Megoldásvázlatok a 2026/3. szám matematika gyakorló feladatsorához

Horváth Eszter, Budapest

I. rész

1. a) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert:

  (9 pont)

b) Egy kétjegyű szám \(\displaystyle 5\)-tel osztva \(\displaystyle 2\)-t, \(\displaystyle 6\)-tal osztva \(\displaystyle 3\)-at, \(\displaystyle 9\)-cel osztva \(\displaystyle 6\)-ot ad maradékul. Melyik ez a kétjegyű szám?   (5 pont)

Megoldás. a) A törtek nevezői miatt \(\displaystyle x+y\neq 0\) és \(\displaystyle x-2y\neq 0\). Az \(\displaystyle a=\frac{1}{x+y}\); \(\displaystyle {b=\frac{1}{x-2y}}\) új ismeretlenek bevezetésével ezt az egyenletrendszert kapjuk:

Az első egyenletet 2-vel megszorozzuk:

Összeadjuk a (2) és a (3) egyenletet:

Ezt az (1) egyenletbe behelyettesítve:

\(\displaystyle \frac{5}{10}+4b=\frac{3}{4};\qquad 4b=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4};\qquad b=\frac{1}{16}. \)

\(\displaystyle a=\dfrac{1}{10}\) és \(\displaystyle b=\dfrac{1}{16}\) alapján:

Az első egyenletből kivonjuk a másodikat:

\(\displaystyle 3y=-6;\qquad y=-2. \)

Behelyettesítéssel kapjuk, hogy \(\displaystyle x=12\).

Az eredeti egyenletekbe behelyettesítve látjuk, hogy ezek az értékek valóban megoldások:

Az egyenletrendszer megoldása \(\displaystyle x=12\) és \(\displaystyle y=-2\).

b) A keresett kétjegyű számnál a 3-mal nagyobb szám osztható 5-tel, 6-tal és 9-cel is, a legkisebb (és egyetlen) ilyen kétjegyű szám a 90, tehát az eredeti a 87 lehet csak, ami valóban teljesíti a feltételeket.

2. Szatmári Ferenc családjával egy meleg nyári napon autóval Budapestről Kisvárdára utazott. \(\displaystyle 7\) óra \(\displaystyle 50\) perckor indult. \(\displaystyle 25\) perc alatt, \(\displaystyle 12~\mathrm{km}\)-t haladva érte el az M3-as autópályát. \(\displaystyle 10\) óra \(\displaystyle 55\) perckor a 403-as útra tért le az autópályáról, majd \(\displaystyle 40~\mathrm{km}\) megtétele után, összesen \(\displaystyle 284\) kilométert vezetve \(\displaystyle 11{:}35\) perckor ért Kisvárdára.

a) Mekkora volt az autó átlagsebessége az autópályán?   (3 pont)

Az M3-ason öt alkalommal összesen \(\displaystyle 20~\mathrm{km}\)-en volt útjavítás miatt sebességkorlátozás. Ezeken a szakaszokon a megengedett maximális sebesség \(\displaystyle 80~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) volt, de az autósok ezeken a szakaszokon csak \(\displaystyle 50~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel tudtak vezetni.

b) Ferenc úgy gondolta, hogy ha itt \(\displaystyle 120~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel haladhatott volna, akkor legalább fél órával hamarabb ért volna Kisvárdára. Igaza van-e Ferencnek?     (3 pont)

A család három gyereke, Péter, Anna és Lilla az autó hátsó ülésén utazott, ahol szabály szerint három ember ülhet. Péter azt kérte, hogy ne ő üljön középre, nem szeret a két lány között utazni.

c) Hányféle módon ülhettek be a kocsi hátsó három ülésére, ha Péter kérését figyelembe vették?   (3 pont)

Az erre a napra készült óránkénti időjárás-előrejelzést mutatja az Időkép applikáció grafikonja:

d) Mekkora az óránkénti hőmérsékleti értékek módusza, illetve mediánja ezen a napon? Mekkora az óránkénti adatok alapján az átlaghőmérséklet?   (4 pont)

