyian vannak, mint egy másikban,
3. a létszámoknak két módusza van, az egyik megegyezik a mediánnal,
4. terjedelme \(\displaystyle 30\).

b) Adja meg, hogy hány fő volt az egyes csoportokban!   (6 pont)

4. a) Tekintsük az alábbi pontokat a koordináta-rendszerben:

\(\displaystyle A(\log_3r; \log_35r); \qquad B\left(-\log_3\left(\frac{r}{3}\right); \log_{\frac{1}{3}}10\right) \qquad \text{és}\qquad C(\log_{r}1; \log_{r}1). \)

Mennyi \(\displaystyle r \in \mathbb{R}^+\setminus \{1\}\) értéke, ha tudjuk, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontja az \(\displaystyle S\big(\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\big)\) pontban van?   (5 pont)

b) Adott az \(\displaystyle f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), \(\displaystyle x \mapsto 2x^3+6x -6x^2 -2\) függvény. Adja meg annak a valós számokon értelmezett \(\displaystyle g(x)\) függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelyre \(\displaystyle g(f(x))=x\).   (4 pont)

c) Határozza meg a \(\displaystyle g\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), \(\displaystyle x \mapsto x^2+px+p\) függvény hozzárendelési szabályában a \(\displaystyle p\) nemnulla valós paraméter értékét úgy, hogy a \(\displaystyle g\) és az \(\displaystyle x \mapsto x+1\) lineáris függvény grafikonjainak pontosan egy metszéspontja legyen!   (6 pont)

II. rész

5. a) Egy szabályos hatszög alapú egyenes hasáb alap- és oldaléleinek hossza egyenlő. Ha térfogatának adott mértékrendszerben kifejezett mérőszámát elosztjuk a felszínének ugyanabban a mértékrendszerben kifejezett mérőszámával, akkor a hányados \(\displaystyle 1{,}392\). Hány egység hosszú a hasáb egy éle? Válaszát egészekre kerekítse!     (9 pont)

b) Egy hatszög alapú hasáb élei közül kiválasztunk hármat. Mennyi a valószínűsége, hogy a három él közül pontosan kettőnek van közös pontja?   (7 pont)

6. Egy marketingcég egy újfajta csokoládéról készít \(\displaystyle 100\) fős közvéleménykutatást. Először a termék ismerete nélkül, csak a neve alapján döntenek a résztvevők, hogy vennének-e ilyet. Ezután meg is kóstoltatják velük a terméket és újra megkérdezik tőlük, hogy megvennék-e. A két kérdésre adott válaszokat az alábbi táblázat mutatja:

a) Legfeljebb hány ember változtathatta meg a véleményét a termék megvásárlásáról a kóstolás hatására?   (4 pont)

b) Lehet-e, hogy éppen \(\displaystyle 42\) ember véleménye maradt változatlan a kóstolás hatására?   (4 pont)

Ugyanez a cég szervezi egy társasjáték reklámkampányát is. A játék egyik tartozéka egy szabályos ikozaéder. Ennek 20 oldallapja van, és a feldobása után bármelyikre ugyanakkora valószínűséggel esik. A lapokon csak \(\displaystyle 4\)-es, \(\displaystyle 7\)-es és \(\displaystyle 11\)-es szám szerepel (mindegyiken pontosan egy). A szabálykönyvben egy helyen ezt írják: ,,a három számból kettő dobási valószínűsége ugyanannyi, és a dobás eredményének várható értéke \(\displaystyle 7{,}35\)''.

c) Hány \(\displaystyle 4\)-es szerepel a dobótesten?   (8 pont)

7. Egy erdei kilátótorony egyik emelete szabályos ötszög alakú, amelynek oldalai \(\displaystyle 5\) méteresek. Az emelet padlóján elhelyeztek két, különböző ,,fotópontot'', ahová állva a legjobb fotókat lehet készíteni a tájról. Külön-külön mindkét pontra igaz, hogy egyenlő távol van az ötszög köré írt körének középpontjától és két szomszédos csúcsától.

a) Legfeljebb milyen messze lehet egymástól a két ,,fotópont''?   (11 pont)

b) A kilátóban ingyenes tájékoztatófüzetet osztanak az erdő élővilágáról. Ebben van egy ábra is, amelyben tíz, a környékre jellemző állatból álló tápláléklánc szerepel. A képen két állatot egy vonallal összekötöttek, ha az egyik megeszi a másikat. Balambér azt számolta, hogy van két állatkép, amiből csak \(\displaystyle 3\) vonal indul ki, de a többiből legalább hat. Testvére szerint ez azt jelenti, hogy bármelyik állatképtől el lehet jutni bármelyik másikhoz a vonalak mentén. Igaza van-e?   (5 pont)

8. a) Egy konkáv deltoidot a szimmetriatengelye körül megforgatva olyan forgástestet kapunk, amelyiknek a térfogata \(\displaystyle \dfrac{500\pi}{3}~\mathrm{dm}^3\). Számítsa ki a deltoid területét, ha az egyik átlója \(\displaystyle 5\) dm-es.   (7 pont)

b) Meghatároztuk a valós számok halmazán értelmezett

\(\displaystyle f(x)=(x^2-1)(x^2-4) \)

hozzárendelési szabállyal megadott függvény zérushelyeit. Ezután kiszámítottuk a második, illetve harmadik legnagyobb zérushely közötti határozott integrál értékét, így egy nem egész számot kaptunk. Melyik az a legkisebb pozitív szám, amellyel megszorozva az \(\displaystyle f\)-et a szóban forgó határozott integrál egész?   (5 pont)

c) Írja fel az \(\displaystyle f(x)=x^4 -5x^2+4\) függvény egy \(\displaystyle x\) tengellyel párhuzamos érintőjének az egyenletét!   (4 pont)

9. a) Bizonyítsa be, hogy tetszőleges \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\in\left[\dfrac{\pi}{7};\dfrac{3\pi}{7}\right]\) esetén az \(\displaystyle \mathbf{a}(\tg x;\tg y)\) és a \(\displaystyle \mathbf{b}\left(\dfrac{\cos x}{\sin x};\dfrac{\cos y}{\sin y}\right)\) vektor skaláris szorzata \(\displaystyle 2\).   (4 pont)

b) Oldja meg az

\(\displaystyle \dfrac{x}{y^2}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{4-x}{y}-\dfrac{1}{x} \)

egyenletet a pozitív valós számpárok halmazán!   (5 pont)

c) Az alábbi végtelen összegről tudjuk, hogy konvergens és értéke negatív, valós szám. Adja meg a \(\displaystyle p \in \mathbb{R}\) lehetséges értékeit!   (7 pont)

\(\displaystyle \dfrac{1}{p+1}+\dfrac{p^2-1}{p+1}+\dfrac{(p^2 -1)^2}{p+1}+\dfrac{(p^2 -1)^3}{p+1}+\dots < 0 \)

   (7 pont)