Az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium matematika munkaközössége
1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \)
(13 pont)
Megoldás. Az értelmezési tartomány a logaritmikus kifejezés miatt \(\displaystyle 9-x>0\), így \(\displaystyle x<9\), továbbá a négyzetgyökös kifejezés miatt \(\displaystyle x^2-5x-14\ge 0\), amiből \(\displaystyle x\leq -2\) vagy \(\displaystyle x\geq 7\) (összesítve: \(\displaystyle x\leq -2\) vagy \(\displaystyle 7\leq x<9\)).
Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így a lehetséges esetek:
1. \(\displaystyle \lvert5-x\rvert=0\), azaz \(\displaystyle 5-x=0\), ahonnan \(\displaystyle x=5\), de ez nem eleme a fenti értelmezési tartománynak; \(\displaystyle \lg(9-x)=0\), tehát \(\displaystyle 9-x=1\), amiből \(\displaystyle x=8\), és ez megoldás;
2. \(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}=0\), vagyis \(\displaystyle x^2-5x-14=0\), amiből \(\displaystyle x=-2\) és \(\displaystyle x=7\) is megoldás; \(\displaystyle \sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0\)-ból következik, hogy \(\displaystyle 2x+\frac{\pi}{6}=k\pi\), ahol \(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\), ezt átrendezve \(\displaystyle {x=-\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}}\), de az értelmezési tartomány miatt, csak \(\displaystyle {k<-1}\), illetve \(\displaystyle {k=5}\) esetén kapunk megoldást.
Tehát összesítve: \(\displaystyle x\in \{-2;7;8\}\cup \left\{-\frac{\pi}{12}+k\cdot \frac{\pi}{2}\mid k<-1\text{ vagy }k=5\right\}\) (ahol \(\displaystyle {k\in \mathbb{Z}}\)), és a kapott megoldások igazzá teszik az egyenletet (ekvivalens átalakításokat végeztünk).
1. Határozza meg a természetes számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amely értelmezési tartománya lehet az alábbi kifejezéseknek.
a) \(\displaystyle \log_x(-2x^2-7x+15)\) (6 pont)
b) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-2x}{-2x^2- 7x+15}}\) (6 pont)
1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám?
2. Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\).
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
2. a) Tízes számrendszerben hány jegyű szám az \(\displaystyle 5^{29}\)?
b) Egy mértani sorozat első tagja \(\displaystyle 5^{-29}\), kvóciense 5. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell ...
Legutóbb szeptemberi számunkban foglalkoztunk bújócska típusú ördöglakatokkal. Elkészítésre ajánlottunk olvasóinknak egy pálcás változatot, ahol a ,,szokásos'' trükk nem működik, mivel az átbújtatás után (lásd ábra) a pálca nem fér át a hurkon a zsinór rövidsége miatt. Azonban vegyük észre, hogy ebben az átbújtatott állapotban valójában annyi a célunk, hogy a hurok a dupla zsinór másik oldalára kerüljön. Ezt úgy is elérhetjük, ha a téglatest formájú ,,alapot'' bújtatjuk át a hurkon.