Megoldás. a) Az M3-ason megtett út \(\displaystyle 284-12-40=232\) km. 8:15-kor ért az autópályára, 8:15-től 10:55-ig 2 óra 40 perc, azaz \(\displaystyle 2\frac{2}{3}\) óra telt el. Az átlagsebesség \(\displaystyle \frac{232~\mathrm{km}}{2\frac{2}{3}~\text{óra}}=87~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) volt.

b) A 20 km \(\displaystyle 50~\mathrm{km}/\mathrm{h}\) sebességgel \(\displaystyle \frac{20~\mathrm{km}}{50~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}}=0{,}4~\text{óra}=24~\mathrm{perc}\) alatt tehető meg, így semmiképpen nem spórolhat 30 percet.

c) Péter a jobb vagy bal szélső ülésre ülhet. Ez két lehetőség. Ezután Anna két helyre kerülhet, Lilla pedig a fennmaradó helyre ül. A választások egymástól függetlenek, ezért \(\displaystyle 2\cdot 2=4\) lehetőség van.

d) A hőmérsékleti értékek előfordulásának gyakoriságát az alábbi táblázatban foglaljuk össze:

A táblázat alapján: a módusz 31 fok.

24 adat van. Nagyság szerint sorba rendezve a 12. adat 28 fok, a 13. adat 29 fok. Így a medián \(\displaystyle (28+29):2=28{,}5\) fok.

A hőmérsékletek átlaga:

\(\displaystyle \frac{2\cdot 22+3\cdot 23+2\cdot 24+2\cdot 25+26+27+28+4\cdot 29+3\cdot 30+5\cdot 31}{24}=\frac{653}{24}=27{,}2~\text{fok}. \)

3. A \(\displaystyle 30\) fős \(\displaystyle 11\). a osztály tanulói sokféle nyári programon vettek rész. Többek között külföldre (\(\displaystyle K\)) utaztak, balatoni táborban (\(\displaystyle T\)) voltak, könnyűzenei fesztiválon (\(\displaystyle F\)) vettek részt. Az alábbi halmazábra mutatja, hogy melyik programon hány diák volt.

a) Hányan nem voltak sem külföldi úton, sem táborban, sem fesztiválon?   (2 pont)

b) Véletlenszerűen kiválasztunk az osztály tanulói közül egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy volt külföldön vagy táborban, de nem vett részt fesztiválon?   (3 pont)

A kötelező és ajánlott olvasmányok elolvasása nem mindig könnyű. Egy tanévben akár \(\displaystyle 15\) irodalmi alkotás is szerepelhet az olvasmányok listáján.

c) Egy \(\displaystyle 405\) oldalas kötelező olvasmányt Soma az alábbi terv szerint kíván elolvasni pontosan \(\displaystyle 15\) nap alatt. A második naptól kezdve minden nap egy oldallal többet olvas el, mint az előző nap. Hány oldal elolvasását tervezi az első napra és hányat a tizenötödikre?   (5 pont)

Az egyik matematikaszakkörön 7 tanuló jelent meg. Matematikatanáruk beszélgetéssel szokta kezdeni a nyolcadik órában tartott szakkört.

d) Megkérdezte a jelenlévőktől, hogy hány embert hívtak fel mobiltelefonon az előző héten a jelenlévő diákok közül. Ezeket a számokat mondták: Péter \(\displaystyle 4\), Sári \(\displaystyle 1\), Balázs \(\displaystyle 0\), Sanyi \(\displaystyle 2\), Bori \(\displaystyle 2\), Ernő \(\displaystyle 4\), Miki \(\displaystyle 2\). Tanáruk erre azt mondta, valaki rosszul emlékszik. Mire alapozta a véleményét a matematikatanár?   (2 pont)

Megoldás. a) A halmazábrában szereplő számok összege: \(\displaystyle {1+1+4+3+4+1+2}=16\) megmutatja, hogy hányan voltak legalább egy programon a három közül.

