Kozma Katalin Abigél
1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám? (11 pont)
2. a) Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\). (8 pont)
b) Adja meg az – a) részben kapott – \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontját. (2 pont)
c) Mekkora az – a) részben kapott – \(\displaystyle ABC\) háromszög területe? (3 pont)
3. a) Határozza meg az
\(\displaystyle f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}; \qquad f(x)=-3\cos (4x)+2 \)
függvény értékkészletét. (6 pont)
b) Számítással igazolja, hogy a
\(\displaystyle g\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}; \qquad g(x)=2025x^3-2026x \)
függvény páratlan. (6 pont)
4. a) Egy egyenes folyó mentén fekvő téglalap alakú telek folyóval párhuzamos oldalának hossza a téglalap másik oldalhosszának a négyszerese. A telek folyó felőli oldalán nincs kerítés, a másik három oldal mentén lévő kerítés együttes hosszúsága \(\displaystyle 600\) méter. Mekkora a telek területe? (3 pont)
b) Egy másik folyóparti, téglalap alakú telek körbekerítésére szintén \(\displaystyle 600\) méter hosszúságú kerítést használnak fel úgy, hogy a folyópartra nem építenek kerítést, de közben a telek területe a lehető legnagyobb legyen. Mekkora az így kapott telek területe? (8 pont)
c) Hány osztója van a \(\displaystyle (-45\,000)\)-nek? (4 pont)
5. a) Adott az \(\displaystyle e\colon x-y=8\) egyenletű egyenes és a \(\displaystyle k\colon {x^2+y^2-6x+4y+4=0}\) egyenletű kör. Állapítsa meg az \(\displaystyle e\) egyenes és a \(\displaystyle k\) kör kölcsönös helyzetét. Ha van(nak), adja meg a közös pont(ok) koordinátáit. (8 pont)
b) Adott a koordinátasíkon a \(\displaystyle P(3;-5)\) és a \(\displaystyle Q(6;-2)\) pont. Jelöljük rendre \(\displaystyle P_1\)-gyel és \(\displaystyle Q_1\)-gyel a \(\displaystyle P\), illetve a \(\displaystyle Q\) pont \(\displaystyle x\) tengelyre eső merőleges vetületét; \(\displaystyle P_2\)-vel és \(\displaystyle Q_2\)-vel pedig a \(\displaystyle P\), illetve a \(\displaystyle Q\) pont \(\displaystyle y\) tengelyre eső merőleges vetületét. Mekkora a \(\displaystyle Q_1P_1Q_2P_2\) négyszög kerülete? (5 pont)
c) Mekkora a \(\displaystyle Q_1P_1Q_2P_2\) négyszög területe? (3 pont)
6. a) Anna, Bogi és Cili unokatestvérek. Hat év múlva Bogi annyi idős lesz, mint most Anna. Hét év múlva Anna \(\displaystyle 9\)-szer annyi idős lesz, mint most Cili. Nyolc év múlva hárman együtt \(\displaystyle 42\) évesek lesznek. Hány évesek most a lányok? (10 pont)
b) Oldja meg a \(\displaystyle \biggl(\dfrac{2}{5}\biggr)^{\!\ln (x)}\!\!\!\!\!\!\!\ge\! 6{,}25\) egyenlőtlenséget a valós számok halmazán. (6 pont)
7. a) Bizonyítsa be, hogy a tízes számrendszerben felírt \(\displaystyle 2{,}\dot{0}2\dot{5}\) szám racionális. (6 pont)
b) Mutassa meg, hogy a \(\displaystyle 2 \cdot \lg 7\) irracionális. (5 pont)
c) Számítsa ki az \(\displaystyle \displaystyle{\int{(5x^2-3x^9+8x)dx}}\) határozatlan integrált! (5 pont)
8. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett \(\displaystyle f(x)=x^3\), illetve \(\displaystyle g(x)={2x+1}\) hozzárendelési szabállyal megadott két függvényt. Adja meg az alábbi összetett függvények hozzárendelési szabályát és deriváltfüggvényét.
9. a) Töhötöm számegyenesen ábrázolta a \(\displaystyle {[-5;8]}\) intervallumot, majd csukott szemmel rábökött az egyik pontjára. Mekkora a valószínűsége, hogy Töhötöm a \(\displaystyle {[-1;2]}\) intervallum egyik pontjára bökött rá, ha a választás valószínűsége egyenesen arányos az intervallum hosszával? (3 pont)
b) Igazolja, hogy a \(\displaystyle [-5;8]\) és a \(\displaystyle [-1;2]\) intervallum számossága egyenlő. (5 pont)
c) Hányféleképpen választható ki pontosan két szám a Pascal–háromszög felső öt sorából úgy, hogy összegük páros legyen? (Két kiválasztás különböző, ha legalább az egyik számot másik helyről választottuk a Pascal-háromszögből.) (4 pont)
d) Hányféleképpen választható ki legalább hét szám a Pascal–háromszög felső öt sorából úgy, hogy szorzatuk páratlan legyen? (Két kiválasztás különböző, ha legalább az egyik számot másik helyről választottuk a Pascal-háromszögből.) (4 pont)
1. Határozza meg a természetes számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amely értelmezési tartománya lehet az alábbi kifejezéseknek.
a) \(\displaystyle \log_x(-2x^2-7x+15)\) (6 pont)
b) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-2x}{-2x^2- 7x+15}}\) (6 pont)
1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \)
2. a) Tízes számrendszerben hány jegyű szám az \(\displaystyle 5^{29}\)?
b) Egy mértani sorozat első tagja \(\displaystyle 5^{-29}\), kvóciense 5. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell ...
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket.
a) \(\displaystyle \dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2x+1}{x+1}=\dfrac{3x+5}{x^{2}-1}\), (5 pont)
b) \(\displaystyle \cos 2x+2\sin x+3=0\). (5 pont)
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
