Trükkös bizonyítások

Kós Géza

Összegyűjtöttünk olyan hibás okoskodásokat, amelyek meghökkentő állításokat bizonyítanak. A hibák megkeresése bárki számára tanulságos lehet.

Minden háromszög egyenlő szárú

Húzzuk meg az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\)-ből induló szögfelezőjét és az \(\displaystyle AB\) oldal felező merőlegesét. Ha \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) egyenlő, akkor kész vagyunk. Ha nem, akkor a szögfelező és a felező merőleges nem lehetnek sem párhuzamosak, sem egybeesők, tehát metszik egymást. Legyen \(\displaystyle M\) a metszéspontjuk.

Állítsunk merőlegest \(\displaystyle M\)-ből az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) oldalak meghosszabbítására; legyen ezek talppontja \(\displaystyle D\) illetve \(\displaystyle E\).

A \(\displaystyle CMD\) és \(\displaystyle CME\) háromszögek egybevágóak, mivel \(\displaystyle M\) a szögfelezőn van. Ezért \(\displaystyle CD=CE\) és \(\displaystyle DM=EM\). Másrészt \(\displaystyle AM=BM\), mert \(\displaystyle M\) a felezőmerőlegesen is rajta van.

Az \(\displaystyle ADM\) és \(\displaystyle BEM\) derékszögű háromszögek egybevágóak, mert - mint láttuk - átfogóik ugyanakkorák, és a \(\displaystyle DM\) és \(\displaystyle EM\) befogók hossza is megegyezik. Ezért a másik befogójuk is ugyanakkora: \(\displaystyle AD=BE\).

Mindezekből következik, hogy

\(\displaystyle AC=CD-AD=CE-BE=BC. \)

Könnyű ellenőrizni, hogy a bizonyítás akkor is működik, ha az \(\displaystyle M\) pont a háromszög belsejében van.

A derékszög egyenlő 100 fokkal

Legyen \(\displaystyle ABCD\) egy olyan négyszög, amelyben az \(\displaystyle A\)-nál levő szög derékszög, a \(\displaystyle B\)-nél levő szög \(\displaystyle 100^\circ\), továbbá \(\displaystyle AD=BC=a\). Legyen \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) az \(\displaystyle AB\) illetve \(\displaystyle CD\) oldalak felező merőlegese. Feltéve, hogy a derékszög nem \(\displaystyle 100\) fokos, az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) oldalak nem párhuzamosak, ezért \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) metszi egymást; legyen a metszéspontjuk \(\displaystyle M\).

Mivel \(\displaystyle M\) rajta van \(\displaystyle e\)-n, az \(\displaystyle AB\) oldal felező merőlegesén, az \(\displaystyle ABM\) háromszög egyenlő szárú. Jelöljük az \(\displaystyle AM\) és \(\displaystyle BM\) szakaszok közös hosszát \(\displaystyle b\)-vel. Ugyanebből az okból az ábrán a kék szögek is egyenlő nagyságúak.

Az \(\displaystyle M\) pont rajta van \(\displaystyle f\)-en, a \(\displaystyle CD\) oldal felező merőlegesén is, ezért a \(\displaystyle CDM\) háromszög is egyenlő szárú; jelöljük \(\displaystyle c\)-vel a \(\displaystyle CM=DM\) távolságot.

Az \(\displaystyle ADM\) és \(\displaystyle BCM\) háromszögek egybevágók, mert ugyanakkorák az oldalaik. Az egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek fekszenek, ezért \(\displaystyle DAM\sphericalangle=CBM\sphericalangle\). E két szögből kivonva a kék szöget, az egyik oldalon a derékszöget, a másik oldalon a \(\displaystyle 100\) fokos szöget kapjuk.

Átdarabolás

Hova lett a kérdőjel helyén álló négyzet?

Ekvivalens átalakítások

Valaki a következőképpen oldotta meg az

\(\displaystyle \sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{3-x}=-1 \)

egyenletet.

Emeljük mindkét oldalt köbre, és használjuk fel az \(\displaystyle (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\) azonosságot:

$$\begin{gather*} \Big(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{3-x}\Big)^3=-1 \\ \Big(\sqrt[3]{x-1}\Big)^3+\Big(\sqrt[3]{3-x}\Big)^3+3\sqrt[3]{x-1}\sqrt[3]{3-x}\Big(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{3-x}\Big)=-1 \\ (x-1)+(3-x)+3\sqrt[3]{x-1}\sqrt[3]{3-x}(-1)=-1 \\ \sqrt[3]{x-1}\sqrt[3]{3-x}=1 \\ \Big(\sqrt[3]{x-1}\Big)^3\Big(\sqrt[3]{3-x}\Big)^3=1 \\ (x-1)(3-x)=1 \\ x^2-4x+4=0 \\ (x-2)^2=0 \\ x=2. \end{gather*}$$

Mivel csupa ekvivalens átalakítást végeztünk, \(\displaystyle x=2\) megoldása az egyenletnek, és más megoldás nincs.

Hol van a megoldásban a hiba?