Az osztálylétszám 30, így \(\displaystyle 30-16=14\) diák nem volt sem külföldi úton, sem táborban, sem fesztiválon.

b) Határozzuk meg a \(\displaystyle (K\cup T)\setminus F\) halmaz elemszámát. A halmazábra megfelelő tartományaiban lévő számokat adjuk össze: \(\displaystyle 1+1+4=6\). A kedvező esetek száma tehát \(\displaystyle 6\), az összes eset \(\displaystyle 30\). A keresett valószínűség \(\displaystyle \frac{6}{30}=\frac{1}{5}=0{,}2\).

c) Az első nap \(\displaystyle x\) oldalt, az utolsó nap \(\displaystyle x+14\) oldalt olvas el Soma, a 15 nap alatt \(\displaystyle \dfrac{(x+x+14)\cdot 15}{2}=405\) oldalt. Az egyenletet rendezve: \(\displaystyle (x+x+14)\cdot 15=810\),

Ezek alapján Soma úgy tervezi, hogy az első napon 20 oldalt, a tizenötödik napon \(\displaystyle {20+14}=34\) oldalt olvas el.

d) Minden mobiltelefonos beszélgetést a benne részt vevő két ember említi meg, így az elhangzott számok összegének párosnak kellene lennie. Mivel az elhangzott számok összege: \(\displaystyle 4+1+0+2+2+4+2=15\) páratlan, valóban nem mindenki emlékezett jól.

Megjegyzés. A feladatot lerajzolhatjuk egy gráffal is. A gráf pontjai a diákoknak felelnek meg, az élek pedig azt jelöljék, hogy a két diák folytatott telefonbeszélgetést. Tudjuk, hogy egy gráfban a fokszámok összege páros. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a páratlan fokszámú pontok száma páros. A feladatnak megfelelő gráfban ez nem teljesül.

4. Bizonyítsa be az alábbi állításokat:

a) \(\displaystyle \dbinom{2024}{10}+2\cdot\dbinom{2024}{11}+\dbinom{2024}{12}=\dbinom{2026}{12}\).   (4 pont)

b) Ha \(\displaystyle n\) pozitív egész szám, akkor \(\displaystyle (n-1)!+n!+(n+1)!=(n+1)!\cdot \dfrac{n+1}{n}\).   (4 pont)

c) \(\displaystyle \dfrac{3^{150}-{2\cdot 3}^{149}+3^{148}}{3^{147}+3^{146}}=9\).   (4 pont)

Megoldás. a) A Pascal-háromszög tulajdonsága szerint \(\displaystyle \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\), ezért

b) Kifejezzük \(\displaystyle n!\)-t és \(\displaystyle (n+1)!\)-t \(\displaystyle (n-1)!\) segítségével:

\(\displaystyle (n-1)!+n!+(n+1)!=(n-1)!+n\cdot (n-1)!+(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!. \)

Az így kapott kifejezést egyszerűbb alakra hozzuk:

c) A hatványozás azonosságainak használatával átalakítjuk a tört számlálóját és nevezőjét:

\(\displaystyle \frac{3^{150}-{2\cdot 3}^{149}+3^{148}}{3^{147}+3^{146}}=\frac{{9\cdot 3}^{148}-{2\cdot 3\cdot 3}^{148}+3^{148}}{{3\cdot 3}^{146}+3^{146}}=\frac{4\cdot 3^{148}}{4\cdot 3^{146}}=3^2=9. \)

II. rész

5. a) Oldja meg a valós számok halmazán a \(\displaystyle \left(\sin(x)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\cos(x)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=0\) egyenletet.   (7 pont)

b) Határozza meg az \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(\displaystyle x\mapsto \dfrac{1}{{\sin(x)}+2}\) függvény értékkészletét!   (4 pont)

