Megoldásvázlatok a 2026/1. szám matematika gyakorló feladatsorához

Jócsik Csilla (Győr)

Megoldásvázlatok a 2026./1. szám matematika gyakorló feladatsorához

I. rész

1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:

\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x.\)

b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?  (6 pont)

Megoldás. a) Az egyenlet értelmezési tartománya: \(\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}\). Az első zárójelben szereplő nevezetes azonosság alkalmazása és a szorzás elvégzése után az \(\displaystyle (x+3)-(x-3)-(x^2-9)=9+x\) egyenlethez jutunk. Rendezve ezt az \(\displaystyle x^2+x-6=0\) másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek gyökei \(\displaystyle x_1=-3\) és \(\displaystyle x_2=2\), de az \(\displaystyle x_1\) nem eleme az értelmezési tartománynak. Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért az egyenlet megoldása az \(\displaystyle x=2\).

b) A \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\) egyenlet \(\displaystyle \left]0^{\circ};360^{\circ}\right[\) intervallumba eső megoldásai az \(\displaystyle \alpha_{1}=60^{\circ}\) és \(\displaystyle \alpha_{2}=120^{\circ}\). A \(\displaystyle \sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) egyenlet adott intervallumon belüli megoldásai az \(\displaystyle {\alpha_{3}=240^{\circ}}\) és \(\displaystyle \alpha_{4}=300^{\circ}\). A kapott négy megoldás igazzá teszi az egyenletet.

2. Zoli biciklikerekének átmérője \(\displaystyle 70~\mathrm{cm}\), a pedálhoz kapcsolódó első váltója olyan fokozatban van, ahol a fogaskerék kerületén \(\displaystyle 56\) ,,fog'' van, míg a hátsó kerékhez kapcsolódó váltó esetén a fogaskeréken \(\displaystyle 20\) ,,fog'' helyezkedik el. (A biciklin a pedálhoz kapcsolódó első váltó fogaskereke és a pedál teljesen együtt forog. Az első és a hátsó fogaskereket köti össze a biciklilánc, így a két fogaskerék mindig ugyanannyi ,,fogat'' fordul.)

a) Mekkora sebességgel halad Zoli, ha a pedálja \(\displaystyle 10\) teljes kört \(\displaystyle 8\) másodperc alatt tesz meg, illetve a hátsó kerék és a hátsó fogaskerék teljesen együtt forog?   (4 pont)

b) Zoli \(\displaystyle 34\) barátjával együtt közös kerékpártúrára indul. A biciklik minden kereke egymástól függetlenül két egész kilométer között \(\displaystyle 0{,}0005\) valószínűséggel kap defektet. Milyen hosszú út esetén mondhatják, hogy legalább \(\displaystyle 0{,}95\) valószínűséggel lesz defekt a túrán?   (6 pont)

c) Egy biciklikölcsönzőben kedden \(\displaystyle 48\)-an kértek kerékpárt, \(\displaystyle 4\)-gyel több nő, mint férfi. A legalább \(\displaystyle 40\) éves vendégek számának \(\displaystyle 60\%\)-a volt a \(\displaystyle 40\) évnél fiatalabbak száma; a legalább \(\displaystyle 40\) évesek közül ötször annyian kértek hagyományos kerékpárt, mint elektromosat. Egyetlen férfi kért elektromosat, \(\displaystyle 2\)-vel több legalább \(\displaystyle 40\) éves nő volt, mint férfi. Hány \(\displaystyle 40\) évesnél fiatalabb nő kölcsönzött kedden biciklit?   (4 pont)