Egy üzletben négyféle zsebszámológépet árusítanak, \(\displaystyle 9500\), illetve \(\displaystyle 6100\) forintért PÖPEC típusút, \(\displaystyle 5800\), illetve \(\displaystyle 7100\) forintért SPICC típusút. Az üzlet statisztikája szerint a vevők \(\displaystyle 60\%\)-a PÖPEC márkát vásáról, \(\displaystyle 40\%\) SPICC-et választ. A PÖPEC számológépet vásárlók \(\displaystyle 40\%\)-a a drágább típust választja, a SPICC típus esetében \(\displaystyle 65\%\) dönt a drágább mellett.

c) A vásárlók hány százaléka vásárol \(\displaystyle 7000\) forintnál olcsóbb számológépet?   (5 pont)

Megoldás. a) Egy szorzat akkor és csak akkor \(\displaystyle 0\), ha valamelyik tényezője \(\displaystyle 0\).

Ha \(\displaystyle \sin(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\), akkor \(\displaystyle \sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\displaystyle x=\frac{\pi}{3}+2k\cdot \pi\) vagy \(\displaystyle x=\frac{2\pi}{3}+2l\cdot \pi\), \(\displaystyle k\), \(\displaystyle l\in\mathbb{Z}\).

Ha \(\displaystyle \cos(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}=0\), akkor \(\displaystyle \cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\displaystyle x=\frac{5\pi}{4}+2m\cdot \pi\) vagy \(\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}+2n\cdot \pi\), \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n\in\mathbb{Z}\).

A \(\displaystyle \sin(x)\) és \(\displaystyle \cos(x)\) függvények periódusa \(\displaystyle 2\pi\), ezért az ellenőrzést elég \(\displaystyle k\), \(\displaystyle l\), \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n=0\)-ra elvégezni. A kapott értékek valóban kielégítik az egyenletet.

b) Az \(\displaystyle x\mapsto\sin(x)\) függvény értékkészlete a \(\displaystyle [-1;1]\) intervallum, ahonnan egyszerű függvénytranszformáció alapján a \(\displaystyle \sin(x)+2\) értékkészlete az \(\displaystyle [1;3]\) intervallum.

Így az \(\displaystyle \dfrac{1}{\sin(x)+2}\) függvény értékkészlete az \(\displaystyle \left[\frac{1}{3},1\right]\) intervallum, mert minden \(\displaystyle \left[\frac{1}{3},1\right]\) intervallumbeli elem egy \(\displaystyle [1,3]\) intervallumba eső szám reciproka.

c) 7000 forintnál olcsóbb az 5800 forintos SPICC és a 6100 forintos PÖPEC. SPICC-et választ a vevők 40%-a, közülük \(\displaystyle 100-65=35\%\) veszi az olcsóbb típust, ez a vevők \(\displaystyle 0{,}4\cdot0{,}35=0{,}14\) része. PÖPEC-et választ a vevők 60%-a, közülük \(\displaystyle 100-40=60\%\) veszi az alacsonyabb árú típust, ez a vevők \(\displaystyle 0{,}6\cdot 0{,}6=0{,}36\) része. Összesen a vásárlók \(\displaystyle 0{,}14+0{,}36=0{,}5\) része, azaz 50%-a vásárol 7000 forintnál olcsóbb zsebszámológépet.

6. Értelmezzük az \(\displaystyle f\) függvényt az alábbi módon:

\(\displaystyle f\colon \left[0;4\right]\to \mathbb{R},\qquad x\mapsto \frac{1}{4}\left({x-4}\right)^2. \)

a) Határozza meg a függvény grafikonjának és a koordinátatengelyek közös pontjainak koordinátáit!   (4 pont)

b) Mekkora az a terület, amelyet a függvény grafikonja és a koordinátatengelyek közrefognak?   (6 pont)

c) Adja meg az \(\displaystyle f\) függvény inverzét!   (6 pont)

Megoldás. a)

Az \(\displaystyle x\) tengelyen lévő pontok második koordinátája 0. Ha \(\displaystyle \frac{1}{4}({x-4})^2=0\), akkor \(\displaystyle x=4\). Az ábra szerint az \(\displaystyle A=(4;0)\) pontban érinti a grafikon az \(\displaystyle x\)-tengelyt.

Az \(\displaystyle y\) tengelyen lévő pontok első koordinátája 0.

Ekkor \(\displaystyle y=\frac{1}{4}(0-4)^2=4\). A grafikon a \(\displaystyle B=(0;4)\) pontban metszi az \(\displaystyle y\) tengelyt.

b) A keresett területet határozott integrállal tudjuk kiszámítani az a) feladatban adott intervallumon:

\(\displaystyle T=\int^4_0\frac{1}{4}({x-4})^2\,dx=\int^4_0\frac{1}{12}({{x-4})}^3\,dx=\left[\frac{1}{12}{({x-4})}^3\right]^4_0=\frac{16}{3}~\text{területegység}. \)

b) \(\displaystyle f(0)=4\); \(\displaystyle f(4)=0\). Az \(\displaystyle f\) függvény folytonos, ezért az értékkészlete a \(\displaystyle [0;4]\) intervallum. Ennek megfelelően az inverz függvény értelmezési tartománya a \(\displaystyle [0;4]\) intervallum. A függvény hozzárendelési szabálya szerint \(\displaystyle y=\frac{1}{4}({x-4})^2\), \(\displaystyle 4y=({x-4})^2\), \(\displaystyle y\geq 0\), ezért \(\displaystyle 2\sqrt{y}=\lvert {x-4}\rvert\), \(\displaystyle 0\leq x\leq4\), így \(\displaystyle \lvert {x-4}\rvert=4-x\).

Tehát az inverz függvény hozzárendelési szabálya \(\displaystyle y\mapsto 4-2\sqrt{y}\). Az inverz függvény változóját is \(\displaystyle x\)-szel jelölve: \(\displaystyle f^{-1}\colon[0;4]\to \mathbb{R}\); \(\displaystyle x\mapsto 4-2\sqrt{x}\). Az ábrán látjuk az \(\displaystyle f\) függvény és az \(\displaystyle f^{-1}\) függvény grafikonját.

7. Az \(\displaystyle e\) egyenes egyenlete \(\displaystyle 4x+3y=120\), az \(\displaystyle f\) egyenes egyenlete \(\displaystyle 3{x-4}y=-60\). Az \(\displaystyle ABCD\) négyszögben az \(\displaystyle A\) csúcs a \(\displaystyle (0;0)\) pont, a \(\displaystyle B\) csúcs az \(\displaystyle x\) tengelyen, a \(\displaystyle D\) csúcs az \(\displaystyle y\) tengelyen van. A \(\displaystyle BC\) oldal az \(\displaystyle e\) egyenesre, a \(\displaystyle CD\) oldal az \(\displaystyle f\) egyenesre illeszkedik.

a) Számítsa ki a négyszög \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) csúcsainak a koordinátáit!   (4 pont)

b) Bizonyítsa be, hogy a négyszög húrnégyszög!   (5 pont)

c) Írja fel a négyszög köré írható körének az egyenletét!   (4 pont)

Az interneten találtunk egy \(\displaystyle 25\) feladatot tartalmazó gyakorló feladatsort. A feladatok közül \(\displaystyle 8\) a sorozatok, \(\displaystyle 6\) a függvények, \(\displaystyle 4\) a kombinatorika, \(\displaystyle 7\) a koordinátageometria témakörbe tartozik.

d) Találomra egyszerre választunk ezek közül öt feladatot úgy, hogy minden feladatot ugyanakkora eséllyel választunk ki. Mennyi a valószínűsége annak, hogy \(\displaystyle 3\) sorozatos és \(\displaystyle 2\) koordinátageometriai feladat lesz a választottak között?   (3 pont)

Megoldás. a) A \(\displaystyle B\) pont rajta van az \(\displaystyle x\) tengelyen, ezért a második koordinátája \(\displaystyle 0\). Illeszkedik az \(\displaystyle e\) egyenesre is, tehát \(\displaystyle 4x+3y=120\) és \(\displaystyle y=0\). Innen \(\displaystyle x=30\), tehát \(\displaystyle {B=(30;0)}\).

A \(\displaystyle D\) pont az \(\displaystyle y\) tengelyen és az \(\displaystyle f\) egyenesen van: \(\displaystyle x=0\) és \(\displaystyle 3{x-4}y=-60\) feltételekből \(\displaystyle y=15\); \(\displaystyle D=(0;15)\).

A \(\displaystyle C\) csúcs az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) egyenesek metszéspontja, koordinátáit ennek az egyenletrendszernek a megoldásával kapjuk:

Az első egyenletet \(\displaystyle 4\)-gyel, a másodikat \(\displaystyle 3\)-mal szorozva és a két egyenletet összeadva:

\(\displaystyle 25x=300, \qquad x=12. \)

Visszahelyettesítéssel \(\displaystyle y=24\), \(\displaystyle C=(12;24)\).

b) Az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) tengely merőleges egymásra, tehát a négyszög \(\displaystyle A\) csúcsánál derékszög van.

\(\displaystyle \overrightarrow{CB}=(30-12;0-24)=(18;-24), \qquad \overrightarrow{DC}=(12-0;24-15)=(12;9). \)

c) A két vektor skaláris szorzata \(\displaystyle \overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{DC}=18\cdot 12+(-24)\cdot 9=0\), így a két vektor merőleges egymásra. A négyszög két szemben lévő szögének összege \(\displaystyle 180^\circ\), ezért a négyszög húrnégyszög. Az \(\displaystyle ABD\) háromszög és a \(\displaystyle BCD\) háromszög derékszögű. A Thalész-tétel megfordítása miatt az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle C\) csúcsok rajta vannak a \(\displaystyle BD\) átmérőjű körön. Ez éppen a négyszög köré írható kör lesz. (Az ábrát lásd a túloldalon.)

A \(\displaystyle BD\) szakasz felezőpontja, \(\displaystyle O=\left(\dfrac{30+0}{2};\dfrac{0+15}{2}\right)=\left(15;7{,}5\right)\) a kör középpontja.

A körülírt kör sugara \(\displaystyle r=OB=\sqrt{(30-15)^2+(0-7{,}5)^2}=\sqrt{281{,}25}\).

A kör egyenlete: \(\displaystyle (x-15)^2+(y-7{,}5)^2=r^2=281{,}25\).

d) A huszonöt feladatból ötöt \(\displaystyle \dbinom{25}{5}\)-féle módon válaszhatunk ki. A sorozatokra vonatkozó feladatok közül hármat \(\displaystyle \dbinom{8}{3}\), a koordinátageometria feladatok közül kettőt \(\displaystyle \dbinom{7}{2}\)-féle módon választhatunk ki. Az első választás nincs hatással a későbbi kiválasztások számára, így a kedvező kiválasztások száma \(\displaystyle \dbinom{8}{3}\cdot \dbinom{7}{2}\). A keresett valószínűség:

\(\displaystyle P=\frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes eset száma}}=\frac{\dbinom{8}{3}\cdot \dbinom{7}{2}}{\dbinom{25}{5}}=\frac{56\cdot 21}{53\;130}=\frac{1176}{53\;130}\approx 0{,}022. \)

8. Egy fenyőfatermesztéssel foglalkozó vállalkozás a \(\displaystyle 2025\) és \(\displaystyle 2027\) közötti három évre tervet készített. Becslésük szerint \(\displaystyle 2025\) szeptemberében \(\displaystyle 10\;000\) fenyőfájuk volt a területen. Minden évben október közepén \(\displaystyle 2000\) új fát akarnak elültetni és decemberben az állomány \(\displaystyle 10\%\)-át kivágni.

a) Összesen hány fa kivágását tervezik ebben a három évben?   (5 pont)

Jelölje \(\displaystyle a_n\) az \(\displaystyle n\)-edik év végén, azaz a \(\displaystyle (2024+n)\)-es év végén a faállomány tervezett mennyiségét. Feltételezzük, hogy ugyanilyen elvek szerint gazdálkodnak a következő években is.

b) Adja meg az \(\displaystyle a_n\) sorozat általános tagját!   (6 pont)

Az egyik piacon karácsony előtt évek óta háromféle fenyő verseng a vásárlók kegyeiért: a nordmannfenyő, a lucfenyő és az ezüstfenyő. A nordmannfenyőt \(\displaystyle 45\), a lucfenyőt \(\displaystyle 37\), míg az ezüstfenyőt a vásárlók \(\displaystyle 13\) százaléka választja. \(\displaystyle 5\) százalék más fenyőfajták részesedése az eladásokban.

c) Ha véletlenszerűen megkérdezünk hat fenyőfát vásárló embert, hogy milyen fát vett, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy közülük három nordmannfenyőt, kettő lucfenyőt és egy ezüstfenyőt vásárolt? A valószínűség értékét három tizedesjegy pontosággal adja meg. (Feltételezzük, hogy mindenki pontosan egy fenyőfát vásárolt.)   (5 pont)

Megoldás. a) A feladat alapján 2025. október végén \(\displaystyle 12\;000\) fenyőfa van. Ennek 10%-át, \(\displaystyle 12\;000\cdot0{,}1=1200\) fát kivágnak decemberben, és megmarad az állomány \(\displaystyle 90\%\)-a, \(\displaystyle 12\;000\cdot 0{,}9=10\;800\) fa.

Ilyen módon számolva az alábbi táblázat mutatja az egyes években az ültetés utáni állomány nagyságát, a kivágott fa mennyiségét és az év végére maradó állomány mennyiségét:

Így tehát \(\displaystyle 1200+1280+1352=3832\) fa kivágását tervezik.

b) \(\displaystyle a_1=12\;000\cdot 0{,}9\); \(\displaystyle a_2=12\;000\cdot 0{,}9^2+2000\cdot 0{,}9\). A képzési szabály alapján:

Az összeg a második tagtól kezdve egy mértani sorozat első \(\displaystyle n-1\) tagjának az összege. Felhasználjuk, hogy ennek a mértani sorozatnak az első tagja \(\displaystyle 2000\cdot 0{,}9\), a kvóciense \(\displaystyle 0{,}9\).

És ezt a kifejezést tovább egyszerűsítve megkaphatjuk azt is, hogy

\(\displaystyle a_n=18\;000-8000\cdot 0{,}9^n. \)

c) Annak a valószínűsége, hogy az első három ember nordmannfenyőt, a következő kettő ezüstfenyőt, a hatodik lucfenyőt vásárolt \(\displaystyle 0{,}45^3\cdot 0{,}37^2\cdot 0{,}13\). Hatból három embert \(\displaystyle \dbinom{6}{3}\)-féle módon választhatunk ki, a maradék háromból kettőt \(\displaystyle \dbinom{3}{2}\)-féle módon. Ekkor egy ember marad a harmadik fenyőfajtára. \(\displaystyle \dbinom{6}{3}\cdot \dbinom{3}{2}\)-féle sorrend lehetséges. A sorrendet is figyelembe véve a keresett valószínűség

\(\displaystyle \binom{6}{3}\cdot \binom{3}{2}\cdot 0{,}45^3\cdot 0{,}37^2\cdot 0{,}13=20\cdot 3\cdot 0{,}45^3\cdot 0{,}37^2\cdot 0{,}13\approx 0{,}097. \)

9. a) Oldja meg a valós számok halmazán a \(\displaystyle \lg\bigl(36+2^{\sqrt{3x}}\bigr)>2\) egyenlőtlenséget   (7 pont)

b) Fogalmazza meg az alábbi állítás megfordítását! Döntse el, hogy igaz-e az állítás és annak megfordítása!

Ha egy valós szám nagyobb, mint \(\displaystyle 5\), akkor értelmezhető a valós szám tízes alapú logaritmusa.   (3 pont)

Egy emelt szintű érettségi feladatsor II. részében öt feladat van, \(\displaystyle 5\)–\(\displaystyle 9\)-ig számozva. Ezekből csak négyet kell megoldania a vizsgázónak.

c) Egy \(\displaystyle 17\)-fős matematika csoportból mindenki emelt szinten írta az érettségi dolgozatát. Péter és Anna beszélgetnek:

Péter: Biztos, hogy közülünk legalább négy ember ugyanazt a feladatot hagyta ki.

Anna: Biztos, hogy volt olyan feladat, amelyet pontosan négyen hagytak ki.

Melyikük állítása igaz? Indokolja a választ!   (4 pont)

Az alábbi táblázat mutatja, hogy az egyes feladatokat hányan választották és ha foglalkoztak vele, hányan oldották meg hibátlanul, \(\displaystyle 16\) pontra.

d) Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy dolgozatot véletlenszerűen kiválasztva a \(\displaystyle 17\) közül, abban azt látjuk, hogy az érettségiző a 8. feladatot \(\displaystyle 16\) pontra oldotta meg?   (2 pont)

Megoldás. a) A négyzetgyököt csak nemnegatív számokra értelmezzük, ezért \(\displaystyle \sqrt{3x}\) akkor van értelmezve, ha \(\displaystyle x\geq 0\). A logaritmusfüggvény értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza. \(\displaystyle 2^{\sqrt{3x}}+36\geq 2^0+36>0\), így \(\displaystyle \lg \bigl(36+2^{\sqrt{3x}}\bigr)\) az \(\displaystyle x\geq 0\) feltétel mellett mindig értelmezhető. Tehát az egyenlőtlenség megoldását az \(\displaystyle x\geq 0\) feltétellel keressük.

\(\displaystyle \lg\bigl(36+2^{\sqrt{3x}}\bigr)>2=\lg 100. \)

Felhasználjuk, hogy a 10-es alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton nő:

\(\displaystyle 36+2^{\sqrt{3x}}>100, \qquad 2^{\sqrt{3x}}>64=2^6. \)

A 2-es alapú exponenciális függvény szigorúan monoton nő, ezért \(\displaystyle \sqrt{3x}>6\). Mivel mindkét oldal nemnegatív, a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás, így \(\displaystyle 3x>36\), amiből \(\displaystyle {x>12}\). Ez megfelel az értelmezési tartomány feltételének is, tehát az egyenlőtlenség megoldása: \(\displaystyle x>12\), \(\displaystyle x\in \mathbb{R}\). Ekvivalens átalakításokat végeztünk.

b) Az állítás megfordítása: Ha egy valós szám tízes alapú logaritmusa értelmezhető, akkor a szám nagyobb mint \(\displaystyle 5\). Bármelyik \(\displaystyle 5\)-nél nem nagyobb pozitív szám megfelelő ellenpélda. Az eredeti állítás igaz, a megfordítása hamis.

c) Indirekt módon bizonyítunk. Ha mindegyik feladatot legfeljebb hárman hagyták volna ki, akkor a csoportban legfeljebb \(\displaystyle 5\cdot 3=15\) érettségiző lenne. Így valamelyik feladatot legalább négyen hagyták ki. Péternek igaza van.

Annának viszont nincs igaza, ha például mindenki a 9. feladatot hagyja ki.

d) A 17 dolgozat közül háromban van maximális pontszámú 8. feladat. Így a keresett valószínűség: \(\displaystyle P=\dfrac{3}{17}\approx 0{,}176\).

Megjegyzés. A diákok \(\displaystyle \dfrac{13}{17}\) része foglalkozott a 8. feladattal. Ezen diákok \(\displaystyle \dfrac{3}{13}\) része kapott megoldására 16 pontot Annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott dolgozatban a 8. feladatra a diák 16 pontot kapott \(\displaystyle \dfrac{13}{17}\cdot \dfrac{3}{13}=\dfrac{3}{17}\approx 0{,}176\).